Estabilidad orbital

En física matemática y teoría de ecuaciones diferenciales parciales , la solución de onda solitaria de la forma${\displaystyle u(x,t)=e^{-i\omega t}\phi (x)}$Se dice que es orbitalmente estable si cualquier solución con los datos iniciales suficientemente cerca de${\displaystyle \phi (x)}$permanece para siempre en un pequeño vecindario determinado de la trayectoria de${\displaystyle e^{-i\omega t}\phi (x).}$

La definición formal es la siguiente. ^{[ 1 ]} Consideremos el sistema dinámico

${\displaystyle i{\frac {du}{dt}}=A(u),\qquad u(t)\in X,\quad t\in \mathbb {R} ,}$

con${\displaystyle X}$un espacio Banach sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$, y${\displaystyle A:X\to X}$. Suponemos que el sistema es${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$-invariante , de modo que ${\displaystyle A(e^{is}u)=e^{is}A(u)}$para cualquier${\displaystyle u\in X}$y cualquier${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$.

Supongamos que${\displaystyle \omega \phi =A(\phi )}$, de modo que${\displaystyle u(t)=e^{-i\omega t}\phi }$es una solución al sistema dinámico. Llamamos a dicha solución onda solitaria .

Decimos que la onda solitaria${\displaystyle e^{-i\omega t}\phi }$es orbitalmente estable si para cualquier${\displaystyle \epsilon >0}$hay${\displaystyle \delta >0}$de tal manera que para cualquier${\displaystyle v_{0}\in X}$con${\displaystyle \Vert \phi -v_{0}\Vert _{X}<\delta }$Hay una solución${\displaystyle v(t)}$definido para todos${\displaystyle t\geq 0}$de tal manera que${\displaystyle v(0)=v_{0}}$y de tal manera que esta solución satisfaga

${\displaystyle \sup _{t\geq 0}\inf _{s\in \mathbb {R} }\Vert v(t)-e^{is}\phi \Vert _{X}<\epsilon .}$

Según ^{[ 2 ]} , ^{[ 3 ]} la solución de onda solitaria${\displaystyle e^{-i\omega t}\phi _{\omega }(x)}$a la ecuación de Schrödinger no lineal

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}u=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u+g\!\left(|u|^{2}\right)u,\qquad u(x,t)\in \mathbb {C} ,\quad x\in \mathbb {R} ,\quad t\in \mathbb {R} ,}$

dónde${\displaystyle g}$es una función suave de valor real , es orbitalmente estable si se satisface el criterio de estabilidad de Vakhitov-Kolokolov :

${\displaystyle {\frac {d}{d\omega }}Q(\phi _{\omega })<0,}$

dónde

${\displaystyle Q(u)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }|u(x,t)|^{2}\,dx}$

es la carga de la solución${\displaystyle u(x,t)}$, que se conserva en el tiempo (al menos si la solución${\displaystyle u(x,t)}$es suficientemente suave).

También se demostró, ^{[ 4 ] [ 5 ]} que si${\textstyle {\frac {d}{d\omega }}Q(\omega )<0}$a un valor particular de${\displaystyle \omega }$, luego la onda solitaria ${\displaystyle e^{-i\omega t}\phi _{\omega }(x)}$es estable de Lyapunov , con la función de Lyapunov dada por${\displaystyle L(u)=E(u)-\omega Q(u)+\Gamma (Q(u)-Q(\phi _{\omega }))^{2}}$, dónde${\displaystyle E(u)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left(\left|{\frac {\partial u}{\partial x}}\right|^{2}+G\!\left(|u|^{2}\right)\right)dx}$es la energía de una solución${\displaystyle u(x,t)}$, con${\textstyle G(y)=\int _{0}^{y}g(z)\,dz}$el antiderivado de${\displaystyle g}$, siempre y cuando la constante${\displaystyle \Gamma >0}$se elige suficientemente grande.

• Teoría de la estabilidad
  • Estabilidad asintótica
  • Estabilidad lineal
  • estabilidad de Lyapunov
  • Criterio de estabilidad de Vakhitov-Kolokolov