Continuidad de Lipschitz

En análisis matemático , la continuidad de Lipschitz es una propiedad de regularidad de las funciones entre espacios métricos que es más fuerte que la continuidad uniforme y, por lo tanto, también más fuerte que la continuidad . Intuitivamente, una función continua de Lipschitz tiene un límite en la rapidez con que puede cambiar: existe un número real tal que, para cada par de puntos en la gráfica de esta función, el valor absoluto de la pendiente de la recta que los une no es mayor que este número real; el límite más pequeño de este tipo se llama constante de Lipschitz de la función (y está relacionado con el módulo de continuidad uniforme ). Por ejemplo, toda función definida en un intervalo y con una primera derivada acotada es continua de Lipschitz. ^{[ 1 ]}

En la teoría de ecuaciones diferenciales , la continuidad de Lipschitz es la condición central del teorema de Picard-Lindelöf, que garantiza la existencia y unicidad de la solución a un problema de valor inicial . Un tipo especial de continuidad de Lipschitz, denominada contracción , se utiliza en el teorema del punto fijo de Banach . ^{[ 2 ]}

Tenemos la siguiente cadena de inclusiones estrictas para funciones sobre un intervalo cerrado y acotado de la recta real con interior no vacío :

Continuamente diferenciable ⊂ Continua de Lipschitz ⊂${\displaystyle \alpha }$- Hölder continuo ,

dónde${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$También tenemos

Continuo de Lipschitz ⊂ absolutamente continuo ⊂ uniformemente continuo ⊂ continuo .

La continuidad de Lipschitz recibe su nombre del matemático alemán Rudolf Lipschitz .

Dados dos espacios métricos ( X , d _X ) y ( Y , d _Y ), donde d _X denota la métrica en el conjunto X y d _Y es la métrica en el conjunto Y , una función f  : X → Y se llama continua de Lipschitz si existe una constante real K ≥ 0 tal que, para todo x ₁ y x ₂ en X ,

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2}).}$^{[ 3 ]}

Cualquier K de este tipo se denomina constante de Lipschitz para la función f, y f también puede denominarse K-Lipschitz . La constante más pequeña a veces se denomina constante de Lipschitz (óptima) ^{[ 4 ]} de f o dilatación ^{[ 5 ] [ 6 ]} de f . La función f misma a veces se denomina "aplicación de Lipschitz". Si K = 1, la función se denomina aplicación corta , y si 0 ≤ K < 1 y f aplica un espacio métrico a sí misma, la función se denomina contracción .

En particular, una función de valor real f  : R → R se denomina continua de Lipschitz si existe una constante real positiva K tal que, para todo x ₁ y x ₂ reales ,

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq K|x_{1}-x_{2}|.}$

En este caso, Y es el conjunto de números reales R con la métrica estándar d _Y ( y ₁ , y ₂ ) = | y ₁ − y ₂ |, y X es un subconjunto de R .

En general, la desigualdad se satisface (trivialmente) si x ₁ = x ₂ . De lo contrario, se puede definir equivalentemente una función como continua de Lipschitz si y solo si existe una constante K ≥ 0 tal que, para todo x ₁ ≠ x ₂ ,

${\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}\leq K.}$

Para funciones de valores reales de varias variables reales, esto se cumple si y solo si el valor absoluto de las pendientes de todas las rectas secantes está acotado por K. El conjunto de rectas con pendiente K que pasan por un punto de la gráfica de la función forma un cono circular, y una función es Lipschitz si y solo si su gráfica se encuentra completamente fuera de este cono en todos los puntos (véase la figura).

Una función se denomina localmente Lipschitz continua si para cada x en X existe un entorno U de x tal que f restringida a U es Lipschitz continua. De forma equivalente, si X es un espacio métrico localmente compacto , entonces f es localmente Lipschitz si y solo si es Lipschitz continua en todo subconjunto compacto de X. En espacios que no son localmente compactos, esta es una condición necesaria, pero no suficiente.

De forma más general, se dice que una función f definida en X es continua de Hölder o satisface una condición de Hölder de orden α > 0 en X si existe una constante M ≥ 0 tal que

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Md_{X}(x_{1},x_{2})^{\alpha }}$

para todo x ₁ y x ₂ en X . A veces, una condición de Hölder de orden α también se denomina condición de Lipschitz uniforme de orden α > 0.

Para un número real K ≥ 1, si

${\displaystyle {\frac {1}{K}}d_{X}(x_{1},x_{2})\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2})\quad {\text{ for all }}x_{1},x_{2}\in X,}$

Entonces, f se denomina K -bilipschitz (también escrito K -bi-Lipschitz ). Decimos que f es bilipschitz o bi-Lipschitz para indicar que existe tal K. Una aplicación bilipschitz es inyectiva y, de hecho, es un homeomorfismo sobre su imagen. Una función bilipschitz es lo mismo que una función Lipschitz inyectiva cuya función inversa también es Lipschitz.

funciones continuas de Lipschitz que son diferenciables en todas partes

• La función${\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}}$Definida para todos los números reales, es Lipschitz continua con la constante de Lipschitz K  =  1, porque es diferenciable en todas partes y el valor absoluto de la derivada está acotado superiormente por 1. Véase la primera propiedad que aparece a continuación en " Propiedades ".
• Asimismo, la función seno es continua de Lipschitz porque su derivada, la función coseno, está acotada superiormente por 1 en valor absoluto.

Funciones continuas de Lipschitz que no son diferenciables en todas partes.

• La función${\displaystyle f(x)=|x|}$Definida en los números reales, es Lipschitz continua con constante de Lipschitz igual a 1, según la desigualdad triangular inversa . De forma más general, una norma en un espacio vectorial es Lipschitz continua con respecto a la métrica asociada, con constante de Lipschitz igual a 1.

Funciones continuas de Lipschitz que son diferenciables en todas partes pero no continuamente diferenciables.

• La función${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$, cuya derivada existe pero tiene una discontinuidad esencial en${\displaystyle x=0}$.

Funciones continuas que no son (globalmente) continuas de Lipschitz

• La función f ( x )  = √ x definida en [0, 1] no es Lipschitz continua. Esta función se vuelve infinitamente inclinada a medida que x tiende a 0, ya que su derivada se vuelve infinita. Sin embargo, es uniformemente continua, ^{[ 7 ]} y tanto Hölder continua de clase C ^{0, α} para α ≤ 1/2 como absolutamente continua en [0, 1] (ambas implican lo anterior).     

Funciones diferenciables que no son (localmente) Lipschitz continuas

• La función f definida por f (0)  =  0 y f ( x )  = x³ ^/² sin(1/ x ) para 0 < x ≤ 1 constituye un ejemplo de función diferenciable en un conjunto compacto, pero no localmente Lipschitz, ya que su derivada no está acotada. Véase también la primera propiedad a continuación. 

Funciones analíticas que no son (globalmente) continuas de Lipschitz

• La función exponencial se vuelve arbitrariamente pronunciada cuando x → ∞, y por lo tanto no es globalmente Lipschitz continua, a pesar de ser una función analítica .
• La función f ( x )  = x² con dominio de todos los números reales no es Lipschitz continua. Esta función se vuelve arbitrariamente empinada a medida que x tiende a infinito. Sin embargo ^, localmente es Lipschitz continua. 

• Una función g  : R → R diferenciable en todas partes es Lipschitz continua (con K = sup | g ′( x )|) si y solo si tiene una primera derivada acotada ; una de las direcciones se deduce del teorema del valor medio . En particular, cualquier función continuamente diferenciable es localmente Lipschitz, ya que las funciones continuas están localmente acotadas, por lo que su gradiente también lo está.      
• Una función de Lipschitz g  : R → R es absolutamente continua y, por lo tanto, es diferenciable casi en todas partes , es decir, diferenciable en cada punto fuera de un conjunto de medida de Lebesgue cero. Su derivada está esencialmente acotada en magnitud por la constante de Lipschitz, y para a < b , la diferencia g ( b ) − g ( a ) es igual a la integral de la derivada g ′ en el intervalo [ a , b ].        
  • Por el contrario, si f  : I  → R es absolutamente continua y por lo tanto diferenciable casi en todas partes, y satisface | f′ ( x )|  ≤ K para casi todo x en I , entonces f es Lipschitz continua con constante de Lipschitz como máximo K .
  • De forma más general, el teorema de Rademacher extiende el resultado de diferenciabilidad a aplicaciones de Lipschitz entre espacios euclidianos: una aplicación de Lipschitz f  : U → R ^m , donde U es un conjunto abierto en R ⁿ , es casi en todas partes diferenciable . Además, si K es la mejor constante de Lipschitz de f , entonces   ${\displaystyle \|Df(x)\|\leq K}$siempre que exista la derivada total Df .
• Para un mapa de Lipschitz diferenciable${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$la desigualdad${\displaystyle \|Df\|_{L^{\infty }(U)}\leq K}$Se mantiene para la mejor constante de Lipschitz${\displaystyle K}$de${\displaystyle f}$. Si el dominio${\displaystyle U}$es convexo entonces de hecho${\displaystyle \|Df\|_{L^{\infty }(U)}=K}$.
• Supongamos que { f _n } es una sucesión de aplicaciones continuas de Lipschitz entre dos espacios métricos, y que todas las f _n tienen una constante de Lipschitz acotada por algún K. Si f _n converge uniformemente a una aplicación f , entonces f también es de Lipschitz, con una constante de Lipschitz acotada por el mismo K. En particular, esto implica que el conjunto de funciones de valor real en un espacio métrico compacto con una cota particular para la constante de Lipschitz es un subconjunto cerrado y convexo del espacio de Banach de funciones continuas. Sin embargo, este resultado no se cumple para sucesiones en las que las funciones pueden tener constantes de Lipschitz no acotadas . De hecho, el espacio de todas las funciones de Lipschitz en un espacio métrico compacto es una subálgebra del espacio de Banach de funciones continuas y, por lo tanto, denso en él, una consecuencia elemental del teorema de Stone-Weierstrass (o como consecuencia del teorema de aproximación de Weierstrass , porque todo polinomio es localmente continuo de Lipschitz).
• Toda aplicación continua de Lipschitz es uniformemente continua y, por lo tanto, continua . De manera más general, un conjunto de funciones con constante de Lipschitz acotada forma un conjunto equicontinuo . El teorema de Arzelà-Ascoli implica que si { f _n } es una sucesión uniformemente acotada de funciones con constante de Lipschitz acotada, entonces tiene una subsucesión convergente. Por el resultado del párrafo anterior, la función límite también es de Lipschitz, con la misma cota para la constante de Lipschitz. En particular, el conjunto de todas las funciones de Lipschitz de valor real en un espacio métrico compacto X con constante de Lipschitz ≤ K es un subconjunto convexo localmente compacto del espacio de Banach C ( X ). 
• Para una familia de funciones continuas de Lipschitz f _α con constante común, la función${\displaystyle \sup _{\alpha }f_{\alpha }}$(y${\displaystyle \inf _{\alpha }f_{\alpha }}$) también es Lipschitz continua, con la misma constante de Lipschitz, siempre que tome un valor finito al menos en un punto.
• Si U es un subconjunto del espacio métrico M y f  : U  → R es una función continua de Lipschitz, siempre existen aplicaciones continuas de Lipschitz M  → R que extienden f y tienen la misma constante de Lipschitz que f (véase también el teorema de Kirszbraun ). Una extensión viene dada por

${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=\inf _{u\in U}\{f(u)+k\,d(x,u)\},}$

donde k es una constante de Lipschitz para f en U.

Una estructura de Lipschitz en una variedad topológica se define utilizando un atlas de cartas cuyos mapas de transición son bilipschitz; esto es posible porque los mapas bilipschitz forman un pseudogrupo . Dicha estructura permite definir localmente mapas de Lipschitz entre dichas variedades, de forma similar a como se definen mapas suaves entre variedades suaves : si M y N son variedades de Lipschitz, entonces una función${\displaystyle f:M\to N}$es localmente Lipschitz si y solo si para cada par de cartas de coordenadas${\displaystyle \phi :U\to M}$y${\displaystyle \psi :V\to N}$donde U y V son conjuntos abiertos en los espacios euclidianos correspondientes, la composición $${\displaystyle \psi ^{-1}\circ f\circ \phi :U\cap (f\circ \phi )^{-1}(\psi (V))\to V}$$ es localmente Lipschitz. Esta definición no depende de definir una métrica ^en M o N. ^{[ 8} ]

Esta estructura es intermedia entre la de una variedad lineal a trozos y una variedad topológica : una estructura PL da lugar a una estructura Lipschitz única. ^{[ 9 ]} Si bien las variedades Lipschitz están estrechamente relacionadas con las variedades topológicas, el teorema de Rademacher permite realizar análisis, lo que da lugar a diversas aplicaciones. ^{[ 8 ]}

Sea F ( x ) una función semicontinua superior de x , y que F ( x ) es un conjunto cerrado y convexo para todo x . Entonces F es Lipschitz unilateral ^{[ 10 ]} si

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{T}(F(x_{1})-F(x_{2}))\leq C\Vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}}$

para algún C y para todos los x ₁ y x ₂ .

Es posible que la función F tenga una constante de Lipschitz muy grande, pero una constante de Lipschitz unilateral de tamaño moderado, o incluso negativa. Por ejemplo, la función

${\displaystyle {\begin{cases}F:\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ,\\F(x,y)=-50(y-\cos(x))\end{cases}}}$

tiene una constante de Lipschitz K = 50 y una constante de Lipschitz unilateral C = 0. Un ejemplo que es Lipschitz unilateral pero no Lipschitz continua es F ( x ) = e ^{− x} , con C = 0.

• Mapeo de contracción : función que reduce la distancia entre todos los puntos. 
• Continuidad de Dini
• Módulo de continuidad
• Cuasi-isometría
• Lema de Johnson-Lindenstrauss : para cualquier número entero${\displaystyle n\geq 0}$, any finite subset X⊆Rⁿ, and any real number ${\displaystyle 0<\epsilon <1}$, there exists a (1+ε)-bi-Lipschitz function ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{d},}$ where ${\displaystyle d=\lceil 15(\ln |X|)/\varepsilon ^{2}\rceil .}$