haz equivariante

En matemáticas, dada una acción${\displaystyle \sigma :G\times _{S}X\to X}$de un esquema de grupo G en un esquema X sobre un esquema base S , un haz equivariante F en X es un haz de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos junto con el isomorfismo de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{G\times _{S}X}}$-módulos

${\displaystyle \phi$ :\sigma ^{*}F\xrightarrow {\simeq } p_{2}^{*}F}  

que satisface la condición de cociclo: ^{[ 1 ] [ 2 ]} escribiendo m para multiplicación,

${\displaystyle p_{23}^{*}\phi \circ (1_{G}\times \sigma )^{*}\phi =(m\times 1_{X})^{*}\phi }$.

A nivel del tallo, la condición de cociclo dice que el isomorfismo${\displaystyle F_{gh\cdot x}\simeq F_{x}}$es lo mismo que la composición${\displaystyle F_{g\cdot h\cdot x}\simeq F_{h\cdot x}\simeq F_{x}}$; es decir, la asociatividad de la acción grupal. La condición de que la unidad del grupo actúe como identidad es también una consecuencia: aplicar${\displaystyle (e\times e\times 1)^{*},e:S\to G}$a ambos lados para obtener${\displaystyle (e\times 1)^{*}\phi \circ (e\times 1)^{*}\phi =(e\times 1)^{*}\phi }$y entonces${\displaystyle (e\times 1)^{*}\phi}$es la identidad.

Tenga en cuenta que${\displaystyle \phi }$es un dato adicional; es "una elevación" de la acción de G sobre X al haz F. Además, cuando G es un grupo algebraico conexo , F un haz invertible y X es reducido, la condición de cociclo es automática: cualquier isomorfismo${\displaystyle \sigma ^{*}F\simeq p_{2}^{*}F}$satisface automáticamente la condición de cociclo. ^{[ 3 ]}

Si la acción de G es libre, entonces la noción de un haz equivariante se simplifica a un haz en el cociente X / G , debido al descenso a lo largo de los torsores .

Por el lema de Yoneda , para dar la estructura de un haz equivariante a un${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulo F es lo mismo que dar homomorfismos de grupo para anillos R sobre${\displaystyle S}$,

${\displaystyle G(R)\to \operatorname {Aut} (X\times _{S}\operatorname {Spec} R,F\otimes _{S}R)}$. ^{[ 4 ]}

También existe una definición de haces equivariantes en términos de haces simpliciales . Alternativamente, se puede definir un haz equivariante como un objeto equivariante en la categoría de, por ejemplo, haces coherentes .

Una estructura de un haz equivariante sobre un haz invertible o un fibrado lineal también se denomina linealización .

Sea X una variedad completa sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, sobre el cual actúa un grupo reductivo conexo G y L un haz invertible. Si X es normal, entonces existe una potencia tensorial.${\displaystyle L^{n}}$de L es linealizable. ^{[ 5 ]}

Además, si L es muy amplio y linealizado, entonces existe una inmersión cerrada G -lineal de X a${\displaystyle \mathbf {P} ^{N}}$de tal manera que${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{N}}(1)}$se linealiza y la linealización en L es inducida por la de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{N}}(1)}$. ^{[ 6 ]}

Los productos tensoriales y las inversas de haces invertibles linealizados se linealizan de nuevo de forma natural. Así, las clases de isomorfismo de los haces invertibles linealizados sobre un esquema X forman un grupo abeliano . Existe un homomorfismo al grupo de Picard de X que ignora la linealización; este homomorfismo no es inyectivo ni sobreyectivo en general, y su núcleo puede identificarse con las clases de isomorfismo de las linealizaciones del fibrado de líneas trivial.

Ver Ejemplo 2.16 decomo ejemplo de una variedad para la cual la mayoría de los conjuntos de líneas no son linealizables.

Dado un grupo algebraico G y un haz G -equivariante F en X sobre un cuerpo k , sea${\displaystyle V=\Gamma (X,F)}$Sea V el espacio de secciones globales. Entonces admite la estructura de un G -módulo; es decir, V es una representación lineal de G como sigue. Escribiendo${\displaystyle \sigma :G\times X\to X}$para la acción grupal, para cada g en G y v en V , sea

${\displaystyle \pi (g)v=(\varphi \circ \sigma ^{*})(v)(g^{-1})}$

dónde${\displaystyle \sigma ^{*}:V\to \Gamma (G\times X,\sigma ^{*}F)}$y${\displaystyle \varphi$ :\Gamma (G\times X,\sigma ^{*}F){\overset {\sim }{\to }}\Gamma (G\times X,p_{2}^{*}F)=k[G]\otimes _{k}V} es el isomorfismo dado por la estructura de haces equivariantes en F. La condición de cociclo asegura entonces que${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$es un homomorfismo de grupo (es decir,${\displaystyle \pi }$es una representación.)

Ejemplo : tomar${\displaystyle X=G,F={\mathcal {O}}_{G}}$y${\displaystyle \sigma =}$la acción de G sobre sí mismo. Entonces${\displaystyle V=k[G]}$,${\displaystyle (\varphi \circ \sigma ^{*})(f)(g,h)=f(gh)}$y

${\displaystyle (\pi (g)f)(h)=f(g^{-1}h)}$,

significado${\displaystyle \pi }$es la representación regular izquierda de G.

La representación${\displaystyle \pi }$La definición anterior es una representación racional : para cada vector v en V , existe un G- submódulo de dimensión finita de V que contiene a v . ^{[ 7 ]}

Una definición es más sencilla para un fibrado vectorial (es decir, una variedad correspondiente a un haz localmente libre de rango constante). Decimos que un fibrado vectorial E sobre una variedad algebraica X actuado por un grupo algebraico G es equivariante si G actúa fibra a fibra: es decir,${\displaystyle g:E_{x}\to E_{gx}}$es un isomorfismo "lineal" de espacios vectoriales. ^{[ 8 ]} En otras palabras, un fibrado vectorial equivariante es un par que consiste en un fibrado vectorial y el levantamiento de la acción${\displaystyle G\times X\to X}$a la de${\displaystyle G\times E\to E}$para que la proyección${\displaystyle E\to X}$es equivariante.

Al igual que en el caso no equivariante, se puede definir una clase característica equivariante de un fibrado vectorial equivariante.

• El fibrado tangente de una variedad o de una variedad diferenciable es un fibrado vectorial equivariante.
• El haz de formas diferenciales equivariantes .
• Sea G un grupo algebraico semisimple y λ:H→ C un carácter en un toro maximal H. Se extiende a un subgrupo de Borel λ:B→ C , dando una representación unidimensional W _λ de B. Entonces GxW _λ es un fibrado vectorial trivial sobre G sobre el cual actúa B. El cociente L _λ =Gx _B W _λ por la acción de B es un fibrado lineal sobre la variedad de banderas G/B . Nótese que G→G/B es un fibrado de B , por lo que este es solo un ejemplo de la construcción de fibrado asociada. El teorema de Borel-Weil-Bott afirma que todas las representaciones de G surgen como cohomologías de tales fibrados lineales.
• Si X=Spec(A) es un esquema afín, una acción G _m sobre X es lo mismo que una graduación Z sobre A. De manera similar, un haz cuasicoherente equivariante G _{m sobre} X es lo mismo que un módulo A graduado Z.

• Teoría K algebraica equivariante
• Paquete equivariante
• Cohomología equivariante
• pila de cocientes

• J. Bernstein, V. Lunts, "Equivariant sheaves and functors," Springer Lecture Notes in Math. 1578 (1994).
• Mumford, David; Fogarty, John; Kirwan, Frances (1994). Teoría de invariantes geométricos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56963-3MR 1304906 .​ 
• Gaitsgory, D. (2005). "Teoría de la representación geométrica, Matemáticas 267y, Otoño de 2005" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 22 de enero de 2015.
• Thomason, RW (1987). «Teoría K algebraica de acciones de esquemas de grupo». En Browser, William (ed.). Topología algebraica y teoría K algebraica  : actas de una conferencia, 24-28 de octubre de 1983 en la Universidad de Princeton, dedicada a John C. Moore en su 60 cumpleaños . Vol.  113. Princeton, NJ: Princeton University Press. págs.  539-563. ISBN 9780691084268.

• Haces equivariantes