Dualidad local de Tate

Denotemos por μ el módulo de Galois de todas las raíces de la unidad en K ^s . Dado un módulo G _K finito A de orden primo a la característica de K , el dual de Tate de A se define como

${\displaystyle A^{\prime }=\mathrm {Hom} (A,\mu )}$

(es decir, es el giro de Tate del dual usual A ^∗ ). Sea H ⁱ ( K , A ) la cohomología de grupo de G _K con coeficientes en A . El teorema establece que el emparejamiento 

${\displaystyle H^{i}(K,A)\times H^{2-i}(K,A^{\prime })\rightarrow H^{2}(K,\mu )=\mathbf {Q} /\mathbf {Z} }$

dado por el producto de copa establece una dualidad entre H ⁱ ( K , A ) y H ^{2 − i} ( K , A ^′ ) para i = 0, 1, 2. ^{[ 1 ]} Dado que G _K tiene dimensión cohomológica igual a dos, los grupos de cohomología superiores se anulan. ^{[ 2 ]}   

Sea p un número primo . Sea Q _p (1) el carácter ciclotómico p -ádico de G _K (es decir, el módulo de Tate de μ). Una representación p -ádica de G _K es una representación continua.

${\displaystyle \rho :G_{K}\rightarrow \mathrm {GL} (V)}$

donde V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre los números p-ádicos Q _p y GL( V ) denota el grupo de aplicaciones lineales invertibles de V en sí mismo. ^{[ 3 ]} El dual de Tate de V se define como

${\displaystyle V^{\prime }=\mathrm {Hom} (V,\mathbf {Q} _{p}(1))}$

(es decir, es la torsión de Tate del dual usual V ^∗  =  Hom( V , Q _p )). En este caso, H ⁱ ( K , V ) denota la cohomología de grupo continua de G _K con coeficientes en V . La dualidad de Tate local aplicada a V dice que el producto de copa induce un emparejamiento

${\displaystyle H^{i}(K,V)\times H^{2-i}(K,V^{\prime })\rightarrow H^{2}(K,\mathbf {Q} _{p}(1))=\mathbf {Q} _{p}}$

que es una dualidad entre H ⁱ ( K , V ) y H ^{2 − i} ( K , V ′ ) para i = 0, 1, 2. ^{[ 4 ]} Nuevamente, los grupos de cohomología superiores se desvanecen.