Movimiento browniano reflejado

En teoría de probabilidad , el movimiento browniano reflejado (o movimiento browniano regulado , ^{[1] [2]} ambos con el acrónimo RBM ) es un proceso de Wiener en un espacio con límites reflectantes. ^[3] En la literatura física , este proceso describe la difusión en un espacio confinado y a menudo se lo denomina movimiento browniano confinado. Por ejemplo, puede describir el movimiento de esferas duras en agua confinada entre dos paredes. ^[4]

Se ha demostrado que los RBM describen modelos de colas que experimentan tráfico pesado ^[2] como lo propuso por primera vez Kingman ^[5] y lo demostraron Iglehart y Whitt . ^{[6] [7]}

Un movimiento browniano reflejado d -dimensional Z es un proceso estocástico definido únicamente por ${\displaystyle \mathbb {R}_{+}^{d}}$

• un vector de deriva d -dimensional μ
• una matriz de covarianza no singular d × d Σ y
• una matriz de reflexión d × d R . ^[8]

donde X ( t ) es un movimiento browniano sin restricciones con deriva μ y varianza Σ , y ^[9]

${\displaystyle Z(t)=X(t)+RY(t)}$

con Y ( t ) un vector d -dimensional donde

• Y es continua y no decreciente con Y (0) = 0
• Y _j sólo aumenta en los momentos en que Z _j  = 0 para j  = 1,2,..., d
• Z ( t ) ∈  , t ≥ 0.${\displaystyle \mathbb {R}_{+}^{d}}$

La matriz de reflexión describe el comportamiento en el límite. En el interior del proceso se comporta como un proceso de Wiener ; en el límite, "a grandes rasgos, Z es empujado en la dirección R ^j cada vez que se toca la superficie del límite , donde R ^j es la j -ésima columna de la matriz R ". ^[9] El proceso Y _j es el tiempo local del proceso en la sección correspondiente del límite. ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R}_{+}^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle \{z\in \mathbb {R} _{+}^{d}:z_{j}=0\}}$

Se conocen las condiciones de estabilidad para los RBM en 1, 2 y 3 dimensiones. "El problema de la clasificación de recurrencia para los SRBM en cuatro dimensiones y más sigue abierto". ^[9] En el caso especial en el que R es una matriz M, las condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad son ^[9]

1. R es una matriz no singular y
2. R ⁻¹ μ  < 0.

La distribución marginal (distribución transitoria) de un movimiento browniano unidimensional que comienza en 0 restringido a valores positivos (una única barrera reflectante en 0) con deriva μ y varianza σ ² es

${\displaystyle \mathbb {P} (Z(t)\leq z)=\Phi \left({\frac {z-\mu t}{\sigma t^{1/2}}}\right)-e^{-2\mu z/\sigma ^{2}}\Phi \left({\frac {-z-\mu t}{\sigma t^{1/2}}}\right)}$

para todo t  ≥ 0, (siendo Φ la función de distribución acumulativa de la distribución normal ) que produce (para μ  < 0) al tomar t → ∞ una distribución exponencial ^[2]

${\displaystyle \mathbb {P}(Z<z)=1-e^{-2\mu z/\sigma ^{2}}.}$

Para t fijo , la distribución de Z(t) coincide con la distribución del máximo en funcionamiento M(t) del movimiento browniano,

${\displaystyle Z(t)\sim M(t)=\sup _{s\in [0,t]}X(s).}$

Pero tenga en cuenta que las distribuciones de los procesos en su conjunto son muy diferentes. En particular, M(t) aumenta en t , lo que no sucede con Z(t) .

El núcleo de calor para el movimiento browniano reflejado en : $estilo de visualización p_{b}$

${\displaystyle f(x,p_{b})={\frac {e^{-((xu)/a)^{2}/2}+e^{-((x+u-2p_{b})/a)^{2}/2}}{a(2\pi )^{1/2}}}}$

Para el avión de arriba${\displaystyle x\geq p_{b}}$

La distribución estacionaria de un movimiento browniano reflejado en múltiples dimensiones es manejable analíticamente cuando existe una distribución estacionaria en forma de producto , ^[10] lo que ocurre cuando el proceso es estable y ^[11]

${\displaystyle 2\Sigma = RD+DR'}$

donde D  =  diag ( Σ ). En este caso la función de densidad de probabilidad es ^[8]

${\displaystyle p(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{d})=\prod _{k=1}^{d}\eta _{k}e^{-\eta _{ k}z_{k}}}$

donde η _k  = 2 μ _k γ _k / Σ _kk y γ  =  R ⁻¹ μ . Las expresiones de forma cerrada para situaciones en las que no se cumple la condición de forma del producto se pueden calcular numéricamente como se describe a continuación en la sección de simulación.

En una dimensión, el proceso simulado es el valor absoluto de un proceso de Wiener . El siguiente programa MATLAB crea una ruta de ejemplo. ^[12]

% rbm.m 
n = 10 ^ 4 ; h = 10 ^ ( - 3 ); t = h .* ( 0 : n ); mu = - 1 ; X = ceros ( 1 , n + 1 ); M = X ; B = X ; B ( 1 )= 3 ; X ( 1 )= 3 ; para k = 2 : n + 1 Y = sqrt ( h ) * randn ; U = rand ( 1 ); B ( k ) = B ( k - 1 ) + mu * h - Y ; M = ( Y + sqrt ( Y ^ 2 - 2 * h * log ( U ))) / 2 ; X ( k ) = máx ( M - Y , X ( k - 1 ) + h * mu - Y ); fin subparcela ( 2 , 1 , 1 ) trazar ( t , X , 'k-' ); subparcela ( 2 , 1 , 2 ) trazar ( t , X - B , 'k-' );     
     
 
 
           
            
                  
             

  
  
  
  

Se ha cuantificado el error involucrado en simulaciones discretas. ^[13]

QNET permite la simulación de RBM en estado estacionario. ^{[14] [15] [16]}

Feller describió una posible condición límite para el proceso ^{[17] [18] [19]}

• absorción ^[17] o movimiento browniano muerto, ^[20] una condición de contorno de Dirichlet
• reflexión instantánea, ^[17] como se describió anteriormente, una condición de contorno de Neumann
• Reflexión elástica, una condición de contorno de Robin
• Reflexión retardada ^[17] (el tiempo transcurrido en el límite es positivo con probabilidad uno)
• Reflexión parcial ^[17] donde el proceso se refleja inmediatamente o se absorbe.
• movimiento browniano pegajoso. ^[21]

• Problema de Skorokhod