Teoría cuántica de campos algebraica

La teoría cuántica de campos algebraica ( AQFT ) es una aplicación a la física cuántica local de la teoría de álgebras C* . También se la conoce como el marco axiomático de Haag-Kastler para la teoría cuántica de campos , ya que fue introducida por Rudolf Haag y Daniel Kastler ( 1964 ) . Los axiomas se expresan en términos de un álgebra dada para cada conjunto abierto en el espacio de Minkowski y las aplicaciones entre estos. 

Dejar${\displaystyle {\mathcal {O}}}$Sea el conjunto de todos los subconjuntos abiertos y acotados del espacio de Minkowski. Una teoría cuántica de campos algebraica se define mediante un conjunto${\displaystyle \{{\mathcal {A}}(O)\}_{O\in {\mathcal {O}}}}$de álgebras de von Neumann${\displaystyle {\mathcal {A}}(O)}$en un espacio de Hilbert común${\displaystyle {\mathcal {H}}}$que satisfacen los siguientes axiomas: ^{[ 1 ]}

• Isotonía :${\displaystyle O_{1}\subset O_{2}}$implica${\displaystyle {\mathcal {A}}(O_{1})\subset {\mathcal {A}}(O_{2})}$.
• Causalidad : Si${\displaystyle O_{1}}$es como el espacio separado de${\displaystyle O_{2}}$, entonces${\displaystyle [{\mathcal {A}}(O_{1}),{\mathcal {A}}(O_{2})]=0}$.
• Covarianza de Poincaré : una representación unitaria fuertemente continua${\displaystyle U({\mathcal {P}})}$del grupo Poincaré${\displaystyle {\mathcal {P}}}$en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$existe tal que${\displaystyle {\mathcal {A}}(gO)=U(g){\mathcal {A}}(O)U(g)^{*},\,\,g\in {\mathcal {P}}.}$
• Condición del espectro : El espectro conjunto${\displaystyle \mathrm {Sp} (P)}$del operador energía-momento${\displaystyle P}$(es decir, el generador de traslaciones espacio-temporales) está contenido en el cono de luz frontal cerrado.
• Existencia de un vector de vacío : Un vector cíclico e invariante de Poincaré.${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {H}}}$existe.

Las álgebras netas${\displaystyle {\mathcal {A}}(O)}$se denominan álgebras locales y el álgebra C*${\displaystyle {\mathcal {A}}:={\overline {\bigcup _{O\in {\mathcal {O}}}{\mathcal {A}}(O)}}}$se denomina álgebra cuasilocal .

Sea Mink la categoría de subconjuntos abiertos del espacio de Minkowski M con aplicaciones de inclusión como morfismos . Se nos da un functor covariante.${\displaystyle {\mathcal {A}}}$de Mink a uC*alg , la categoría de álgebras C* unitarias , de tal manera que cada morfismo en Mink se mapea a un monomorfismo en uC*alg ( isotonía ).

El grupo de Poincaré actúa continuamente sobre Mink . Existe una retracción de esta acción , que es continua en la topología de la norma de${\displaystyle {\mathcal {A}}(M)}$( covarianza de Poincaré ).

El espacio de Minkowski tiene una estructura causal . Si un conjunto abierto V pertenece al complemento causal de un conjunto abierto U , entonces la imagen de los mapas

${\displaystyle {\mathcal {A}}(i_{U,U\cup V})}$

y

${\displaystyle {\mathcal {A}}(i_{V,U\cup V})}$

conmutatividad espacial. Si${\displaystyle {\bar {U}}}$es la completación causal de un conjunto abierto U , entonces${\displaystyle {\mathcal {A}}(i_{U,{\bar {U}}})}$es un isomorfismo (causalidad primitiva).

Un estado con respecto a un C*-álgebra es un funcional lineal positivo sobre ella con norma unitaria . Si tenemos un estado sobre${\displaystyle {\mathcal {A}}(M)}$, podemos tomar el " rastro parcial " para obtener estados asociados con${\displaystyle {\mathcal {A}}(U)}$para cada conjunto abierto a través del monomorfismo de red . Los estados sobre los conjuntos abiertos forman una estructura de prefaisceano .

Según la construcción GNS , para cada estado, podemos asociar una representación en el espacio de Hilbert de${\displaystyle {\mathcal {A}}(M).}$Los estados puros corresponden a representaciones irreducibles y los estados mixtos a representaciones reducibles . Cada representación irreducible (salvo equivalencia ) se denomina sector de superselección . Suponemos que existe un estado puro llamado vacío tal que el espacio de Hilbert asociado a él es una representación unitaria del grupo de Poincaré compatible con la covarianza de Poincaré de la red, de modo que, si observamos el álgebra de Poincaré , el espectro con respecto a la energía-momento (que corresponde a las traslaciones espaciotemporales ) se encuentra sobre y en el cono de luz positivo . Este es el sector de vacío.

Más recientemente, este enfoque se ha implementado para incluir una versión algebraica de la teoría cuántica de campos en el espaciotiempo curvo . De hecho, la perspectiva de la física cuántica local resulta particularmente adecuada para generalizar el procedimiento de renormalización a la teoría de campos cuánticos desarrollada sobre fondos curvos. Se han obtenido varios resultados rigurosos sobre la teoría cuántica de campos en presencia de un agujero negro .

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• Encrucijada de Física Cuántica Local 2.0 : una red de científicos que trabajan en física cuántica local.
• Documentos – Una base de datos de preimpresiones sobre teoría cuántica de campos algebraica
• Recursos sobre la Teoría Cuántica Algebraica de Campos (AQFT) en la Universidad de Hamburgo.