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Teorema de Torelli

En matemáticas , el teorema de Torelli , que lleva el nombre de Ruggiero Torelli , es un resultado clásico de la geometría algebraica sobre el cuerpo de los números complejos , ...

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En matemáticas , el teorema de Torelli , que lleva el nombre de Ruggiero Torelli , es un resultado clásico de la geometría algebraica sobre el cuerpo de los números complejos , que establece que una curva algebraica proyectiva no singular ( superficie de Riemann compacta ) C está determinada por su variedad jacobiana J ( C ), cuando esta última se da en forma de una variedad abeliana polarizada principalmente . En otras palabras, el toro complejo J ( C ), con ciertas 'marcas', es suficiente para recuperar C. La misma afirmación es válida sobre cualquier cuerpo algebraicamente cerrado . [ 1 ] A partir de información más precisa sobre el isomorfismo construido de las curvas, se deduce que si las variedades jacobianas canónicamente polarizadas principalmente de curvas de género≥2{\displaystyle \geq 2}son k -isomorfas para cualquier campo perfecto k , por lo que también lo son las curvas. [ 2 ]

Este resultado ha tenido muchas extensiones importantes. Puede reformularse como que un cierto morfismo natural , la aplicación de periodos , del espacio de módulos de curvas de un género fijo , a un espacio de módulos de variedades abelianas , es inyectivo (en puntos geométricos ). Las generalizaciones se dan en dos direcciones. En primer lugar, a cuestiones geométricas sobre ese morfismo, por ejemplo, el teorema local de Torelli . En segundo lugar, a otras aplicaciones de periodos. Un caso que se ha investigado en profundidad es el de las superficies K3 (por Viktor S. Kulikov , Ilya Pyatetskii-Shapiro , Igor Shafarevich y Fedor Bogomolov ) [ 3 ] y las variedades hiperkähler (por Misha Verbitsky , Eyal Markman y Daniel Huybrechts ). [ 4 ]

Notas

  1. ↑ James S. Milne , Variedades jacobianas , Teorema 12.1 en Cornell y Silverman (1986)
  2. ↑ James S. Milne, Variedades jacobianas , Corolario 12.2 en Cornell y Silverman (1986)
  3. ↑ Fibraciones compactas con fibras hiperkähler
  4. ↑ Automorfismos de variedades hiperkähler

Referencias

  • Ruggiero Torelli (1913). "Sulle varietà di Jacobi". Rendiconti della Reale Accademia Nazionale dei Lincei . 22 (5): 98-103 .
  • André Weil (1957). "Zum Beweis des Torellischen Satzes". Nachr. Akád. Wiss. Göttingen, Matemáticas-Física. Kl . IIa : 32– 53.
  • Cornell, Gary; Silverman, Joseph , eds. (1986), Geometría aritmética , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-96311-0, MR 0861969