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ecuación de Lippmann-Schwinger

La ecuación de Lippmann-Schwinger (nombrada en honor a Bernard Lippmann y Julian Schwinger [ 1 ] ) es una de las ecuaciones más utilizadas para describir colisiones de partícula...

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La ecuación de Lippmann-Schwinger (nombrada en honor a Bernard Lippmann y Julian Schwinger [ 1 ] ) es una de las ecuaciones más utilizadas para describir colisiones de partículas  —o, más precisamente, dispersión—  en mecánica cuántica . Puede utilizarse en la dispersión de moléculas, átomos, neutrones, fotones o cualquier otra partícula y es importante principalmente en física atómica, molecular y óptica , física nuclear y física de partículas , pero también para problemas de dispersión sísmica en geofísica . Relaciona la función de onda dispersada con la interacción que produce la dispersión (el potencial de dispersión) y, por lo tanto, permite calcular los parámetros experimentales relevantes ( amplitud de dispersión y secciones transversales ).

La ecuación más fundamental para describir cualquier fenómeno cuántico, incluida la dispersión, es la ecuación de Schrödinger . En problemas físicos, esta ecuación diferencial debe resolverse con la introducción de un conjunto adicional de condiciones iniciales y/o de contorno para el sistema físico específico estudiado. La ecuación de Lippmann-Schwinger es equivalente a la ecuación de Schrödinger más las condiciones de contorno típicas para problemas de dispersión. Para incorporar las condiciones de contorno, la ecuación de Lippmann-Schwinger debe escribirse como una ecuación integral . [ 2 ] Para problemas de dispersión, la ecuación de Lippmann-Schwinger suele ser más conveniente que la ecuación de Schrödinger original.

La ecuación de Lippmann-Schwinger es: [ 3 ]|ψ⟩=|ϕ⟩+1mi−H0+iϵV|ψ⟩.{\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}+i\epsilon }}V|\psi \rangle .\,}

La energía potencialV{\displaystyle V}describe la interacción entre los dos sistemas en colisión. El hamiltonianoH0{\displaystyle H_{0}}describe la situación en la que los dos sistemas están infinitamente separados y no interactúan. Sus funciones propias son|ϕ⟩{\displaystyle |\phi \rangle \,}y sus autovalores son las energíasmi{\displaystyle E\,}. Finalmente,iϵ{\displaystyle i\epsilon \,}Es una formalidad matemática necesaria para el cálculo de las integrales requeridas para resolver la ecuación. Es una consecuencia de la causalidad, que garantiza que las ondas dispersas consistan únicamente en ondas salientes. Esto se hace riguroso mediante el principio de absorción límite .

Uso

La ecuación de Lippmann-Schwinger es útil en un gran número de situaciones que involucran dispersión de dos cuerpos. Para tres o más cuerpos en colisión, no funciona bien debido a limitaciones matemáticas; en su lugar, se pueden usar las ecuaciones de Faddeev . [ 4 ] Sin embargo, existen aproximaciones que pueden reducir un problema de muchos cuerpos a un conjunto de problemas de dos cuerpos en diversos casos. Por ejemplo, en una colisión entre electrones y moléculas, pueden estar involucradas decenas o cientos de partículas. Pero el fenómeno puede reducirse a un problema de dos cuerpos describiendo todos los potenciales de partículas constituyentes de la molécula junto con un pseudopotencial . [ 5 ] En estos casos, se pueden usar las ecuaciones de Lippmann-Schwinger. Por supuesto, las principales motivaciones de estos enfoques también son la posibilidad de realizar los cálculos con un esfuerzo computacional mucho menor.

Derivación

Supondremos que el hamiltoniano se puede escribir como H=H0+V{\displaystyle H=H_{0}+V} donde H 0 es el hamiltoniano libre (o, más generalmente, un hamiltoniano con autovectores conocidos). Por ejemplo, en mecánica cuántica no relativista H 0 puede ser H0=pag22metro.{\displaystyle H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}.}

Intuitivamente, V es la energía de interacción del sistema. Sea H 0 un autoestado : H0|ϕ⟩=mi|ϕ⟩.{\displaystyle H_{0}|\phi \rangle =E|\phi \rangle .}

Ahora, si añadimos la interacciónV{\displaystyle V}En la mezcla, la ecuación de Schrödinger se lee:(H0+V)|ψ⟩=mi|ψ⟩.{\displaystyle \left(H_{0}+V\right)|\psi \rangle =E|\psi \rangle .}

Ahora consideremos el teorema de Hellmann-Feynman , que requiere que los autovalores de energía del hamiltoniano cambien continuamente con cambios continuos en el hamiltoniano. Por lo tanto, deseamos que|ψ⟩→|ϕ⟩{\displaystyle |\psi \rangle \to |\phi \rangle }comoV→0{\displaystyle V\to 0}Una solución ingenua a esta ecuación sería |ψ⟩=|ϕ⟩+1mi−H0V|ψ⟩.{\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}}}V|\psi \rangle .} donde la notación 1/ A denota el inverso de A. Sin embargo, E − H₀ es singular ya que E es un valor propio de H₀ . Como se describe a continuación, esta singularidad se elimina de dos maneras distintas haciendo que el denominador sea ligeramente complejo: |ψ(±)⟩=|ϕ⟩+1mi−H0±iϵV|ψ(±)⟩.{\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .}

Mediante la inserción de un conjunto completo de estados de partículas libres, |ψ(±)⟩=|ϕ⟩+∫dβ|ϕβ⟩mi−miβ±iϵ⟨ϕβ|V|ψ(±)⟩,H0|ϕβ⟩=miβ|ϕβ⟩,{\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +\int d\beta {\frac {|\phi _{\beta }\rangle }{E-E_{\beta }\pm i\epsilon }}\langle \phi _{\beta }|V|\psi ^{(\pm )}\rangle ,\quad H_{0}|\phi _{\beta }\rangle =E_{\beta }|\phi _{\beta }\rangle ,}

La ecuación de Schrödinger se transforma en una ecuación integral. Se supone que los estados "in" (+) y "out" (−) también forman bases , teniendo en el pasado lejano y el futuro lejano respectivamente la apariencia de estados de partículas libres, pero siendo autofunciones del hamiltoniano completo. Así, dotándolos de un índice, la ecuación se convierte en |ψα(±)⟩=|ϕα⟩+∫dβTβα(±)|ϕβ⟩miα−miβ±iϵ,Tβα(±)=⟨ϕβ|V|ψα(±)⟩.{\displaystyle |\psi _{\alpha }^{(\pm )}\rangle =|\phi _{\alpha }\rangle +\int d\beta {\frac {T_{\beta \alpha }^{(\pm )}|\phi _{\beta }\rangle }{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }},\quad T_{\beta \alpha }^{(\pm )}=\langle \phi _{\beta }|V|\psi _{\alpha }^{(\pm )}\rangle .}

Métodos de solución

Desde el punto de vista matemático, la ecuación de Lippmann-Schwinger en representación de coordenadas es una ecuación integral de tipo Fredholm . Puede resolverse mediante discretización . Dado que es equivalente a la ecuación de Schrödinger diferencial independiente del tiempo con las condiciones de contorno adecuadas, también puede resolverse mediante métodos numéricos para ecuaciones diferenciales. En el caso del potencial esféricamente simétricoV{\displaystyle V}Por lo general, se resuelve mediante análisis de ondas parciales . Para energías altas y/o potencial débil, también se puede resolver perturbativamente mediante series de Born . Otro método conveniente en el caso de la física de muchos cuerpos, como en la descripción de colisiones atómicas, nucleares o moleculares, es el método de la matriz R de Wigner y Eisenbud. Otra clase de métodos se basa en la expansión separable del potencial o del operador de Green, como el método de fracciones continuas de Horáček y Sasakawa. Una clase muy importante de métodos se basa en principios variacionales, por ejemplo, el método de Schwinger-Lanczos que combina el principio variacional de Schwinger con el algoritmo de Lanczos .

Interpretación como estados de entrada y salida

El paradigma de la matriz S

En la formulación de la matriz S de la física de partículas , que fue iniciada por John Archibald Wheeler entre otros, [ 6 ] todos los procesos físicos se modelan de acuerdo con el siguiente paradigma. [ 7 ]

Se parte de un estado de múltiples partículas sin interacción en el pasado lejano. Sin interacción no significa que todas las fuerzas se hayan desactivado, en cuyo caso, por ejemplo, los protones se desintegrarían, sino que existe un hamiltoniano H₀ libre de interacción , para el cual los estados ligados tienen el mismo espectro de niveles de energía que el hamiltoniano H₀ . Este estado inicial se denomina estado inicial . Intuitivamente, consiste en partículas elementales o estados ligados que están suficientemente separados como para que sus interacciones entre sí se ignoren.

La idea es que cualquier proceso físico que se esté estudiando puede modelarse como un proceso de dispersión de estos estados ligados bien separados. Este proceso se describe mediante el hamiltoniano completo H , pero una vez finalizado, todas las nuevas partículas elementales y los nuevos estados ligados se separan de nuevo y se encuentra un nuevo estado no interactuante llamado estado de salida . La matriz S es más simétrica bajo la relatividad que el hamiltoniano, porque no requiere la elección de intervalos de tiempo para su definición.

Este paradigma permite calcular con notable precisión las probabilidades de todos los procesos observados en 70 años de experimentos con colisionadores de partículas. Sin embargo, muchos fenómenos físicos interesantes no se ajustan claramente a este paradigma. Por ejemplo, si se desea estudiar la dinámica interna de una estrella de neutrones, a veces se necesita saber más que en qué se desintegrará finalmente. En otras palabras, puede interesar el estudio de mediciones que no se encuentran en el futuro asintótico. En ocasiones, ni siquiera se dispone de un pasado o futuro asintótico. Por ejemplo, es muy posible que no exista un pasado anterior al Big Bang .

En la década de 1960, muchos físicos elevaron el paradigma de la matriz S a la categoría de ley fundamental de la naturaleza. En la teoría de la matriz S , se afirmaba que cualquier magnitud medible debía encontrarse en la matriz S para algún proceso. Esta idea se inspiró en la interpretación física que las técnicas de la matriz S podían dar a los diagramas de Feynman restringidos a la capa de masas , y condujo a la construcción de modelos de resonancia dual . Sin embargo, fue muy controvertida, ya que negaba la validez de la teoría cuántica de campos basada en campos locales y hamiltonianos.

La conexión con Lippmann-Schwinger

Intuitivamente, las funciones propias ligeramente deformadasψ(±){\displaystyle \psi ^{(\pm )}}del hamiltoniano completo H son los estados de entrada y salida.ϕ{\displaystyle \phi }son estados que no interactúan entre sí y que se asemejan a los estados de entrada y salida en el pasado infinito y el futuro infinito.

Creación de paquetes de ondas

Esta imagen intuitiva no es del todo correcta, porque ψ(±){\displaystyle \psi ^{(\pm )}}es una autofunción del hamiltoniano y, por lo tanto, en diferentes momentos solo difiere en una fase. Por lo tanto, en particular, el estado físico no evoluciona y, por lo tanto, no puede volverse no interactuante. Este problema se sortea fácilmente ensamblandoψ(±){\displaystyle \psi ^{(\pm )}}yϕ{\displaystyle \phi }en paquetes de ondas con alguna distribucióngramo(mi){\displaystyle g(E)}de energíasmi{\displaystyle E}en una escala característicaΔmi{\displaystyle \Delta E}El principio de incertidumbre ahora permite que las interacciones de los estados asintóticos ocurran en una escala de tiempo.ℏ/Δmi{\displaystyle \hbar /\Delta E}y, en particular, ya no es inconcebible que las interacciones puedan desactivarse fuera de este intervalo. El siguiente argumento sugiere que, en efecto, así es.

Sustituyendo las ecuaciones de Lippmann-Schwinger en las definiciones ψgramo(±)(t)=∫dmimi−imitgramo(mi)ψ(±){\displaystyle \psi _{g}^{(\pm )}(t)=\int dE\,e^{-iEt}g(E)\psi ^{(\pm )}} y ϕgramo(t)=∫dmimi−imitgramo(mi)ϕ{\displaystyle \phi _{g}(t)=\int dE\,e^{-iEt}g(E)\phi } de los paquetes de ondas vemos que, en un momento dado, la diferencia entre losψgramo(t){\displaystyle \psi _{g}(t)}yϕgramo(t){\displaystyle \phi _{g}(t)}Los paquetes de ondas vienen dados por una integral sobre la energía E.

Una integral de contorno

Esta integral puede evaluarse definiendo la función de onda sobre el plano complejo E y cerrando el contorno E mediante un semicírculo en el que las funciones de onda se anulan. La integral sobre el contorno cerrado puede evaluarse entonces, utilizando el teorema integral de Cauchy , como una suma de los residuos en los distintos polos. Ahora argumentaremos que los residuos deψ(±){\displaystyle \psi ^{(\pm )}}acercarse a los deϕ{\displaystyle \phi }en ese momentot→∓∞{\displaystyle t\to \mp \infty }y, por lo tanto, los paquetes de ondas correspondientes son iguales en el infinito temporal.

De hecho, en tiempos muy positivos elmi−imit{\displaystyle e^{-iEt}}El factor en un estado de imagen de Schrödinger obliga a cerrar el contorno en el semiplano inferior. El polo en el(ϕ,Vψ±){\displaystyle (\phi ,V\psi ^{\pm })}La ecuación de Lippmann-Schwinger refleja la incertidumbre temporal de la interacción, mientras que la función de peso del paquete de ondas refleja la duración de la interacción. Ambas variedades de polos aparecen en energías imaginarias finitas y, por lo tanto, se suprimen en tiempos muy grandes. El polo en la diferencia de energía en el denominador está en el semiplano superior en el caso deψ−{\displaystyle \psi ^{-}}y por lo tanto no se encuentra dentro del contorno integral y no contribuye a laψ−{\displaystyle \psi ^{-}}integral. El resto es igual a laϕ{\displaystyle \phi }paquete de ondas. Por lo tanto, en tiempos muy tardíosψ−=ϕ{\displaystyle \psi ^{-}=\phi }, identificandoψ−{\displaystyle \psi ^{-}}como el estado asintótico de salida no interactuante .

De manera similar, se puede integrar el paquete de ondas correspondiente aψ+{\displaystyle \psi ^{+}}en momentos muy negativos. En este caso, el contorno debe cerrarse sobre el semiplano superior, lo que por lo tanto no alcanza el polo de energía deψ+{\displaystyle \psi ^{+}}, que se encuentra en el semiplano inferior. Entonces se encuentra que elψ+{\displaystyle \psi ^{+}}yϕ{\displaystyle \phi }Los paquetes de ondas son iguales en el pasado asintótico, identificandoψ+{\displaystyle \psi ^{+}}como el estado asintótico no interactuante .

El denominador complejo de Lippmann-Schwinger

Esta identificación de laψ{\displaystyle \psi }'s como estados asintóticos es la justificación para el±ϵ{\displaystyle \pm \epsilon }en el denominador de las ecuaciones de Lippmann-Schwinger.

Una fórmula para la matriz S

La matriz S se define como el producto interno. Sab=(ψa−,ψb+){\displaystyle S_{ab}=(\psi _{a}^{-},\psi _{b}^{+})} de los estados asintóticos de la imagen de Heisenberg a y b . Se puede obtener una fórmula que relacione la matriz S con el potencial V utilizando la estrategia de integral de contorno anterior, pero esta vez cambiando los roles deψ+{\displaystyle \psi ^{+}}yψ−{\displaystyle \psi ^{-}}. Como resultado, el contorno ahora sí capta el polo de energía. Esto puede estar relacionado con elϕ{\displaystyle \phi }es si uno usa la matriz S para intercambiar los dosψ{\displaystyle \psi }'s. Identificación de los coeficientes de laϕ{\displaystyle \phi }En ambos lados de la ecuación se encuentra la fórmula deseada que relaciona S con el potencial. Sab=δ(a−b)−2iπδ(mia−mib)(ϕa,Vψb+).{\displaystyle S_{ab}=\delta (a-b)-2i\pi \delta (E_{a}-E_{b})(\phi _{a},V\psi _{b}^{+}).}

En la aproximación de Born , correspondiente a la teoría de perturbaciones de primer orden , se reemplaza este últimoψ+{\displaystyle \psi ^{+}}con la autofunción correspondienteϕ{\displaystyle \phi }del hamiltoniano libre H 0 , lo que produce Sab=δ(a−b)−2iπδ(mia−mib)(ϕa,Vϕb){\displaystyle S_{ab}=\delta (a-b)-2i\pi \delta (E_{a}-E_{b})(\phi _{a},V\phi _{b})\,} que expresa la matriz S completamente en términos de V y funciones propias del hamiltoniano libre.

Estas fórmulas pueden utilizarse a su vez para calcular la velocidad de reacción del proceso.b→a{\displaystyle b\to a}, que es igual a|Sab−δab|2.{\displaystyle |S_{ab}-\delta _{ab}|^{2}.}

Homogeneización

Mediante el uso de la función de Green, la ecuación de Lippmann-Schwinger tiene equivalentes en la teoría de la homogeneización (por ejemplo, en mecánica, conductividad y permitividad).

Ecuación de Lippmann-Schwinger para ondas acústicas

Una fuente acústica dependiente del tiempo con soporte espacial finito ubicada en la posiciónincógnitas{\displaystyle x_{s}}genera un campo de presiónpags(t,incógnita){\displaystyle p^{s}(t,x)}gobernado por

[∂t2−do2(incógnita)Δ]pags(t,incógnita)=F(t)δincógnitas(incógnita),{\displaystyle [\,\partial _{t}^{2}-c^{2}(x)\,\Delta \,]\,p^{s}(t,x)=f(t)\,\delta _{x_{s}}(x),}

dóndedo(incógnita){\displaystyle c(x)}denota la velocidad del sonido que varía espacialmente yF(t){\displaystyle f(t)}el pulso fuente. Defina el campo convolucionado en el tiempo.

pagdos(t,incógnita):=−F′(−⋅)⋆tpags(⋅,incógnita),{\displaystyle p_{c}^{s}(t,x):=-\,f'(-\!\cdot )\,\star _{t}\,p^{s}(\cdot ,x),}

que satisface una ecuación de onda similar impulsada por el pulso par. F(t)=F(−t)⋆tF(t){\displaystyle F(t)=f(-t)\star _{t}f(t)}:

[∂t2−do2(incógnita)Δ]pagdos(t,incógnita)=F′(t)δincógnitas(incógnita).{\displaystyle [\,\partial _{t}^{2}-c^{2}(x)\,\Delta \,]\,p_{c}^{s}(t,x)=F'(t)\,\delta _{x_{s}}(x).}

Formulación definida positiva simétrica

Resulta conveniente introducir el operador simétrico definido positivo (SPD).

Ado:=−doΔ(do⋅),{\displaystyle A_{c}:=-\,c\,\Delta (c\,\cdot ),}

y el campo de ondas reescalado

PAGs(t,incógnita):=do(incógnitas)do(incógnita)pagdos(t,incógnita)=−do(incógnitas)do(incógnita)F′(−⋅)⋆tpags(⋅,incógnita),{\displaystyle P^{s}(t,x):={\frac {c(x_{s})}{c(x)}}\,p_{c}^{s}(t,x)=-\,{\frac {c(x_{s})}{c(x)}}\,f'(-\!\cdot )\,\star _{t}\,p^{s}(\cdot ,x),}

que satisface la ecuación diferencial parcial SPD

[∂t2+Ado]PAGs(t,incógnita)=F′(t)δincógnitas(incógnita).{\displaystyle [\,\partial _{t}^{2}+A_{c}\,]\,P^{s}(t,x)=F'(t)\,\delta _{x_{s}}(x).}

Defina la onda par en el tiempo

W(t,incógnita):=PAGs(t,incógnita)+PAGs(−t,incógnita),{\displaystyle W(t,x):=P^{s}(t,x)+P^{s}(-t,x),}

que obedece a la ecuación homogénea

[∂t2+Ado]W(t,incógnita)=0,{\displaystyle [\,\partial _{t}^{2}+A_{c}\,]\,W(t,x)=0,}

con el estado inicial

W(0,incógnita)=φ(incógnita):=F^[Ado]δincógnitas(incógnita).{\displaystyle W(0,x)=\varphi (x):={\widehat {F}}[{\sqrt {A_{c}}}]\,\delta _{x_{s}}(x).}

Esta onda puede expresarse explícitamente como

W(t,incógnita)=porque⁡[tAdo]φ(incógnita).{\displaystyle W(t,x)=\cos[t\,{\sqrt {A_{c}}}]\,\varphi (x).}

Medio de referencia y función de Green

Dejardo0(incógnita){\displaystyle c_{0}(x)}denota un campo de velocidad de referencia (fondo), con operadorAdo0:=−,do0,Δ(do0,⋅){\displaystyle A_{c_{0}}:=-,c_{0},\Delta (c_{0},\cdot )}La función de Green causal correspondienteGRAMO0(t,incógnita,incógnita′){\displaystyle G_{0}(t,x,x')}Satisface

[∂t2+Ado0]GRAMO0(t,incógnita,incógnita′)=δ′(t)δincógnita′(incógnita),GRAMO0(t,incógnita,incógnita′)=0 para t<0.{\displaystyle [\partial _{t}^{2}+A_{c_{0}}]\,G_{0}(t,x,x')=\delta '(t)\,\delta _{x'}(x),\qquad G_{0}(t,x,x')=0\ {\text{for}}\ t<0.}

Las condiciones de contorno se eligen de forma consistente (tipo mixto Dirichlet-Neumann):

[1∂ΩD(incógnita)+1∂Ωnorte(incógnita)∂norte]GRAMO0(t,incógnita,incógnita′)=0.{\displaystyle {\big [}\,1_{\partial \Omega _{D}}(x)+1_{\partial \Omega _{N}}(x)\,\partial _{n}{\big ]}\,G_{0}(t,x,x')=0.}

Derivación de la ecuación de Lippmann-Schwinger

Desde[∂t2+Ado],W=0{\displaystyle [\partial _{t}^{2}+A_{c}],W=0}y[∂t2+Ado0]GRAMO0=δ′(t)δincógnita′(incógnita){\displaystyle [\partial _{t}^{2}+A_{c_{0}}]G_{0}=\delta '(t)\delta _{x'}(x)}, entonces

W(t,incógnita)=W0(t,incógnita)−∫0t∫ΩGRAMO0(t−t′,incógnita,incógnita′)V(incógnita′)∂t′W(t′,incógnita′)dincógnita′dt′,{\displaystyle W(t,x)=W_{0}(t,x)-\int _{0}^{t}\!\!\int _{\Omega }G_{0}(t-t',x,x')\,V(x')\,\partial _{t'}W(t',x')\,dx'\,dt',}[ 8 ]

dóndeW0{\displaystyle W_{0}}denota la solución correspondiente en el medio de referencia, es decir [∂t2+Ado0]W0=0{\displaystyle [\partial _{t}^{2}+A_{c_{0}}]W_{0}=0}con los datos iniciales correspondientes.

Para la obtención de imágenes, el contrasteV(incógnita′)=−do2(incógnita′)−do02(incógnita′)do(incógnita′)do0(incógnita′){\displaystyle V(x')=-\,{\frac {c^{2}(x')-c_{0}^{2}(x')}{c(x')\,c_{0}(x')}}}es la cantidad de interés.

Esta ecuación integral espacio-temporal expresa el campo total (disperso + fondo).W{\displaystyle W}en términos del campo de fondoW0{\displaystyle W_{0}}y el contraste medio (do2−do02)/(do,do0){\displaystyle (c^{2}-c_{0}^{2})/(c,c_{0})}Linealizando esta ecuación mediante sustituciónW≈W0{\displaystyle W\approx W_{0}}Dentro de la integral se obtiene la aproximación de Born, comúnmente utilizada en la teoría de la dispersión acústica y sísmica.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Lippmann y Schwinger 1950 , pág. 469 
  2. ↑ Joachain 1983 , pág. 112 
  3. ↑ Weinberg 2002 , pág. 111 
  4. ↑ Joachain 1983 , pág. 517 
  5. ↑ Joachain 1983 , pág. 576 
  6. ↑ Wheeler 1937 , págs. 1107 
  7. ↑ Weinberg 2002 , Sección 3.1.
  8. ↑ Borcea, Liliana; Garnier, Josselin; Mamonov, Alexander V.; Zimmerling, Jörn (31 de marzo de 2023). "Inversión de forma de onda con una estimación de la onda interna basada en datos". SIAM Journal on Imaging Sciences . 16 (1): 280– 312. doi : 10.1137/22M1517342 .

Bibliografía

Publicaciones originales

  • Lippmann, BA ; Schwinger, J. (1950). "Principios variacionales para procesos de dispersión. I". Phys. Rev. Lett . 79 (3): 469– 480. Bibcode : 1950PhRv...79..469L . doi : 10.1103/PhysRev.79.469 .
  • Wheeler, JA (1937). "Sobre la descripción matemática de los núcleos ligeros mediante el método de la estructura de grupos resonantes". Phys. Rev. 52 ( 11): 1107– 1122. Bibcode : 1937PhRv...52.1107W . doi : 10.1103/PhysRev.52.1107 .