Fórmula de la característica local de Euler

En el campo matemático de la cohomología de Galois , la fórmula de la característica local de Euler es un resultado debido a John Tate que calcula la característica de Euler de la cohomología de grupo del grupo de Galois absoluto G _K de un campo local no arquimediano K.

Declaración

Sea K un cuerpo local no arquimediano, sea K ^s una clausura separable de K , sea G _K = Gal( K ^s / K ) el grupo de Galois absoluto de K , y sea H ⁱ ( K , M ) la cohomología de grupo de G _K con coeficientes en M . Dado que la dimensión cohomológica de G _K es dos, ^[¹^] H ⁱ ( K , M ) = 0 para i ≥ 3. Por lo tanto, la característica de Euler solo involucra a los grupos con i = 0, 1, 2.

Caso de módulos finitos

Sea M un G _K -módulo de orden finito m . La característica de Euler de M se define como ^{[ 2 ]}

\chi (G_{K},M)={\frac {\#H^{0}(K,M)\cdot \#H^{2}(K,M)}{\#H^{1}(K,M)}}

(los grupos de cohomología i para i ≥ 3 aparecen tácitamente ya que sus tamaños son todos uno).

Sea R el anillo de enteros de K. El resultado de Tate establece entonces que si m es primo relativo a la característica de K , entonces ^{[ 3 ]}

\chi (G_{K},M)=\left(\#R/mR\right)^{-1},

es decir, el inverso del orden del anillo cociente R / mR .

Dos casos especiales que merecen ser destacados son los siguientes. Si el orden de M es primo relativo a la característica del cuerpo residual de K , entonces la característica de Euler es uno. Si K es una extensión finita de los números p -ádicos Q _p , y si v _p denota la valuación p -ádica , entonces

\chi (G_{K},M)=p^{-[K:\mathbf {Q} _{p}]v_{p}(m)}

donde [ K : Q _p ] es el grado de K sobre Q _p .

La característica de Euler se puede reescribir, utilizando la dualidad de Tate local , como

\chi (G_{K},M)={\frac {\#H^{0}(K,M)\cdot \#H^{0}(K,M^{\prime })}{\#H^{1}(K,M)}}

donde M ^′ es el dual de Tate local de M .

Notas

↑ Serre 2002 , §II.4.3
↑ La característica de Euler en una teoría de cohomología se suele escribir como una suma alternada de los tamaños de los grupos de cohomología. En este caso, el producto alternado es más habitual.
↑ Milne 2006 , Teorema I.2.8

Referencias

Milne, James S. (2006), Teoremas de dualidad aritmética (segunda ed.), Charleston, SC: BookSurge, LLC, ISBN 1-4196-4274-X, MR 2261462 , consultado el 27/03/2010
Serre, Jean-Pierre (2002), Cohomología de Galois , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42192-4, MR 1867431 , traducción de Cohomologie Galoisienne , Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).

[1] Serre 2002 , §II.4.3

[2] La característica de Euler en una teoría de cohomología se suele escribir como una suma alternada de los tamaños de los grupos de cohomología. En este caso, el producto alternado es más habitual.

[3] Milne 2006 , Teorema I.2.8

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