Conjetura de Littlewood

En matemáticas , la conjetura de Littlewood es un problema abierto en aproximación diofántica , propuesto por J. E. Littlewood alrededor de 1930. Afirma que para cualesquiera dos números reales${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$,

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\ n\,\Vert n\alpha \Vert \,\Vert n\beta \Vert =0,}$

dónde${\displaystyle \Vert x\Vert =\min(|x-\lfloor x\rfloor |,|x-\lceil x\rceil |)}$es la distancia al entero más cercano.

Esto significa lo siguiente: tome un punto ( α , β ) en el plano y luego considere la secuencia de puntos.

(2 α , 2 β ), (3 α , 3 β ), ... .

Para cada uno de estos, multiplique la distancia a la línea más cercana con coordenada x entera por la distancia a la línea más cercana con coordenada y entera . Este producto será ciertamente como máximo 1/4. La conjetura no afirma si esta secuencia de valores convergerá ; de hecho, normalmente no lo hace. La conjetura afirma algo sobre el límite inferior y dice que hay una subsecuencia para la cual las distancias decaen más rápido que el recíproco, es decir

o(1/ n )

en la notación de o minúscula .

En 1955 Cassels y Swinnerton-Dyer ^{[ 1 ]} demostraron que la conjetura de Littlewood se derivaría de la siguiente conjetura en la geometría de los números en el caso${\displaystyle n=3}$:

Conjetura 1 : Sea L el producto de n formas lineales en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Suponer${\displaystyle n\geq 3}$y L no es un múltiplo de una forma con coeficientes enteros. Entonces${\displaystyle \inf\{|L(x)|\mid x\in \mathbb {Z} ^{n}\setminus \{0\}\}=0}$.

La conjetura 1 es equivalente a la siguiente conjetura relativa a las órbitas del subgrupo diagonal D en${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )/SL(n,\mathbb {Z} ),}$tal y como lo observaron esencialmente Cassels y Swinnerton-Dyer.

Conjetura 2 : Sea${\displaystyle n\geq 3}$. Para cualquier${\displaystyle x\in SL(n,\mathbb {R} )/SL(n,\mathbb {Z} )}$, si la órbita ${\displaystyle Dx}$es relativamente compacto, entonces${\displaystyle Dx}$Está cerrado.

Esto se debe a Margulis . ^{[ 2 ]} La conjetura 2 es un caso especial de la siguiente conjetura mucho más general, también debida a Margulis.

Conjetura 3 : Sea G un grupo de Lie conexo,${\displaystyle \Gamma }$una red en G y H un subgrupo cerrado conexo generado por${\displaystyle (Ad_{G},\mathbb {R} )}$-elementos divididos, es decir, todos los valores propios de${\displaystyle Ad_{G}(g)}$son reales para cada generador g . Entonces, para cualquier${\displaystyle x\in G/\Gamma }$Se cumple exactamente una de las siguientes condiciones:

1. ${\displaystyle {\overline {Hx}}}$es homogéneo, es decir, existe un subgrupo cerrado F de G tal que${\displaystyle {\overline {Hx}}=Fx}$.

1. Existe un subgrupo cerrado conexo F de G y un epimorfismo continuo.${\displaystyle \phi }$de F a un grupo de Lie L tal que${\displaystyle H\subset F}$,${\displaystyle Fx}$está cerrado en${\displaystyle G/\Gamma }$,${\displaystyle \phi (F_{x})}$está cerrado en L donde${\displaystyle F_{x}}$es el estabilizador y${\displaystyle \phi (H)}$es un subgrupo uniparamétrico de L que no contiene elementos no triviales.${\displaystyle Ad_{L}}$-elementos unipotentes, es decir, elementos g para los cuales 1 es el único valor propio de${\displaystyle Ad_{L}(g)}$.

Borel demostró en 1909 que el conjunto excepcional de pares reales (α,β) que viola el enunciado de la conjetura tiene medida de Lebesgue cero. ^{[ 3 ]} Manfred Einsiedler , Anatole Katok y Elon Lindenstrauss demostraron ^{[ 4 ]} que debe tener dimensión de Hausdorff cero; ^{[ 5 ]} y de hecho es una unión de una cantidad numerable de conjuntos compactos de dimensión de conteo de cajas cero. El resultado se demostró utilizando un teorema de clasificación de medidas para acciones diagonalizables de grupos de rango superior y un teorema de aislamiento demostrado por Lindenstrauss y Barak Weiss.

Estos resultados implican que pares no triviales (es decir, pares (α,β) que individualmente son mal aproximables y donde 1, α y β son linealmente independientes sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$) que satisfacen la conjetura existen: en efecto, dado un número real α tal que${\displaystyle \inf _{n\geq 1}n\cdot ||n\alpha ||>0}$, es posible construir un β explícito tal que (α,β) no sea trivial y satisfaga la conjetura. ^{[ 6 ]}

• polinomio de Littlewood

• Adamczewski, Boris; Bugeaud, Yann (2010). «8. Trascendencia y aproximación diofántica». En Berthé, Valérie ; Rigo, Michael (eds.). Combinatoria, autómatas y teoría de números . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. Vol.  135. Cambridge: Cambridge University Press . pp. 410–451 . ISBN  978-0-521-51597-9. Zbl 1271.11073 . 

• Akshay Venkatesh (29 de octubre de 2007). "El trabajo de Einsiedler, Katok y Lindenstrauss sobre la conjetura de Littlewood" . Bull. Amer. Math. Soc. (NS) . 45 (1): 117–134 . doi : 10.1090/ S0273-0979-07-01194-9 . MR 2358379. Zbl 1194.11075 .