Superficie de Liouville

En el campo matemático de la geometría diferencial, una superficie de Liouville ^[1] (llamada así en honor a Joseph Liouville ) es un tipo de superficie que en coordenadas locales puede escribirse como un gráfico en R ³

${\displaystyle z=f(x,y)}$

de modo que la primera forma fundamental es de la forma

${\displaystyle ds^{2}={\big (}f_{1}(x)+f_{2}(y){\big )}\left(dx^{2}+dy^{2}\right).}$

A veces, una métrica de esta forma se denomina métrica de Liouville . Toda superficie de revolución es una superficie de Liouville.

Darboux ^[2] da un tratamiento general de tales superficies considerando un espacio bidimensional con métricas ${\estilo de visualización (u,v)}$

${\displaystyle ds^{2}=(UV)(U_{1}^{2}\,du^{2}+V_{1}^{2}\,dv^{2}),}$

donde y son funciones de y y son funciones de . Una línea geodésica en dicha superficie está dada por ${\estilo de visualización U}$$Estilo de visualización U_{1}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización V}$$Estilo de visualización V_{1}$${\estilo de visualización v}$

${\displaystyle {\frac {U_{1}\,du}{\sqrt {U-\alpha }}}-{\frac {V_{1}\,dv}{\sqrt {\alpha -V}}} =0}$

y la distancia a lo largo de la geodésica está dada por

${\displaystyle ds={\frac {UU_{1}\,du}{\sqrt {U-\alpha }}}-{\frac {VV_{1}\,dv}{\sqrt {\alpha -V}}}.}$

Aquí hay una constante relacionada con la dirección de la geodésica por ${\estilo de visualización \alpha}$

${\displaystyle \alpha = U\sin ^{2}\omega + V\cos ^{2}\omega ,}$

donde es el ángulo de la geodésica medido desde una línea de constante . De esta manera, la solución de las geodésicas en superficies de Liouville se reduce a la cuadratura . Esto fue demostrado por primera vez por Jacobi para el caso de las geodésicas en un elipsoide triaxial , ^[3] un caso especial de una superficie de Liouville. ${\estilo de visualización \omega}$${\estilo de visualización v}$

• Darboux, Jean-Gaston (1894). Leçons sur la théorie générale des Surfaces [ Lecciones de teoría general de las superficies ] (en francés). vol. 3. Gauthier-Villars.
• Gelfand, IM y Fomin, SV (2000). Cálculo de variaciones . Dover. ISBN 0-486-41448-5.(Traducido del ruso por R. Silverman.)
• Guggenheimer, Heinrich (1977). "Capítulo 11: Geometría interna de superficies". Geometría diferencial . Dover. ISBN 0-486-63433-7.
• Jacobi, CGJ (1839). "Note von der geodätischen Linie auf einem Ellipsoid und den verschiedenen Anwendungen einer merkwürdigen analytischen Substitution" [La geodésica sobre un elipsoide y diversas aplicaciones de una notable sustitución analítica]. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán). 1839 (19): 309– 313. doi :10.1515/crll.1839.19.309. S2CID  121670851.
• Liouville, José (1846). "Sur quelques cas particuliers où les équations du mouvement d'un point matériel peuvent s'intégrer" [Casos especiales en los que las ecuaciones de movimiento son integrables] (PDF) . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (en francés). 11 : 345–378 .