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Articulo de referencia

Lista de clases de conjuntos

El conjunto 3-1 tiene tres versiones posibles: [0 1 1 1 2 T ], [0 1 1 T E 1 ] y [0 T T 1 E 1 ], donde los subíndices indican intervalos de adyacencia. La forma normal es la "por...

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El conjunto 3-1 tiene tres versiones posibles: [0 1 1 1 2 T ], [0 1 1 T E 1 ] y [0 T T 1 E 1 ], donde los subíndices indican intervalos de adyacencia. La forma normal es la "porción de pastel" más pequeña (sombreada) o la forma más compacta; en este caso, [0 1 1 1 2 T ].

Esta es una lista de clases de conjuntos , por número de Forte . [ 1 ] En teoría musical , una clase de conjunto (una abreviatura de clase de conjunto de altura ) es una colección ascendente de clases de altura , transpuestas para comenzar en cero. Para una lista de colecciones ordenadas, vea esta lista de filas y series de tonos .

Los conjuntos se enumeran con enlaces a sus complementos . Para conjuntos asimétricos, la forma prima se marca con "A" y la inversión con "B"; los conjuntos que no tienen ninguna de las dos son simétricos . Los conjuntos marcados con una "Z" se refieren a un par de clases de conjuntos diferentes con contenido de clase de intervalo idéntico no relacionado por inversión, con uno de cada par listado al final de la lista respectiva cuando aparecen. ("Z" deriva del prefijo zygo- , del griego antiguo ζυγόν , "yugo". Por lo tanto: zygosets.) "T" y "E" se usan convencionalmente en conjuntos para notar diez y once, respectivamente, como caracteres individuales. Dado que, para cualquier conjunto dado, su vector de clase de intervalo es independiente de la versión (permutación cíclica) considerada, para cualquier cardinalidad, el orden de los conjuntos en la lista (excepto los conjuntos relacionados con Z, como se explica más adelante) se basa en la cadena de numerales en el vector de intervalo tratado como un entero, de valor decreciente, siguiendo la estrategia utilizada por Forte en la construcción de su sistema de numeración.

Existen dos métodos ligeramente diferentes para obtener la forma prima: uno anterior de Allen Forte y otro posterior, pero ahora generalmente más popular, de John Rahn; ambos se describen a menudo de forma confusa como «la más compacta a la izquierda». Sin embargo, una descripción más precisa de la ortografía de Rahn consiste en seleccionar la versión más dispersa desde la derecha, mientras que la descripción precisa de la ortografía de Forte consiste en seleccionar la versión más compacta a la izquierda dentro del intervalo más pequeño. [ a ] ​​En las listas aquí presentadas, se utiliza la ortografía de Rahn para las 17 de las 352 clases de conjuntos donde los dos métodos arrojan resultados diferentes; las ortografías alternativas de Forte se enumeran en las notas al pie. [ 3 ] [ 4 ]

Sin embargo, antes de ambos (1960–67), Elliott Carter había elaborado una lista numerada de conjuntos de clases de altura, o "acordes", como él los denominaba, para su propio uso. [ 5 ] [ 6 ] Donald Martino había elaborado tablas de hexacordos , tetracordios , tricordios y pentacordios para la combinatoria en su artículo de 1961, "El conjunto fuente y sus formaciones agregadas". [ 7 ]

Anterior a la terminología de la teoría de conjuntos, el libro de Howard Hanson, "Harmonic Materials of Modern Music", se publicó en 1960. Hanson analizó todas las "sonoridades" disponibles dentro de los recursos de la escala temperada representada en notación musical e incluyendo intervalos adyacentes, generados orgánicamente, principalmente por proyección, inversión y complementación, y catalogados usando un sistema alfabético que representa un recuento de los intervalos (menores o iguales a un tritono) de cada sonoridad: p (cuarta justa), m (tercera mayor), n (tercera menor), s (segunda mayor), d (segunda menor) y t (tritono), con superíndices que representan multiplicidades. Por ejemplo, el conjunto 6-33 de Forte se catalogaría usando el sistema de Hanson como: p 4 m 2 n 3 s 4 dt, correspondiente al vector de clase de intervalo ⟨ 1,4,3,2,4,1 ⟩ .

La magnitud de la diferencia entre el vector de clase de intervalo de un conjunto y el de su complemento viene dada por ⟨ X, X, X, X, X, X/2 ⟩ , donde (en base diez) X = 12 – 2C, siendo C la cardinalidad del conjunto más pequeño. En casi todos los casos, los complementos de conjuntos asimétricos están relacionados por inversión; es decir, el complemento de una versión "A" de un conjunto de cardinalidad C es (normalmente) la versión "B" del conjunto complementario correspondiente de cardinalidad 12 – C. Las excepciones más significativas son los conjuntos 4-14/8-14, 5-11/7-11 y 6-14, que están estrechamente relacionados en términos de estructura de subconjunto/superconjunto. Por ejemplo, 5-11 es un subconjunto de 6-14, y 4-14 es un subconjunto de 5-11. De manera similar, el conjunto 7-11 es un superconjunto de 6-14 y 8-14 es un superconjunto de 7-11. El conjunto 6-14 es único porque es el único hexado asimétrico cuyo complemento es igual al original en lugar de su inverso.

La regla de numeración de Allen Forte se aplica generalmente para determinar qué cigoto aparece en la lista principal y cuál se agrega al final (con un índice mucho mayor); en otras palabras, el que tiene el número más bajo tiene un intervalo mínimo igual o menor. Por ejemplo, para las tétradas de intervalos, 4-Z15 y 4-Z29, la primera tiene un intervalo mínimo de 6 semitonos y la segunda de 7 semitonos. Mientras tanto, los conjuntos 5-Z17 y 5-Z37 tienen ambos un intervalo mínimo de 8 semitonos, pero el primero está más concentrado a la izquierda; intervalos de adyacencia de 1-2-1-4-4 frente a 3-1-1-3-4.

Sin embargo, en las heptadas, los pares cigóticos con números más altos tienen una amplitud mínima menor. Para cada uno de los pares 7-Z12 frente a 7-Z36, 7-Z17 frente a 7-Z37 y 7-Z18 frente a 7-Z38, el primer miembro tiene una amplitud mínima de 9 semitonos y el segundo de 8 semitonos. Claramente, se les han asignado índices que corresponden a sus complementos de pentada en lugar de seguir la regla general.

Además, hay una anomalía genuina en el orden de los hexads, claramente un error por parte de Forte: conjuntos 6-Z28 frente a 6-Z49. Su intervalo mínimo es el mismo (9) , pero sus intervalos de adyacencia son 1-2-2-1-3-3 frente a 1-2-1-3-2-3 . Según la propia regla de Forte, este ordenamiento es incorrecto: el conjunto [0 1 1 2 3 1 4 3 7 2 9 3 ] está más concentrado a la izquierda (dentro del mismo intervalo) y debería haberse asignado el número menor, es decir, 6-Z28, mientras que a [0 1 1 2 3 2 5 1 6 3 9 3 ] se le debería haber asignado el número mayor, 6-Z49, como se puede ver a simple vista comparando las respectivas cadenas de intervalos de adyacencia listadas como subíndices entre valores pc adyacentes en lugar de comas (sin información). Sin embargo, observe (nuevamente a partir de las cadenas de intervalos de adyacencia) que 6-Z28 está claramente más disperso desde la derecha que 6-Z49, lo que le da precedencia a 6-Z28 según la regla de la forma prima de Rahn. Para evitar confusiones, se conserva aquí el sistema de numeración original de Forte para ambos.

Lista

Véase también

Referencias

Notas

  1. ↑ Tanto Forte como Rahn enumeran las formas primas como la versión más compacta por la izquierda posible de un conjunto. Sin embargo, Forte compacta desde la izquierda y Rahn compacta desde la derecha ("haciendo que los números pequeños sean más pequeños", en contraposición a hacer que "los números más grandes [...] sean más pequeños" [ 2 ] ).
  2. ↑ Forte 5-20A: [0,1,3,7,8]
  3. ↑ Forte 5-20B: [0,1,5,7,8]
  4. ↑ Forte 5-32B: [0,1,4,7,9]
  5. ↑ Fuerte 6-Z29: [0,1,3,6,8,9]
  6. ↑ Fuerte 6-31A: [0,1,3,5,8,9]
  7. ↑ Fuerte 6-31B: [0,1,4,6,8,9]
  8. ↑ Fuerte 6-Z44B: [0,1,2,5,8,9]
  9. ↑ Fuerte 7-Z18A: [0,1,2,3,5,8,9]
  10. ↑ Fuerte 7-Z18B: [0,1,4,6,7,8,9]
  11. ↑ Fuerte 7-20A: [0,1,2,4,7,8,9]
  12. ↑ Fuerte 7-20B: [0,1,2,5,7,8,9]
  13. ↑ Fuerte 8-22B: [0,1,2,3,5,7,9,T]
  14. ↑ Fuerte 8-26: [0,1,2,4,5,7,9,T]
  15. ↑ Forte 8-27B: [0,1,2,4,6,7,9,T]
  16. ↑ Fuerte 9-7B: [0,1,2,3,4,5,7,9,T]
  17. ↑ Forte 9-8B: [0,1,2,3,4,6,8,9,T]
  18. ↑ Forte 9-11B: [0,1,2,3,5,6,8,9,T]

Fuentes

  1. ↑ Forte, Allen (1973). La estructura de la música atonal . Yale University Press. ISBN 0-300-02120-8.
  2. ↑ Nelson, Paul (2004). " Dos algoritmos para calcular la forma prima ", ComposerTools.com .
  3. ↑ Rahn, John (1980). Teoría atonal básica . Nueva York: Longman. ISBN 978-0028731605.
  4. ↑ Straus, Joseph N. (1990). Introducción a la teoría postonal . Prentice-Hall. ISBN 9780131898905.
  5. ↑ Schiff, David (1983/1998). La música de Elliott Carter .
  6. ↑ Carter, Elliott (2002). The Harmony Book , "Apéndice 1". ISBN 9780825845949.
  7. ↑ Schuijer, Michael (2008). Analyzing Atonal Music: Pitch-Class Set Theory and Its Contexts , p. 97. University of Rochester. ISBN 978-1-58046-270-9.
  8. ↑ Everett, Walter (2008). Los fundamentos de la roca , pág. 169. Oxford. ISBN 9780199718702.
  9. ↑ Pearse, John (1977). The Guitarist's Picture Chord Encyclopedia , p. 31. ISBN 0-8256-2199-2.
  10. 1 2 Bay, William (10 de abril de 1971). Enciclopedia de acordes de guitarra . Mel Bay Publications. pág. 2. ISBN  978-0-87166-664-2.

Listas en línea

  • Solomon, Larry (2005). " La tabla de conjuntos de clases de tono ", SolomonsMusic.net .
  • Tucker, Gary (2001). " Tabla de clases de conjuntos pc ", Una breve introducción al análisis de conjuntos de clases de tono .
  • Nelson, Paul (2004). " Tabla de formas primas ", ComposerTools.com .