Grupo Simple Lie

En matemáticas, un grupo de Lie simple es un grupo de Lie no abeliano conexo G que no tiene subgrupos normales conexos no triviales . La lista de grupos de Lie simples se puede usar para obtener la lista de álgebras de Lie simples y espacios simétricos riemannianos .

Junto con el grupo de Lie conmutativo de los números reales,${\displaystyle \mathbb {R} }$y el de los números complejos de magnitud unitaria, U(1) (el círculo unitario), los grupos de Lie simples dan los "bloques de construcción" atómicos que componen todos los grupos de Lie conectados (de dimensión finita) a través de la operación de extensión de grupo . Muchos grupos de Lie que se encuentran comúnmente son simples o "cercanos" a ser simples: por ejemplo, el llamado " grupo lineal especial " SL( n ,${\displaystyle \mathbb {R} }$) de matrices n por n con determinante igual a 1 es simple para todo n  impar > 1, cuando es isomorfo al grupo lineal especial proyectivo .

La primera clasificación de los grupos de Lie simples fue realizada por Wilhelm Killing , y este trabajo fue perfeccionado posteriormente por Élie Cartan . La clasificación final se conoce comúnmente como clasificación de Killing-Cartan.

Desafortunadamente, no existe una definición universalmente aceptada de un grupo de Lie simple. En particular, no siempre se define como un grupo de Lie que es simple como un grupo abstracto. Los autores difieren en si un grupo de Lie simple tiene que ser conexo, o en si se le permite tener un centro no trivial, o en si${\displaystyle \mathbb {R} }$es un grupo de Lie simple.

La definición más común es que un grupo de Lie es simple si es conexo, no abeliano y todo subgrupo normal cerrado conexo es la identidad o el grupo completo. En particular, se permite que los grupos simples tengan un centro no trivial, pero${\displaystyle \mathbb {R} }$No es sencillo.

En este artículo se enumeran los grupos de Lie simples conexos con centro trivial. Una vez conocidos estos, los que tienen centro no trivial se enumeran fácilmente como se indica a continuación. Cualquier grupo de Lie simple con centro trivial tiene una cubierta universal cuyo centro es el grupo fundamental del grupo de Lie simple. Los grupos de Lie simples correspondientes con centro no trivial se pueden obtener como cocientes de esta cubierta universal por un subgrupo del centro.

Los grupos de mentiras simples están completamente clasificados. La clasificación generalmente se establece en varios pasos, a saber:

• Clasificación de álgebras de Lie simples y complejas La clasificación de álgebras de Lie simples sobre los números complejos mediante diagramas de Dynkin .
• Clasificación de las álgebras de Lie reales simples Cada álgebra de Lie compleja simple tiene varias formas reales , clasificadas por decoraciones adicionales de su diagrama de Dynkin llamadas diagramas de Satake , en honor a Ichirô Satake .
• Clasificación de grupos de Lie simples sin centro Para cada álgebra de Lie simple (real o compleja)${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Existe un grupo de Lie simple "sin centro" único.${\displaystyle G}$cuyo álgebra de Lie es${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y que tiene centro trivial .
• Clasificación de grupos de Lie simples

Se puede demostrar que el grupo fundamental de cualquier grupo de Lie es un grupo conmutativo discreto . Dado un subgrupo (no trivial)${\ Displaystyle K \ subconjunto \ pi _ {1} (G)}$del grupo fundamental de algún grupo de Lie${\displaystyle G}$, se puede utilizar la teoría de los espacios de recubrimiento para construir un nuevo grupo${\displaystyle {\tilde {G}}^{K}}$con${\displaystyle K}$en su centro. Ahora bien, cualquier grupo de Lie (real o complejo) puede obtenerse aplicando esta construcción a grupos de Lie sin centro. Nótese que los grupos de Lie reales obtenidos de esta manera podrían no ser formas reales de ningún grupo complejo. Un ejemplo muy importante de tal grupo real es el grupo metapléctico , que aparece en la teoría de la representación de dimensión infinita y en la física. Cuando se toma por${\ Displaystyle K \ subconjunto \ pi _ {1} (G)}$el grupo fundamental completo, el grupo de Lie resultante${\displaystyle {\tilde {G}}^{K=\pi _{1}(G)}}$es la portada universal del grupo Lie sin centro${\displaystyle G}$y es simplemente conexo. En particular, toda álgebra de Lie (real o compleja) también corresponde a un único grupo de Lie conexo y simplemente conexo.${\displaystyle {\tilde {G}}}$con esa álgebra de Lie, llamada el "grupo de Lie simplemente conexo" asociado a${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

Un _r tiene como su grupo compacto simplemente conexo asociado el grupo unitario especial , SU( r + 1) y como su grupo compacto sin centro asociado el grupo unitario proyectivo PU( r + 1) .

B _r tiene como grupos compactos sin centro asociados los impares grupos ortogonales especiales , SO(2 r + 1) . Sin embargo, este grupo no es simplemente conectado: su recubrimiento universal (doble) es el grupo de espín .

C _r tiene como grupo simplemente conexo asociado el grupo de matrices simplécticas unitarias , Sp( r ) y como grupo sin centro asociado el grupo de Lie PSp( r ) = Sp( r )/{I, −I} de matrices simplécticas unitarias proyectivas. Los grupos simplécticos tienen una doble cobertura por el grupo metapléctico .

D _r tiene como grupo compacto asociado los grupos ortogonales especiales pares , SO(2 r ) y como grupo compacto sin centro asociado el grupo ortogonal especial proyectivo PSO(2 r ) = SO(2 r )/{I, −I} . Al igual que con la serie B, SO(2 r ) no es simplemente conexo; su recubrimiento universal es de nuevo el grupo de espín , pero este último de nuevo tiene un centro (cf. su artículo).

El diagrama D ₂ consta de dos nodos aislados, al igual que A ₁ ∪ A ₁ , y esta coincidencia corresponde al homomorfismo de recubrimiento de SU(2) × SU(2) a SO(4) dado por la multiplicación de cuaterniones ; véase cuaterniones y rotación espacial . Por lo tanto, SO(4) no es un grupo simple. Asimismo, el diagrama D ₃ es idéntico a A ₃ , lo que corresponde a un homomorfismo de recubrimiento de SU(4) a SO(6).

Además de las cuatro familias A _i , B _i , C _i , y D _i mencionadas anteriormente, existen cinco diagramas de Dynkin excepcionales: G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ , y E ₈ ; estos diagramas de Dynkin excepcionales también tienen grupos compactos asociados, simplemente conexos y sin centro. Sin embargo, los grupos asociados a las familias excepcionales son más difíciles de describir que los asociados a las familias infinitas, principalmente porque sus descripciones utilizan objetos excepcionales . Por ejemplo, el grupo asociado a G ₂ es el grupo de automorfismos de los octoniones , y el grupo asociado a F ₄ es el grupo de automorfismos de cierta álgebra de Albert .

Véase también${\displaystyle \color {Blue}E_{7{\frac {1}{2}}}}$⁠ .

La siguiente tabla muestra algunos grupos de Lie con álgebras de Lie simples de dimensión pequeña. Todos los grupos de una misma línea comparten la misma álgebra de Lie. En el caso de dimensión 1, los grupos son abelianos y no simples.

Un grupo simplemente enlazado es un grupo de Lie cuyo diagrama de Dynkin solo contiene enlaces simples, por lo que todas las raíces no nulas del álgebra de Lie correspondiente tienen la misma longitud. Los grupos de las series A, D y E son todos simplemente enlazados, pero ningún grupo de los tipos B, C, F o G lo es.

• Matriz de Cartan
• Matriz de Coxeter
• Grupo Weyl
• Grupo Coxeter
• Álgebra de Kac-Moody
• Teoría de la catástrofe
• Tabla de grupos de Lie
• Clasificación de álgebras de Lie reales de baja dimensión
• Clasificación de grupos simples finitos

• Jacobson, Nathan (1971). Álgebras de Lie excepcionales . CRC Press. ISBN 0-8247-1326-5.
• Fulton, William ; Harris, Joe (2004). Teoría de la representación: Un primer curso . Springer. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-1-4612-0979-9.
• Yokota, Ichiro (2009). Grupos de mentiras excepcionales .

• Besse, Colectores de Einstein . ISBN 0-387-15279-2
• Helgason, Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos . ISBN 0-8218-2848-7
• Fuchs y Schweigert, Simetrías, álgebras de Lie y representaciones: un curso de posgrado para físicos. Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-54119-0