Lista de ecuaciones relativistas

A continuación se presenta una lista de las ecuaciones que aparecen con frecuencia en la teoría de la relatividad especial .

Para derivar las ecuaciones de la relatividad especial, uno debe comenzar con otras dos

1. Las leyes de la física son invariantes ante transformaciones entre sistemas de referencia inerciales. En otras palabras, las leyes de la física serán las mismas tanto si se ponen a prueba en un sistema de referencia en reposo como en uno que se mueve con velocidad constante respecto al sistema de referencia en reposo.
2. La velocidad de la luz en un vacío clásico perfecto ( ) es medida como la misma por todos los observadores en sistemas de referencia inerciales y, además, es finita pero distinta de cero. Esta velocidad actúa como supremo para la velocidad de transmisión local de información en el universo.${\displaystyle c_{0}}$

En este contexto, «velocidad de la luz» se refiere en realidad a la velocidad suprema de la transmisión de información o del movimiento de la materia ordinaria (de masa no negativa), localmente, como en un vacío clásico. Por lo tanto, una descripción más precisa se referiría a la velocidad de la luz en sí misma, en lugar de a la velocidad de la luz propiamente dicha. Sin embargo, la luz y otras partículas sin masa viajan teóricamente a una velocidad de la luz en condiciones de vacío, y los experimentos han confirmado esta noción con bastante precisión. Independientemente de si la luz viaja a una velocidad de la luz , la velocidad de la luz actúa como tal suprema, y ​​esa es la suposición que importa para la Relatividad. ${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle c_{0}}$

A partir de estos dos postulados, se deduce toda la relatividad especial.

En lo que sigue, la velocidad relativa v entre dos sistemas de referencia inerciales se restringe completamente a la dirección x de un sistema de coordenadas cartesianas .

Las siguientes notaciones se utilizan con mucha frecuencia en la relatividad especial:

factor de Lorentz

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$

donde y v es la velocidad relativa entre dos sistemas de referencia inerciales . ${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$

Para dos sistemas de referencia en reposo, γ = 1, y aumenta con la velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia inerciales. A medida que la velocidad relativa se aproxima a la velocidad de la luz, γ → ∞.

Dilatación del tiempo (tiempos diferentes t y t' en la misma posición x en el mismo sistema de referencia inercial)

${\displaystyle t'=\gamma t}$

En este ejemplo, el tiempo medido en el sistema de referencia del vehículo, t , se conoce como tiempo propio . El tiempo propio entre dos eventos —como la emisión de luz en el vehículo y la recepción de luz en el mismo— es el tiempo transcurrido entre ambos eventos en un sistema de referencia donde ocurren en la misma ubicación. Por lo tanto, en el ejemplo anterior, tanto la emisión como la recepción de la luz tuvieron lugar en el sistema de referencia del vehículo, lo que hace que el tiempo que un observador en dicho sistema mediría sea el tiempo propio.

Contracción de la longitud (diferentes posiciones x y x' en el mismo instante t en el mismo sistema de referencia inercial)

${\displaystyle \ell '={\frac {\ell }{\gamma }}}$

Esta es la fórmula para la contracción de la longitud. Así como existe un tiempo propio para la dilatación del tiempo, existe una longitud propia para la contracción de la longitud, que en este caso es ℓ . La longitud propia de un objeto es la longitud del objeto en el sistema de referencia en el que se encuentra en reposo. Además, esta contracción solo afecta a las dimensiones del objeto que son paralelas a la velocidad relativa entre el objeto y el observador. Por lo tanto, las longitudes perpendiculares a la dirección del movimiento no se ven afectadas por la contracción de la longitud.

Transformación de Lorentz

${\displaystyle x'=\gamma \left(x-vt\right)}$

${\displaystyle y'=y\,}$

${\displaystyle z'=z\,}$

${\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)}$

Adición de velocidad

${\displaystyle V'_{x}={\frac {V_{x}-v}{1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}}}}$

${\displaystyle V'_{y}={\frac {V_{y}}{\gamma \left(1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}\right)}}}$

${\displaystyle V'_{z}={\frac {V_{z}}{\gamma \left(1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}\right)}}}$

En lo que sigue, se utiliza la fuente sans serif en negrita para los vectores de 4 elementos, mientras que la fuente romana en negrita normal se utiliza para los vectores de 3 elementos ordinarios.

Producto interno (es decir, noción de longitud )

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {a}}}\cdot {\boldsymbol {\mathsf {b}}}=\eta ({\boldsymbol {\mathsf {a}}},{\boldsymbol {\mathsf {b}}})}$

donde se conoce como el tensor métrico . En la relatividad especial, el tensor métrico es la métrica de Minkowski : ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

intervalo espacio-temporal

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}={\begin{pmatrix}cdt&dx&dy&dz\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}cdt\\dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}}$

En lo anterior, ds ² se conoce como el intervalo espacio-temporal. Este producto interno es invariante bajo la transformación de Lorentz, es decir,

${\displaystyle \eta ({\boldsymbol {\mathsf {a}}}',{\boldsymbol {\mathsf {b}}}')=\eta \left(\Lambda {\boldsymbol {\mathsf {a}}},\Lambda {\boldsymbol {\mathsf {b}}}\right)=\eta ({\boldsymbol {\mathsf {a}}},{\boldsymbol {\mathsf {b}}})}$

El signo de la métrica y la ubicación de los términos temporales ct , ct' , cdt y cdt' pueden variar según la elección del autor. Por ejemplo, a menudo los términos temporales se colocan primero en los cuadrivectores, seguidos de los términos espaciales. Asimismo, en ocasiones η se reemplaza por −η , lo que hace que los términos espaciales aporten contribuciones negativas al producto escalar o al intervalo espaciotemporal, mientras que el término temporal aporta una contribución positiva. Estas diferencias pueden utilizarse en cualquier combinación, siempre que se respeten completamente los estándares elegidos en todos los cálculos realizados.

Es posible expresar la transformación de coordenadas anterior mediante una matriz. Para simplificar las cosas, lo mejor es reemplazar t , t′ , dt y dt′ por ct , ct' , cdt y cdt′ , que tienen dimensiones de distancia. Por lo tanto:

${\displaystyle x'=\gamma x-\gamma \beta ct\,}$

${\displaystyle y'=y\,}$

${\displaystyle z'=z\,}$

${\displaystyle ct'=\gamma ct-\gamma \beta x\,}$

luego en forma matricial:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}}$

Los vectores en la ecuación de transformación anterior se conocen como cuadrivectores; en este caso, se trata específicamente de los cuadrivectores de posición. En general, en la relatividad especial, los cuadrivectores se pueden transformar de un sistema de referencia a otro de la siguiente manera:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {a}}}'=\Lambda {\boldsymbol {\mathsf {a}}}}$

En lo anterior, y son el cuadrivector y el cuadrivector transformado, respectivamente, y Λ es la matriz de transformación , que, para una transformación dada, es la misma para todos los cuadrivectores que se quieran transformar. Así, puede ser un cuadrivector que represente la posición, la velocidad o el momento, y se puede usar la misma Λ al transformar entre los mismos dos sistemas de referencia. La transformación de Lorentz más general incluye transformaciones de Lorentz y rotaciones; los componentes son complicados y la transformación requiere espinores . ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {a}}}'}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {a}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {a}}}'}$

La invariancia y la unificación de las cantidades físicas surgen de los cuadrivectores . ^{[ 1 ]} El producto interno de un cuadrivector consigo mismo es igual a un escalar (por definición del producto interno), y dado que los cuadrivectores son cantidades físicas, sus magnitudes también corresponden a cantidades físicas.

Desplazamiento Doppler general:

${\displaystyle \nu '=\gamma \nu \left(1-\beta \cos \theta \right)}$

Desplazamiento Doppler para emisor y observador que se mueven uno hacia el otro (o se alejan directamente):

${\displaystyle \nu '=\nu {\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}$

Desplazamiento Doppler para un emisor y un observador que se mueven en una dirección perpendicular a la línea que los conecta:

${\displaystyle \nu '=\gamma \nu }$

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• Dinámica y relatividad , JR Forshaw, AG Smith, Wiley, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8
• La relatividad desmitificada , D. McMahon, McGraw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN 0-07-145545-0
• Manual de fórmulas físicas de Cambridge , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
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