Subespacio lineal

En el espacio vectorial V = R ³ (el espacio de coordenadas reales sobre el campo R de los números reales ), tomemos W como el conjunto de todos los vectores en V cuya última componente es 0. Entonces W es un subespacio de V.

Prueba:

1. Dados u y v en W , se pueden expresar como u = ( u ₁ , u ₂ , 0) y v = ( v ₁ , v ₂ , 0) . Entonces u + v = ( u ₁ + v ₁ , u ₂ + v ₂ , 0+0) = ( u ₁ + v ₁ , u ₂ + v ₂ , 0) . Por lo tanto, u + v también es un elemento de W.
2. Dado u en W y un escalar c en R , si u = ( u ₁ , u ₂ , 0) nuevamente, entonces c u = ( cu ₁ , cu ₂ , c 0) = ( cu ₁ , cu ₂ ,0) . Por lo tanto, c u también es un elemento de W.

Sea R ^el campo nuevamente, pero ahora sea el espacio vectorial V el plano cartesiano R² ^. Sea W el conjunto de puntos ( x , y ) de R² tales que x = y . Entonces W es un subespacio de R² ^.

Prueba:

1. Sean p = ( p ₁ , p ₂ ) y q = ( q ₁ , q ₂ ) elementos de W , es decir, puntos en el plano tales que p ₁ = p ₂ y q ₁ = q ₂ . Entonces p + q = ( p ₁ + q ₁ , p ₂ + q ₂ ) ; como p ₁ = p ₂ y q ₁ = q ₂ , entonces p ₁ + q ₁ = p ₂ + q ₂ , por lo que p + q es un elemento de W .
2. Sea p = ( p ₁ , p ₂ ) un elemento de W , es decir, un punto en el plano tal que p ₁ = p ₂ , y sea c un escalar en R . Entonces c p = ( cp ₁ , cp ₂ ) ; como p ₁ = p ₂ , entonces cp ₁ = cp ₂ , por lo que c p es un elemento de W .

En general, cualquier subconjunto del espacio de coordenadas reales R ⁿ definido por un sistema homogéneo de ecuaciones lineales dará como resultado un subespacio. (La ecuación del ejemplo I era z  =  0, y la del ejemplo II era x  = y ). 

Consideremos nuevamente el campo R , pero ahora sea el espacio vectorial V el conjunto R ^R de todas las funciones de R a R. Sea C( R ) el subconjunto formado por funciones continuas . Entonces C( R ) es un subespacio de R ^R .

Prueba:

1. Sabemos por cálculo que 0 ∈ C( R ) ⊂ R ^R .
2. Sabemos por el cálculo que la suma de funciones continuas es continua.
3. Como sabemos por el cálculo diferencial e integral, el producto de una función continua por un número también es continuo.

Mantén el mismo campo y espacio vectorial que antes, pero ahora considera el conjunto Diff( R ) de todas las funciones diferenciables . El mismo tipo de argumento que antes muestra que este también es un subespacio.

En el análisis funcional son comunes los ejemplos que amplían estos temas .

El conjunto solución de cualquier sistema homogéneo de ecuaciones lineales con n variables es un subespacio en el espacio de coordenadas K ⁿ : $${\displaystyle \left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{6}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=0&\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=0&\\&&&&&&&&&&\vdots \quad &\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=0&\end{alignedat}}\right\}.}$$

Por ejemplo, el conjunto de todos los vectores ( x , y , z ) (sobre números reales o racionales ) que satisfacen las ecuaciones $${\displaystyle x+3y+2z=0\quad {\text{y}}\quad 2x-4y+5z=0}$$ es un subespacio unidimensional. Más generalmente, es decir, dado un conjunto de n funciones independientes, la dimensión del subespacio en K ^k será la dimensión del conjunto nulo de A , la matriz compuesta de las n funciones.

En un espacio de dimensión finita, un sistema homogéneo de ecuaciones lineales puede escribirse como una única ecuación matricial:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} .}$

El conjunto de soluciones de esta ecuación se conoce como el espacio nulo de la matriz. Por ejemplo, el subespacio descrito anteriormente es el espacio nulo de la matriz.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&-4&5\end{bmatrix}}.}$

Cada subespacio de K ⁿ puede describirse como el espacio nulo de alguna matriz (véase la sección  Algoritmos a continuación para más información).

El subconjunto de K ⁿ descrito por un sistema de ecuaciones paramétricas lineales homogéneas es un subespacio:

${\displaystyle \left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{7}x_{1}&&\;=\;&&a_{11}t_{1}&&\;+\;&&a_{12}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1m}t_{m}&\\x_{2}&&\;=\;&&a_{21}t_{1}&&\;+\;&&a_{22}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2m}t_{m}&\\&&\vdots \;\;&&&&&&&&&&&\\x_{n}&&\;=\;&&a_{n1}t_{1}&&\;+\;&&a_{n2}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{nm}t_{m}&\\\end{alignedat}}{\text{ for some }}t_{1},\ldots ,t_{m}\in K\right\}.}$

Por ejemplo, el conjunto de todos los vectores ( x , y , z ) parametrizados por las ecuaciones  

${\displaystyle x=2t_{1}+3t_{2},\;\;\;\;y=5t_{1}-4t_{2},\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;z=-t_{1}+2t_{2}}$

es un subespacio bidimensional de K ³ , si K es un cuerpo numérico (como los números reales o racionales). ^{[ nota 2 ]}

En álgebra lineal, el sistema de ecuaciones paramétricas se puede escribir como una única ecuación vectorial:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\;=\;t_{1}\!{\begin{bmatrix}2\\5\\-1\end{bmatrix}}+t_{2}\!{\begin{bmatrix}3\\-4\\2\end{bmatrix}}.}$

La expresión de la derecha se denomina combinación lineal de los vectores (2,  5,  −1) y (3,  −4,  2). Se dice que estos dos vectores generan el subespacio resultante.

En general, una combinación lineal de vectores v ₁ , v ₂ , ... , v _k es cualquier vector de la forma    

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}.}$

El conjunto de todas las combinaciones lineales posibles se llama espacio generado :

${\displaystyle {\text{Span}}\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}=\left\{t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}:t_{1},\ldots ,t_{k}\in K\right\}.}$

Si los vectores v ₁ ,  ...  , v _k tienen n componentes, entonces su espacio generado es un subespacio de K ⁿ . Geométricamente, el espacio generado es el plano que pasa por el origen en el espacio n -dimensional determinado por los puntos v ₁ , ... , v _k .    

Ejemplo

El plano xz en R ³ puede ser parametrizado por las ecuaciones

${\displaystyle x=t_{1},\;\;\;y=0,\;\;\;z=t_{2}.}$

Como subespacio, el plano xz está generado por los vectores (1,  0,  0) y (0,  0,  1). Cada vector en el plano xz puede escribirse como una combinación lineal de estos dos:

${\displaystyle (t_{1},0,t_{2})=t_{1}(1,0,0)+t_{2}(0,0,1){\text{.}}}$

Geométricamente, esto corresponde al hecho de que se puede llegar a cada punto en el plano xz desde el origen moviéndose primero cierta distancia en la dirección de (1,  0,  0) y luego moviéndose cierta distancia en la dirección de (0,  0,  1).

Un sistema de ecuaciones paramétricas lineales en un espacio de dimensión finita también puede escribirse como una única ecuación matricial:

${\displaystyle \mathbf {x} =A\mathbf {t} \;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;A=\left[{\begin{alignedat}{2}2&&3&\\5&&\;\;-4&\\-1&&2&\end{alignedat}}\,\right]{\text{.}}}$

En este caso, el subespacio consta de todos los valores posibles del vector x . En álgebra lineal, este subespacio se conoce como el espacio columna (o imagen ) de la matriz A. Es precisamente el subespacio de K ⁿ generado por los vectores columna de A.

El espacio fila de una matriz es el subespacio generado por sus vectores fila. Este espacio fila resulta interesante porque es el complemento ortogonal del espacio nulo (véase más abajo).

En general, un subespacio de K ⁿ determinado por k parámetros (o generado por k vectores) tiene dimensión k . Sin embargo, existen excepciones a esta regla. Por ejemplo, el subespacio de K ³ generado por los tres vectores (1,  0,  0), (0,  0,  1) y (2,  0,  3) es simplemente el plano xz , donde cada punto del plano se describe mediante infinitos valores diferentes de t ₁ , t ₂ , t ₃ .

En general, los vectores v ₁ ,  ...  , v _k se denominan linealmente independientes si 

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}\;\neq \;u_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +u_{k}\mathbf {v} _{k}}$

para ( t ₁ , t ₂ , ... , t _k ) ≠ ( u ₁ , u ₂ , ... , u _k ). ^{[ nota 3 ]} Si v ₁ , ..., v _k son linealmente independientes, entonces las coordenadas t ₁ , ..., t _k para un vector en el espacio generado están determinadas de forma única.         

Una base para un subespacio S es un conjunto de vectores linealmente independientes cuyo espacio generado es S. El número de elementos en una base siempre es igual a la dimensión geométrica del subespacio. Cualquier conjunto generador de un subespacio puede transformarse en una base eliminando los vectores redundantes (véase la sección «Algoritmos» más adelante para más información).

Ejemplo

Sea S el subespacio de R ⁴ definido por las ecuaciones

${\displaystyle x_{1}=2x_{2}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;x_{3}=5x_{4}.}$

Entonces, los vectores (2,  1,  0,  0) y (0,  0,  5,  1) son una base para S. En particular, todo vector que satisface las ecuaciones anteriores puede escribirse de forma única como una combinación lineal de los dos vectores base:

${\displaystyle (2t_{1},t_{1},5t_{2},t_{2})=t_{1}(2,1,0,0)+t_{2}(0,0,5,1).}$

El subespacio S es bidimensional. Geométricamente, es el plano en R ⁴ que pasa por los puntos (0,  0,  0,  0), (2,  1,  0,  0) y (0,  0,  5,  1).

La relación binaria de inclusión en teoría de conjuntos especifica un orden parcial en el conjunto de todos los subespacios (de cualquier dimensión).

Un subespacio no puede estar contenido en ningún subespacio de menor dimensión. Si dim U = k , un número finito, y U ⊂ W , entonces dim W = k si y solo si U = W.          

Dados los subespacios U y W de un espacio vectorial V , entonces su intersección U  ∩ W := { v ∈ V : v es un elemento tanto de ^U como de W } es también un subespacio de V. [ ^{10 ]}       

Prueba:

1. Sean v y w elementos de U  ∩ W. Entonces v y w pertenecen tanto a U como a W. Como U es un subespacio, entonces v + w pertenece a U. De manera similar, como W es un subespacio, entonces v + w pertenece a W. Por lo tanto, v + w pertenece a U ∩ W.         
2. Sea v un elemento de U  ∩ W y sea c un escalar. Entonces v pertenece tanto a U como a W. Dado que U y W son subespacios, c v pertenece tanto a U como a W.  
3. Dado que U y W son espacios vectoriales, entonces 0 pertenece a ambos conjuntos. Por lo tanto, 0 pertenece a U  ∩ W. 

Para cada espacio vectorial ^V , el conjunto {0} y V mismo son subespacios ^de V. [ ¹¹ ] ^{[ 12 ]}

Si U y W son subespacios, su suma es el subespacio ^{[ 13 ] [ 14 ]}$${\displaystyle U+W=\left\{\mathbf {u} +\mathbf {w} \colon \mathbf {u} \in U,\mathbf {w} \in W\right\}.}$$

Por ejemplo, la suma de dos rectas es el plano que las contiene a ambas. La dimensión de la suma satisface la desigualdad. $${\displaystyle \max(\dim U,\dim W)\leq \dim(U+W)\leq \dim(U)+\dim(W).}$$

Aquí, el mínimo solo se produce si un subespacio está contenido en el otro, mientras que el máximo es el caso más general. La dimensión de la intersección y la suma están relacionadas por la siguiente ecuación: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).}$$

Un conjunto de subespacios es independiente cuando la única intersección entre cualquier par de subespacios es el subespacio trivial. La suma directa es la suma de subespacios independientes, escrita como${\displaystyle U\oplus W}$Una reformulación equivalente es que una suma directa es una suma de subespacios bajo la condición de que cada subespacio contribuya al espacio generado por la suma. ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

La dimensión de una suma directa${\displaystyle U\oplus W}$es lo mismo que la suma de subespacios, pero puede abreviarse porque la dimensión del subespacio trivial es cero. ^{[ 20 ]}

$${\displaystyle \dim(U\oplus W)=\dim(U)+\dim(W)}$$

Las operaciones de intersección y suma hacen que el conjunto de todos los subespacios sea un retículo modular acotado , donde el subespacio {0} , el elemento más pequeño , es un elemento identidad de la operación de suma, y ​​el subespacio idéntico V , el elemento más grande, es un elemento identidad de la operación de intersección.

Si${\displaystyle V}$es un espacio de producto interno y${\displaystyle N}$es un subconjunto de${\displaystyle V}$, entonces el complemento ortogonal de${\displaystyle N}$, denotado${\displaystyle N^{\perp }}$, es de nuevo un subespacio. ^{[ 21 ]} Si${\displaystyle V}$es de dimensión finita y${\displaystyle N}$es un subespacio, entonces las dimensiones de${\displaystyle N}$y${\displaystyle N^{\perp }}$satisfacer la relación complementaria${\displaystyle \dim(N)+\dim(N^{\perp })=\dim(V)}$. ^{[ 22 ]} Además, ningún vector es ortogonal a sí mismo, por lo que${\displaystyle N\cap N^{\perp }=\{0\}}$y${\displaystyle V}$es la suma directa de${\displaystyle N}$y${\displaystyle N^{\perp }}$. ^{[ 23 ]} Al aplicar complementos ortogonales dos veces se devuelve el subespacio original:${\displaystyle (N^{\perp })^{\perp }=N}$para cada subespacio${\displaystyle N}$. ^{[ 24 ]}

Esta operación, entendida como negación (${\displaystyle \neg }$), hace que la red de subespacios sea una red ortocomplementada (posiblemente infinita ) (aunque no una red distributiva).

En espacios con otras formas bilineales , algunos pero no todos estos resultados siguen siendo válidos. En espacios pseudo-euclidianos y espacios vectoriales simplécticos , por ejemplo, existen complementos ortogonales. Sin embargo, estos espacios pueden tener vectores nulos que son ortogonales a sí mismos y, en consecuencia, existen subespacios.${\displaystyle N}$de tal manera que${\displaystyle N\cap N^{\perp }\neq \{0\}}$. Como resultado, esta operación no convierte la red de subespacios en un álgebra booleana (ni en un álgebra de Heyting ).

Introduzca una matriz A de m  × n . 

Salida A base para el espacio fila de A.

1. Utilice operaciones elementales de fila para poner A en forma escalonada de fila.
2. Las filas no nulas de la forma escalonada son una base para el espacio fila de A.

Consulte el artículo sobre el espacio entre filas para ver un ejemplo .

Si, en cambio, transformamos la matriz A a su forma escalonada reducida por filas, la base resultante para el espacio de filas queda determinada de forma única. Esto proporciona un algoritmo para comprobar si dos espacios de filas son iguales y, por extensión, si dos subespacios de K ⁿ son iguales.

Introduzca una base { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } para un subespacio S de K ⁿ , y un vector v con n componentes.

Salida Determina si v es un elemento de S

1. Crea una matriz A de ( k  +  1)  × n cuyas filas sean los vectores b ₁ , ... , b _k y v .    
2. Utilice operaciones elementales de fila para poner A en forma escalonada de fila.
3. Si la forma escalonada tiene una fila de ceros, entonces los vectores { b ₁ , ..., b _k , v } son linealmente dependientes y, por lo tanto, v ∈ S .

Entrada Una matriz m  × n A 

Salida Una base para el espacio columna de A

1. Utilice operaciones elementales de fila para poner A en forma escalonada de fila.
2. Determina qué columnas de la forma escalonada tienen pivotes . Las columnas correspondientes de la matriz original constituyen la base del espacio columna.

Consulte el artículo sobre el espaciado entre columnas para ver un ejemplo .

Esto genera una base para el espacio columna que es un subconjunto de los vectores columna originales. Funciona porque las columnas con pivotes constituyen una base para el espacio columna de la forma escalonada, y la reducción de filas no altera las relaciones de dependencia lineal entre las columnas.

Introduzca una base { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } para un subespacio S de K ⁿ , y un vector v ∈ S

Generar números t ₁ , t ₂ , ..., t _k tales que v = t ₁ b ₁ + ··· + t _k b _k

1. Crea una matriz aumentada A cuyas columnas sean b ₁ ,..., b _k , siendo la última columna v .
2. Utilice operaciones elementales de fila para convertir A a su forma escalonada reducida por filas.
3. Exprese la última columna de la forma escalonada reducida como una combinación lineal de las primeras _k columnas . Los coeficientes utilizados son los números deseados t₁ _, t₂ , ... , tk _. (Estos deben ser precisamente los primeros k elementos de la última columna de la forma escalonada reducida).

Si la última columna de la forma escalonada de filas reducida contiene un pivote, entonces el vector de entrada v no se encuentra en S.

Introduzca una matriz A de m  × n . 

Salida Una base para el espacio nulo de A

1. Utilice operaciones elementales de fila para poner A en forma escalonada reducida por filas.
2. _{Utilizando la forma escalonada reducida por} filas, determine cuáles de las variables x₁ , x₂ , _... , xn _son libres. Escriba ecuaciones para las variables dependientes en términos de las variables libres.
3. Para cada variable libre x _i , elija un vector en el espacio nulo para el cual x _i = 1 y las variables libres restantes sean cero. La colección resultante de vectores es una base para el espacio nulo de A .

Consulte el artículo sobre el espacio nulo para ver un ejemplo .

Dados dos subespacios U y W de V , una base de la suma${\displaystyle U+W}$y la intersección${\displaystyle U\cap W}$se puede calcular utilizando el algoritmo de Zassenhaus .

Introduzca una base { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } para un subespacio S de K ⁿ

Salida Una matriz ( n  − k ) × n cuyo espacio nulo es S .    

1. Crea una matriz A cuyas filas sean b ₁ , b ₂ , ..., b _k .
2. Utilice operaciones elementales de fila para convertir A a su forma escalonada reducida por filas.
3. Sean c ₁ , c ₂ , ..., c _n las columnas de la forma escalonada reducida por filas. Para cada columna sin pivote, escriba una ecuación que la exprese como una combinación lineal de las columnas con pivotes.
4. Esto da como resultado un sistema homogéneo de n − k ecuaciones lineales que involucran las variables c ₁ ,..., c _n . La matriz ( n − k ) × n correspondiente a este sistema es la matriz deseada con espacio nulo S .

Ejemplo

Si la forma escalonada reducida de A es

${\displaystyle \left[{\begin{alignedat}{6}1&&0&&-3&&0&&2&&0\\0&&1&&5&&0&&-1&&4\\0&&0&&0&&1&&7&&-9\\0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0\end{alignedat}}\,\right]}$

Entonces, los vectores columna c ₁ , ..., c ₆ satisfacen las ecuaciones

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {c} _{3}&=-3\mathbf {c} _{1}+5\mathbf {c} _{2}\\\mathbf {c} _{5}&=2\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}+7\mathbf {c} _{4}\\\mathbf {c} _{6}&=4\mathbf {c} _{2}-9\mathbf {c} _{4}\end{alignedat}}}$

De ello se deduce que los vectores fila de A satisfacen las ecuaciones

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x_{3}&=-3x_{1}+5x_{2}\\x_{5}&=2x_{1}-x_{2}+7x_{4}\\x_{6}&=4x_{2}-9x_{4}.\end{alignedat}}}$

En particular, los vectores fila de A son una base para el espacio nulo de la matriz correspondiente.

• Anton, Howard (2005), Álgebra lineal elemental (versión de aplicaciones) (9.ª  ed.), Wiley International
• Axler, Sheldon Jay (2015). Álgebra lineal bien hecha (3.ª  ed.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields , Boston: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
• Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Espacios vectoriales de dimensión finita (2.ª  ed.). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
• Hefferon, Jim (2020). Álgebra lineal (4.ª  ed.). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4.
• Herstein, IN (1964), Temas de álgebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). Una introducción (concisa) al álgebra lineal . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Kreyszig, Erwin (1972), Matemáticas avanzadas para ingeniería (3.ª  ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
• Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (3.ª  ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Leon, Steven J. (2006), Álgebra lineal con aplicaciones (7.ª  ed.), Pearson Prentice Hall
• Meyer, Carl D. (15 de febrero de 2001), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada , Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8Archivado del original el 1 de marzo de 2001.
• Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2.ª  ed.), Nueva York: Wiley , LCCN 76091646 
• Poole, David (2006), Álgebra lineal: una introducción moderna (2.ª  ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3

• Weisstein, Eric Wolfgang . "Subespacio" . MathWorld . Consultado el 16 de febrero de 2021 .
• DuChateau, Paul (5 de septiembre de 2002). "Datos básicos sobre el espacio de Hilbert" (PDF) . Universidad Estatal de Colorado . Recuperado el 17 de febrero de 2021 .