Lista de sólidos de Johnson

En geometría, los poliedros son objetos tridimensionales en los que los puntos están conectados por líneas para formar polígonos . Los puntos, líneas y polígonos de un poliedro se denominan vértices , aristas y caras , respectivamente. ^[1] Se considera que un poliedro es convexo si: ^[2]

• El camino más corto entre dos de sus vértices se encuentra en su interior o en su límite .
• Ninguna de sus caras es coplanar , es decir, no comparten el mismo plano y no quedan “planas”.
• Ninguno de sus bordes es colineal , es decir, no son segmentos de la misma línea.

Un poliedro convexo cuyas caras son polígonos regulares se conoce como sólido de Johnson o, a veces, como sólido de Johnson-Zalgaller . Algunos autores excluyen los poliedros uniformes de la definición. Un poliedro uniforme es un poliedro en el que las caras son regulares y son isogonales ; los ejemplos incluyen sólidos platónicos y arquimedianos , así como prismas y antiprismas . ^[3] Los sólidos de Johnson reciben su nombre del matemático estadounidense Norman Johnson (1930-2017), quien publicó una lista de 92 poliedros de este tipo en 1966. Su conjetura de que la lista estaba completa y no existían otros ejemplos fue demostrada por el matemático ruso-israelí Victor Zalgaller (1920-2020) en 1969. ^[4]

Algunos de los sólidos de Johnson pueden clasificarse como poliedros elementales , lo que significa que no pueden separarse por un plano para crear dos pequeños poliedros convexos con caras regulares. Los sólidos de Johnson que satisfacen este criterio son los seis primeros: pirámide cuadrada equilátera , pirámide pentagonal , cúpula triangular , cúpula cuadrada , cúpula pentagonal y rotonda pentagonal . El criterio también lo satisfacen otros once sólidos de Johnson, específicamente el icosaedro tridisminuido , el rombicosidodecaedro parabidisminuido , el rombicosidodecaedro tridisminuido , el disfenoide romo , el antiprisma cuadrado romo , la esfenocorona , la esfenomegacorona , la hebesfenomegacorona , el disfenocínculo , la bilunabirotonda y la hebesfenorrotonda triangular . ^[5] El resto de los sólidos de Johnson no son elementales, y se construyen utilizando los primeros seis sólidos de Johnson junto con sólidos platónicos y arquimedianos en varios procesos. La aumentación implica unir los sólidos de Johnson a una o más caras de poliedros, mientras que la elongación o giroelongación implican unirlos a las bases de un prisma o antiprisma, respectivamente. Algunos otros se construyen por disminución , la eliminación de uno de los primeros seis sólidos de una o más de las caras de un poliedro. ^[6]

La siguiente tabla contiene los 92 sólidos de Johnson, con longitud de arista . La tabla incluye la enumeración del sólido (denotada como ). ^[7] También incluye el número de vértices, aristas y caras de cada sólido, así como su grupo de simetría , área de superficie y volumen . Cada poliedro tiene sus propias características , incluyendo simetría y medida. Se dice que un objeto tiene simetría si hay una transformación que lo asigna a sí mismo. Todas esas transformaciones pueden estar compuestas en un grupo , junto con el número de elementos del grupo , conocido como orden . En el espacio bidimensional, estas transformaciones incluyen rotar alrededor del centro de un polígono y reflejar un objeto alrededor de la bisectriz perpendicular de un polígono. Un polígono que se rota simétricamente por se denota por , un grupo cíclico de orden ; combinando esto con la simetría de reflexión da como resultado la simetría del grupo diedro de orden . ^[8] En los grupos de puntos de simetría tridimensionales , las transformaciones que preservan la simetría de un poliedro incluyen la rotación alrededor de la línea que pasa por el centro de la base, conocida como eje de simetría , y la reflexión relativa a los planos perpendiculares que pasan por la bisectriz de una base, que se conoce como simetría piramidal de orden . La transformación que preserva la simetría de un poliedro reflejándolo a través de un plano horizontal se conoce como simetría prismática de orden . La simetría antiprismática de orden preserva la simetría rotando su mitad inferior y reflejándose a través del plano horizontal. ^[9] El grupo de simetría de orden preserva la simetría mediante rotación alrededor del eje de simetría y reflexión en el plano horizontal; el caso específico que preserva la simetría mediante una rotación completa es de orden 2, a menudo denotado como . ^[10] La medición de los poliedros incluye el área de la superficie y el volumen . Un área es una medida bidimensional calculada por el producto de la longitud y el ancho; Para un poliedro, el área de la superficie es la suma de las áreas de todas sus caras. ^[11] Un volumen es una medida de una región en el espacio tridimensional. ^[12]${\estilo de visualización a}$$Estilo de visualización J_{n}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización V}$${\textstyle {\frac {360^{\circ }}{n}}}$$Estilo de visualización C_{n}$${\estilo de visualización n}$ $Estilo de visualización D_{n}$${\estilo de visualización 2n}$ ${\displaystyle C_{n\mathrm {v}}}$${\estilo de visualización 2n}$ ${\displaystyle D_{n\mathrm {h}}}$${\estilo de visualización 4n}$ ${\displaystyle D_{n\mathrm {d}}}$${\estilo de visualización 4n}$${\displaystyle C_{n\mathrm {h}}}$${\estilo de visualización 2n}$${\displaystyle C_{1\mathrm {h}}}$${\displaystyle C_{s}}$El volumen de un poliedro se puede determinar de diferentes maneras: ya sea a través de su base y altura (como para las pirámides y los prismas ), cortándolo en pedazos y sumando sus volúmenes individuales, o encontrando la raíz de un polinomio que represente al poliedro. ^[13]

• Hart, George W. "Sólidos Johnson".
• "Poliedros de Johnson". – Imágenes de los 92 sólidos Johnson clasificados
• "Sólidos Johnson". – Visualizaciones de los 92 sólidos de Johnson
• Bulatov, Vladimir. "Sólidos de Johnson". – Modelos VRML de sólidos de Johnson
• Gagnon, Sylvain (1982). "Les polyèdres convexes aux faces régulières" [Poliedros convexos de caras regulares] (PDF) . Topologie Structurale [ Topología estructural ] (en francés) (6): 83–95.