Hora local (matemáticas)

En la teoría matemática de los procesos estocásticos , el tiempo local es un proceso estocástico asociado a procesos de semimartingala , como el movimiento browniano , que caracteriza el tiempo que una partícula ha permanecido en un nivel determinado. El tiempo local aparece en diversas fórmulas de integración estocástica , como la fórmula de Tanaka , si el integrando no es suficientemente suave. También se estudia en mecánica estadística en el contexto de campos aleatorios .

Para una semimartingala continua de valor real${\displaystyle (B_{s})_{s\geq 0}}$, la hora local de${\displaystyle B}$en ese punto${\displaystyle x}$es el proceso estocástico que se define informalmente por

${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{s})\,d[B]_{s},}$

dónde${\displaystyle \delta }$es la función delta de Dirac y${\displaystyle [B]}$es la variación cuadrática . Fue introducida por Paul Lévy . La idea básica es que${\displaystyle L^{x}(t)}$es una medida (apropiadamente reescalada y parametrizada en el tiempo) de cuánto tiempo${\displaystyle B_{s}}$ha pasado en${\displaystyle x}$hasta el momento${\displaystyle t}$De forma más rigurosa, puede escribirse como el límite casi seguro.

${\displaystyle L^{x}(t)=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}1_{\{x-\varepsilon <B_{s}<x+\varepsilon \}}\,d[B]_{s},}$

que se puede demostrar que siempre existe. Nótese que en el caso especial del movimiento browniano (o más generalmente una difusión de valor real de la forma${\displaystyle dB=b(t,B)\,dt+dW}$dónde${\displaystyle W}$es un movimiento browniano), el término${\displaystyle d[B]_{s}}$simplemente se reduce a${\displaystyle ds}$, lo que explica por qué se le llama la hora local de${\displaystyle B}$en${\displaystyle x}$Para un proceso de espacio de estados discreto${\displaystyle (X_{s})_{s\geq 0}}$, la hora local se puede expresar de forma más sencilla como ^{[ 1 ]}

${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}1_{\{x\}}(X_{s})\,ds.}$

La fórmula de Tanaka también proporciona una definición de tiempo local para una semimartingala continua arbitraria.${\displaystyle (X_{s})_{s\geq 0}}$en${\displaystyle \mathbb {R}$ :} ^{[ 2 ]}

${\displaystyle L^{x}(t)=|X_{t}-x|-|X_{0}-x|-\int _{0}^{t}\left(1_{(0,\infty )}(X_{s}-x)-1_{(-\infty ,0]}(X_{s}-x)\right)\,dX_{s},\qquad t\geq 0.}$

^{Meyer [ 3 ]} y Wang ^{[ 4 ]} demostraron independientemente una forma más general ; la fórmula extiende el lema de Itô para funciones dos veces diferenciables a una clase más general de funciones. Si${\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$es absolutamente continuo con la derivada${\displaystyle F',}$que es de variación limitada, entonces

${\displaystyle F(X_{t})=F(X_{0})+\int _{0}^{t}F'_{-}(X_{s})\,dX_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }L^{x}(t)\,dF'_{-}(x),}$

dónde${\displaystyle F'_{-}}$es la derivada izquierda.

Si${\displaystyle X}$es un movimiento browniano, entonces para cualquier${\displaystyle \alpha \in (0,1/2)}$el campo de los tiempos locales${\displaystyle L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}}$tiene una modificación que es como Hölder continuo en${\displaystyle x}$con exponente${\displaystyle \alpha }$, uniformemente para límites${\displaystyle x}$y${\displaystyle t}$. ^{[ 5 ]} En general, ${\displaystyle L}$ tiene una modificación que es tan continua en${\displaystyle t}$y càdlàg en${\displaystyle x}$.

La fórmula de Tanaka proporciona la descomposición explícita de Doob-Meyer para el movimiento browniano reflectante unidimensional ,${\displaystyle (|B_{s}|)_{s\geq 0}}$.

El campo de los tiempos locales${\displaystyle L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}}$asociado a un proceso estocástico en un espacio${\displaystyle E}$es un tema bien estudiado en el área de campos aleatorios. Los teoremas de tipo Ray-Knight relacionan el campo L _t con un proceso gaussiano asociado .

En general, los teoremas de tipo Ray-Knight de primera clase consideran el campo L _t en un tiempo de llegada del proceso subyacente, mientras que los teoremas de segunda clase se expresan en términos de un tiempo de parada en el que el campo de tiempos locales supera por primera vez un valor dado.

• La fórmula de Tanaka
• movimiento browniano
• Campo aleatorio

• KL Chung y RJ Williams, Introducción a la integración estocástica , 2.ª edición, 1990, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3386-8.
• M. Marcus y J. Rosen, Procesos de Markov, procesos gaussianos y tiempos locales , 1.ª edición, 2006, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-86300-1
• P. Mörters y Y. Peres, Movimiento browniano , 1.ª edición, 2010, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76018-8.