Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

LOCC

Paradigma LOCC: las partes no tienen permitido intercambiar partículas de forma coherente. Solo se permiten operaciones locales y comunicación clásica. LOCC , u operaciones loca...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita
Paradigma LOCC: las partes no tienen permitido intercambiar partículas de forma coherente. Solo se permiten operaciones locales y comunicación clásica.

LOCC , u operaciones locales y comunicación clásica , es un método de la teoría de la información cuántica en el que se realiza una operación local (producto) en una parte del sistema, y ​​el resultado de esa operación se "comunica" clásicamente a otra parte donde normalmente se realiza otra operación local condicionada a la información recibida.

Propiedades matemáticas

La definición formal del conjunto de operaciones LOCC es complicada debido a que las operaciones locales posteriores dependen en general de toda la comunicación clásica anterior y debido al número ilimitado de rondas de comunicación. Para cualquier número finitor≥1{\displaystyle r\geq 1}uno puede definirLOCCr{\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}, el conjunto de operaciones LOCC que se pueden lograr conr{\displaystyle r}rondas de comunicación clásica. El conjunto se vuelve estrictamente más grande cuandor{\displaystyle r}se incrementa y se debe tener cuidado al definir el límite de un número infinito de rondas. En particular, el conjunto LOCC no es topológicamente cerrado, es decir, existen operaciones cuánticas que pueden aproximarse arbitrariamente bien mediante LOCC, pero que no son LOCC en sí mismas. [ 1 ]

Una ronda LOCCLOCC1{\displaystyle \operatorname {LOCC} _{1}}es un instrumento cuántico{miincógnita}{\displaystyle \left\{{\mathcal {E}}_{x}\right\}}, para los cuales los mapas completamente positivos no crecientes de traza (CPM)miincógnita{\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}}son locales para todos los resultados de mediciónincógnita{\displaystyle x}, es decir,miincógnita=⨂j(miincógnitaj){\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _ {j}({\cal {E}}_{x}^{j})}y hay un sitioj=K{\displaystyle j=K}de tal manera que solo enK{\displaystyle K}el mapamiincógnitaK{\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}^{K}}miincógnita=⨂j≠K(Tjincógnita)⊗miK{\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _ {j\not =K}({\cal {T_{j}^{x}}})\otimes {\cal {E}}_{K}}no conserva rastro. Esto significa que el instrumento puede ser realizado por la parte en el sitio.K{\displaystyle K}aplicando el instrumento (local){miincógnitaK}{\displaystyle \left\{{\mathcal {E}}_{x}^{K}\right\}}y comunicar el resultado clásicoincógnita{\displaystyle x}a todas las demás partes, que luego cada una realiza (condicionado a)incógnita{\displaystyle x}) operaciones cuánticas locales (deterministas) que preservan la trazaTincógnitaj{\displaystyle {\cal {T}}_{x}^{j}}.

EntoncesLOCCr{\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}se definen recursivamente como aquellas operaciones que pueden realizarse siguiendo una operaciónLOCCr−1{\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r-1}}con unLOCC1{\displaystyle \operatorname {LOCC} _{1}}-operación. Aquí se permite que la parte que realiza las operaciones de seguimiento dependa del resultado de las rondas anteriores. Además, también permitimos el "aclaramiento", es decir, descartar parte de la información clásica codificada en los resultados de las mediciones (de todas las rondas).

La unión de todosLOCCr{\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}Las operaciones se denotan porLOCCnorte{\displaystyle \operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }}y contiene instrumentos que pueden aproximarse cada vez mejor con más rondas LOCC. Su cierre topológicoLOCC¯norte{\displaystyle {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }}contiene todas esas operaciones.

Se puede demostrar que todos estos conjuntos son diferentes: [ 1 ]

LOCCr⊂LOCCr+1⊂LOCCnorte⊂LOCC¯norte{\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}\subset \operatorname {LOCC} _{r+1}\subset \operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }\subset {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }}

El conjunto de todas las operaciones LOCC está contenido en el conjuntoSEP{\displaystyle \operatorname {SEP} }de todas las operaciones separables .SEP{\displaystyle \operatorname {SEP} }contiene todas las operaciones que se pueden escribir utilizando operadores de Kraus que tienen toda la forma de producto, es decir,

mi(ρ)=∑lK1l⊗K2l⋯⊗Knorteρ(K1l⊗K2l⋯⊗Knorte)†,{\displaystyle {\cal {E}}(\rho )=\sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}\rho (K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger },}

con∑lK1l⊗K2l⋯⊗Knorte(K1l⊗K2l⋯⊗Knorte)†=1{\displaystyle \sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}(K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger }=1}No todas las operaciones enSEP{\displaystyle \operatorname {SEP} }son LOCC,

LOCC¯norte⊂SEP,{\displaystyle {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }\subset \operatorname {SEP} ,}

Es decir, hay ejemplos que no se pueden implementar localmente ni siquiera con rondas infinitas de comunicación. [ 1 ]

LOCC son las "operaciones libres" en las teorías de recursos del entrelazamiento : el entrelazamiento no se puede producir a partir de estados separables con LOCC y si las partes locales, además de poder realizar todas las operaciones LOCC, también están provistas de algunos estados entrelazados, pueden realizar más operaciones que con LOCC solo.

Ejemplos

Las operaciones LOCC son útiles para la preparación de estados , la discriminación de estados y las transformaciones de entrelazamiento .

Preparación del estado

A Alice y Bob se les da un sistema cuántico en el estado producto.|00⟩=|0⟩A⊗|0⟩B{\displaystyle |00\rangle =|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}}Su tarea es producir el estado separable.ρ=12|00⟩⟨00|+12|11⟩⟨11|{\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|00\rangle \langle 00|+{\frac {1}{2}}|11\rangle \langle 11|}. Con operaciones locales solamente esto no se puede lograr, ya que no pueden producir las correlaciones (clásicas) presentes enρ{\displaystyle \rho }. Sin embargo, con LOCC (con una ronda de comunicación)ρ{\displaystyle \rho }se puede preparar: Alice lanza una moneda imparcial (que muestra cara o cruz con un 50% de probabilidad cada una) y voltea su cúbit (a|1⟩A{\displaystyle |1\rangle _{A}}) si la moneda muestra "cruz", de lo contrario se deja sin cambios. Luego, ella envía el resultado del lanzamiento de la moneda (información clásica) a Bob, quien también lanza su cúbit si recibe el mensaje "cruz". El estado resultante esρ{\displaystyle \rho }En general, todos los estados separables (y solo estos) pueden prepararse a partir de estados de producto únicamente con operaciones LOCC. [ 1 ]

Discriminación estatal

Dados dos estados cuánticosψ{\displaystyle \psi }en un espacio de Hilbert bipartito o multipartitoH=HA⊗HB⊗…HZ{\displaystyle {\cal {H}}={\cal {H}}_{A}\otimes {\cal {H}}_{B}\otimes \dots {\cal {H}}_{Z}}La tarea consiste en determinar cuál de dos (o más) estados posiblesψ1,ψ2{\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}}Así es. Como ejemplo sencillo, consideremos los dos estados de Bell.

|ψ1⟩=12(|0⟩A⊗|0⟩B+|1⟩A⊗|1⟩B){\displaystyle |\psi _{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\right)}
|ψ2⟩=12(|0⟩A⊗|1⟩B+|1⟩A⊗|0⟩B){\displaystyle |\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right)}

Digamos que el sistema de dos cúbits está separado, donde el primer cúbit se le da a Alice y el segundo a Bob. Sin comunicación, Alice y Bob no pueden distinguir los dos estados, ya que para todas las mediciones locales todas las estadísticas de medición son exactamente las mismas (ambos estados tienen la misma matriz de densidad reducida). Por ejemplo, supongamos que Alice mide el primer cúbit y obtiene el resultado 0. Dado que este resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir (con una probabilidad del 50%) en cada uno de los dos casos, ella no obtiene ninguna información sobre qué par de Bell se le dio, y lo mismo ocurre con Bob si realiza alguna medición. Pero ahora supongamos que Alice envía su resultado a Bob a través de un canal clásico. Ahora Bob puede comparar su resultado con el de ella y, si son iguales, puede concluir que el par dado fue|ψ1⟩{\displaystyle |\psi _{1}\rangle }, ya que solo esto permite un resultado de medición conjunta|0⟩A⊗|0⟩B{\displaystyle |0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}}Así, con LOCC y dos mediciones, estos dos estados pueden distinguirse perfectamente. Cabe destacar que, con mediciones globales ( no locales o entrelazadas ), una sola medición (en el espacio de Hilbert conjunto ) es suficiente para distinguir estos dos estados (mutuamente ortogonales ).

Hay estados cuánticos que no se pueden distinguir con operaciones LOCC. [ 2 ]

transformaciones de entrelazamiento

Si bien LOCC no puede generar estados entrelazados a partir de estados producto, sí puede utilizarse para transformar estados entrelazados en otros estados entrelazados. La restricción a LOCC limita considerablemente las transformaciones posibles.

Conversión de entrelazamiento

Nielsen [ 3 ] ha derivado una condición general para determinar si un estado puro de un sistema cuántico bipartito puede transformarse en otro utilizando únicamente LOCC. Los detalles completos se pueden encontrar en el artículo citado anteriormente; aquí se esbozan los resultados.

Consideremos dos partículas en un espacio de Hilbert de dimensiónd{\displaystyle d}con estados de partículas|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }y|ϕ⟩{\displaystyle |\phi \rangle }con descomposiciones de Schmidt

|ψ⟩=∑iωi|iA⟩⊗|iB⟩{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _ {i}{\sqrt {\omega _ {i}}}|i_ {A}\rangle \otimes |i_ {B}\rangle}
|ϕ⟩=∑iωi′|iA′⟩⊗|iB′⟩{\displaystyle |\phi \rangle =\sum _ {i}{\sqrt {\omega _ {i}'}}|i_ {A}'\rangle \otimes |i_ {B}'\rangle }

Elωi{\displaystyle {\sqrt {\omega _{i}}}}Los se conocen como coeficientes de Schmidt . Si se ordenan de mayor a menor (es decir, conω1>ωd{\displaystyle \omega _{1}>\omega _{d}}) entonces|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }solo puede transformarse en|ϕ⟩{\displaystyle |\phi \rangle }utilizando únicamente operaciones locales si y solo si para todosk{\displaystyle k}en el rango1≤k≤d{\displaystyle 1\leq k\leq d}

∑i=1kωi≤∑i=1kωi′{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}\leq \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}'}

En notación más concisa:

|ψ⟩→|ϕ⟩si y solo siω≺ω′{\displaystyle |\psi \rangle \rightarrow |\phi \rangle \quad {\text{si y solo si}}\quad \omega \prec \omega '}

Esta es una condición más restrictiva que el hecho de que las operaciones locales no puedan aumentar las medidas de entrelazamiento . Es muy posible que|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }y|ϕ⟩{\displaystyle |\phi \rangle }tienen la misma cantidad de entrelazamiento, pero convertir uno en el otro no es posible, e incluso esa conversión en cualquier dirección es imposible porque ningún conjunto de coeficientes de Schmidt es mayoritario sobre el otro. Para valores grandesd{\displaystyle d}Si todos los coeficientes de Schmidt son distintos de cero, entonces la probabilidad de que un conjunto de coeficientes sea mayor que el otro se vuelve insignificante. Por lo tanto, para valores grandes de ,d{\displaystyle d}La probabilidad de que cualquier estado arbitrario sea convertible en otro a través de LOCC se vuelve insignificante.

Las operaciones descritas hasta ahora son deterministas, es decir, tienen una probabilidad del 100 % de éxito. Si se está satisfecho con las transformaciones probabilísticas , es posible realizar muchas más transformaciones utilizando LOCC. [ 4 ] Estas operaciones se denominan LOCC estocástico (SLOCC). En particular, para estados multipartitos, se estudia la convertibilidad bajo SLOCC para obtener una comprensión cualitativa de las propiedades de entrelazamiento de los estados involucrados. [ 5 ]

Más allá del LOCC: Conversión catalítica

Si se dispone de estados entrelazados como recurso, estos, junto con LOCC, permiten una clase mucho más amplia de transformaciones. Esto ocurre incluso si estos estados de recurso no se consumen en el proceso (como sucede, por ejemplo, en la teletransportación cuántica ). Estas transformaciones se denominan catálisis de entrelazamiento . [ 6 ] En este procedimiento, la conversión de un estado inicial a un estado final que es imposible con LOCC se hace posible tomando un producto tensorial del estado inicial con un "estado catalizador".|do⟩{\displaystyle |c\rangle }y exigiendo que este estado siga estando disponible al final del proceso de conversión. Es decir, el estado del catalizador no se modifica durante la conversión y puede eliminarse, dejando solo el estado final deseado. Consideremos los estados,

|ψ⟩=0,4|00⟩+0,4|11⟩+0.1|22⟩+0.1|33⟩{\displaystyle |\psi \rangle ={\sqrt {0.4}}|00\rangle +{\sqrt {0.4}}|11\rangle +{\sqrt {0.1}}|22\rangle +{\sqrt {0.1}}|33\rangle }
|ϕ⟩=0,5|00⟩+0,25|11⟩+0,25|22⟩{\displaystyle |\phi \rangle ={\sqrt {0.5}}|00\rangle +{\sqrt {0.25}}|11\rangle +{\sqrt {0.25}}|22\rangle }
|do⟩=0,6∣ ↑ ↑⟩+0,4∣ ↓ ↓⟩{\displaystyle |c\rangle ={\sqrt {0.6}}\mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.4}}\mid \downarrow \downarrow \rangle }

Estos estados se escriben en forma de descomposición de Schmidt y en orden descendente. Comparamos la suma de los coeficientes de|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }y|ϕ⟩{\displaystyle |\phi \rangle }

En la tabla, el color rojo se coloca si∑i=0kωi>∑i=0kωi′{\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\omega _{i}>\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}}, se pone el color verde si∑i=0kωi<∑i=0kωi′{\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\omega _{i}<\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}}y el color blanco permanece si∑i=0kωi=∑i=0kωi′{\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\omega _{i}=\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}}Después de construir la tabla, uno puede averiguar fácilmente si|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }y|ϕ⟩{\displaystyle |\phi \rangle }son convertibles mirando el color en elk{\displaystyle k}dirección.|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }se puede convertir en|ϕ⟩{\displaystyle |\phi \rangle }por LOCC si el color es todo verde o blanco, y|ϕ⟩{\displaystyle |\phi \rangle }se puede convertir en|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }por LOCC si el color es todo rojo o blanco. Cuando la tabla presenta tanto el color rojo como el verde, los estados no son convertibles.

Ahora consideramos los estados del producto.|ψ⟩|do⟩{\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }y|ϕ⟩|do⟩{\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }：

|ψ⟩|do⟩=0,24|00⟩∣ ↑ ↑⟩+0,24|11⟩∣ ↑ ↑⟩+0,16|00⟩∣ ↓ ↓⟩+0,16|11⟩∣ ↓ ↓⟩+0,06|22⟩∣ ↑ ↑⟩+0,06|33⟩∣ ↑ ↑⟩+0,04|22⟩∣ ↓ ↓⟩+0,04|33⟩∣ ↓ ↓⟩{\displaystyle {\begin{aligned}|\psi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.24}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.24}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \\&+{\sqrt {0.06}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.06}}|33\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|33\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}
|ϕ⟩|do⟩=0,30|00⟩∣ ↑ ↑⟩+0,20|00⟩∣ ↓ ↓⟩+0,15|11⟩∣ ↑ ↑⟩+0,15|22⟩∣ ↑ ↑⟩+0,10|11⟩∣ ↓ ↓⟩+0,10|22⟩∣ ↓ ↓⟩{\displaystyle {\begin{aligned}|\phi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.30}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.20}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle \\&+{\sqrt {0.10}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.10}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}

De forma similar, elaboramos la tabla:

El color en elk{\displaystyle k}Las direcciones son todas verdes o blancas, por lo tanto, según el teorema de Nielsen,|ψ⟩|do⟩{\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }es posible convertirlo en|ϕ⟩|do⟩{\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }por el LOCC. El estado del catalizador|do⟩{\displaystyle |c\rangle }se retira después de la conversión. Finalmente encontramos|ψ⟩→|do⟩|ϕ⟩{\displaystyle |\psi \rangle {\overset {|c\rangle }{\rightarrow }}|\phi \rangle }por la LOCC.

Si se permiten correlaciones entre el sistema y el catalizador, las transformaciones catalíticas entre estados puros bipartitos se caracterizan mediante la entropía de entrelazamiento . [ 7 ] En más detalle, un estado puro|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }puede convertirse en otro estado puro|ϕ⟩{\displaystyle |\phi \rangle }mediante LOCC catalítico si y solo si

S(ψA)≥S(ϕA){\displaystyle S(\psi ^{A})\geq S(\phi ^{A})},

dóndeS{\displaystyle S}es la entropía de von Neumann yψA{\displaystyle \psi ^{A}}yϕA{\displaystyle \phi ^{A}}son los estados reducidos de|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }y|ϕ⟩{\displaystyle |\phi \rangle }, respectivamente. En general, la conversión no es exacta, pero puede realizarse con una precisión arbitraria. La cantidad de correlaciones entre el sistema y el catalizador también puede hacerse arbitrariamente pequeña.

Se puede lograr una clase más amplia de transformaciones mediante el uso de baterías cuánticas. [ 8 ] [ 9 ] Estos son sistemas auxiliares introducidos durante el proceso de transformación, similares a catalizadores cuánticos, con la condición de que conserven su entrelazamiento al finalizar el procedimiento. La incorporación de baterías cuánticas extiende significativamente el alcance de LOCC, mejorando la capacidad de manipular estados cuánticos. En el régimen asintótico, donde se dispone de un gran número de copias idénticas del estado inicial, este enfoque permite la interconversión reversible entre dos estados entrelazados cualesquiera. [ 9 ] Esto conduce a la formulación de una segunda ley de manipulación de entrelazamiento, [ 9 ] análoga a la segunda ley de la termodinámica . Anteriormente, la existencia de un marco que conduzca a la segunda ley de manipulación de entrelazamiento se ha identificado como un importante problema abierto en la ciencia de la información cuántica. [ 10 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 4 Chitambar, E.; Leung, D.; Mancinska, L.; Ozols, M.; Winter, A. (2012). "Todo lo que siempre quisiste saber sobre LOCC (pero tenías miedo de preguntar)". Commun. Math. Phys . 328 (1): 303. arXiv : 1210.4583 . Bibcode : 2014CMaPh.328..303C . doi : 10.1007/s00220-014-1953-9 . S2CID 118478457 . 
  2. ↑ Charles H. Bennett; David P. DiVincenzo; Christopher A. Fuchs; Tal Mor; Eric Rains; Peter W. Shor; John A. Smolin; William K. Wootters (1999). "No localidad cuántica sin entrelazamiento". Phys. Rev. A . 59 (2): 1070– 1091. arXiv : quant-ph/9804053 . Bibcode : 1999PhRvA..59.1070B . doi : 10.1103/PhysRevA.59.1070 . S2CID 15282650 . 
  3. ↑ MA Nielsen (1999). "Condiciones para una clase de transformaciones de entrelazamiento". Phys. Rev. Lett . 83 (2): 436– 439. arXiv : quant-ph/9811053 . Bibcode : 1999PhRvL..83..436N . doi : 10.1103/PhysRevLett.83.436 . S2CID 17928003 . 
  4. ↑ Guifré Vidal (2000). "Monótonos de enredo". J.Mod. Optar . 47 ( 2– 3): 355. arXiv : quant-ph/9807077 . Código Bib : 2000JMOp...47..355V . doi : 10.1080/09500340008244048 . S2CID 119347961 . 
  5. ↑ G. Gour; NR Wallach (2013). "Clasificación del entrelazamiento multipartito de toda dimensionalidad finita". Phys. Rev. Lett . 111 (6) 060502. arXiv : 1304.7259 . Bibcode : 2013PhRvL.111f0502G . doi : 10.1103/ PhysRevLett.111.060502 . PMID 23971544. S2CID 1570745 .  
  6. ↑ D. Jonathan; MB Plenio (1999). "Manipulación local de estados cuánticos puros asistida por entrelazamiento". Phys. Rev. Lett . 83 (17): 3566– 3569. arXiv : quant-ph/9905071 . Bibcode : 1999PhRvL..83.3566J . doi : 10.1103/PhysRevLett.83.3566 . S2CID 392419 . 
  7. ↑ Kondra, Tulja Varun; Datta, Chandan; Streltsov, Alexander (2021-10-05). "Transformaciones catalíticas de estados entrelazados puros". Physical Review Letters . 127 (15) 150503. arXiv : 2102.11136 . Bibcode : 2021PhRvL.127o0503K . doi : 10.1103/PhysRevLett.127.150503 . PMID 34678004 . S2CID 237532098 .  
  8. ↑ Alhambra, Álvaro M. (2019). "Teoremas de fluctuación de entrelazamiento" . Physical Review A. 100 ( 1) 012317. arXiv : 1709.06139 . Bibcode : 2019PhRvA.100a2317A . doi : 10.1103/PhysRevA.100.012317 .
  9. 1 2 3 Ganardi, Ray; Kondra, Tulja Varun; Ng, Nelly HY; Streltsov, Alexander (2025-07-02). "Segunda ley de la manipulación del entrelazamiento con la batería de entrelazamiento". Physical Review Letters . 135 (1) 010202. arXiv : 2405.10599 . Bibcode : 2025PhRvL.135a0202G . doi : 10.1103/kl56-p2vb . PMID 40743098 . 
  10. ↑ "Manipulación reversible del entrelazamiento: problemas cuánticos abiertos" . Consultado el 7 de diciembre de 2024 .

Lecturas adicionales