Topología sin sentido

En matemáticas , la topología sin puntos , también llamada topología libre de puntos (o topología sin puntos ) o topología sin puntos y teoría local , es un enfoque de la topología donde las retículas de conjuntos abiertos son la noción primitiva y no se requiere que consistan en subconjuntos de puntos . ^{[ 1 ]} En este enfoque, se hace posible construir espacios topológicamente interesantes a partir de datos puramente algebraicos. ^{[ 2 ]} Los puntos son entonces una noción derivada en lugar de primitiva, y existen espacios no triviales que no tienen puntos.

Los primeros enfoques de la topología fueron geométricos, partiendo del espacio euclidiano y ensamblando elementos. Sin embargo, el trabajo de Marshall Stone sobre la dualidad de Stone en la década de 1930 demostró que la topología puede abordarse desde una perspectiva algebraica (reticular). Karl Menger fue uno de los primeros pioneros en este campo, y su trabajo sobre topología sin puntos se inspiró en la geometría sin puntos de Whitehead y utilizó regiones decrecientes del plano para simular puntos. ^{[ 3 ]}

Además de Stone, Henry Wallman también explotó esta idea. Otros continuaron por este camino hasta que Charles Ehresmann y su alumno Jean Bénabou (y simultáneamente otros) dieron un paso importante a finales de los años cincuenta. Sus ideas surgieron del estudio de categorías "topológicas" y "diferenciables" . ^{[ 2 ]}

El enfoque de Ehresmann implicaba el uso de una categoría cuyos objetos eran retículos completos que satisfacían una ley distributiva y cuyos morfismos eran aplicaciones que preservaban intersecciones finitas y uniones arbitrarias . Llamó a tales retículos "retículos locales"; hoy se les llama "marcos" para evitar ambigüedad con otras nociones en la teoría de retículos . ^{[ 4 ]}

La teoría de marcos y lugares en el sentido contemporáneo se desarrolló a lo largo de las décadas siguientes ( John Isbell , Peter Johnstone , Harold Simmons, Bernhard Banaschewski , Aleš Pultr , Till Plewe, Japie Vermeulen, Steve Vickers ) hasta convertirse en una rama dinámica de la topología, con aplicaciones en diversos campos, en particular en la informática teórica. Para más información sobre la historia de la teoría de lugares, véase la reseña de Johnstone. ^{[ 5 ]}

Tradicionalmente, un espacio topológico consiste en un conjunto de puntos junto con una topología , un sistema de subconjuntos llamados conjuntos abiertos que, mediante las operaciones de unión (como join ) e intersección (como meet ), forman una red con ciertas propiedades. Específicamente, la unión de cualquier familia de conjuntos abiertos es también un conjunto abierto, y la intersección de un número finito de conjuntos abiertos también es un conjunto abierto. En la topología sin puntos, tomamos estas propiedades de la red como fundamentales, sin requerir que los elementos de la red sean conjuntos de puntos de algún espacio subyacente ni que la operación de la red sea intersección y unión. En cambio, la topología sin puntos se basa en el concepto de un "punto realista" en lugar de un punto sin extensión. Estos "puntos" se pueden unir (símbolo${\displaystyle \vee }$), similar a un sindicato, y también tenemos una operación de encuentro para lugares (símbolo${\displaystyle \land }$), similar a una intersección. Usando estas dos operaciones, los puntos forman una red completa . Si un punto se encuentra con la unión de otros, tiene que encontrarse con algunos de los constituyentes, lo que, en términos generales, conduce a la ley distributiva.

${\displaystyle b\wedge \left(\bigvee _{i\in I}a_{i}\right)=\bigvee _{i\in I}\left(b\wedge a_{i}\right)}$

donde el${\displaystyle a_{i}}$y${\displaystyle b}$son manchas y la familia de índices${\displaystyle I}$puede ser arbitrariamente grande. Esta ley distributiva también la satisface el retículo de conjuntos abiertos de un espacio topológico.

Si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son espacios topológicos con retículos de conjuntos abiertos denotados por${\displaystyle \Omega (X)}$y${\displaystyle \Omega (Y)}$, respectivamente, y${\displaystyle f\colon X\to Y}$Si es una aplicación continua , entonces, dado que la preimagen de un conjunto abierto bajo una aplicación continua es abierta, obtenemos una aplicación de retículos en la dirección opuesta:${\displaystyle f^{*}\colon \Omega (Y)\to \Omega (X)}$Estos mapas reticulares de "dirección opuesta" sirven, por lo tanto, como la generalización adecuada de los mapas continuos en el entorno sin puntos.

El concepto básico es el de un marco , una red completa que satisface la ley distributiva general:

${\displaystyle b\wedge \left(\bigvee _{i\in I}a_{i}\right)=\bigvee _{i\in I}\left(b\wedge a_{i}\right)}$

Los homomorfismos de marcos son aplicaciones entre marcos que respetan todas las uniones (en particular, el elemento más pequeño del retículo) y las intersecciones finitas (en particular, el elemento más grande del retículo). Los marcos, junto con los homomorfismos de marcos, forman una categoría .

La categoría opuesta a la categoría de marcos se conoce como la categoría de configuraciones regionales . Una configuración regional${\displaystyle X}$no es, por lo tanto, más que un marco; si lo consideramos como un marco, lo escribiremos como${\displaystyle O(X)}$. Un morfismo de localización${\displaystyle X\to Y}$del lugar${\displaystyle X}$al lugar${\displaystyle Y}$está dado por un homomorfismo de marcos${\displaystyle O(Y)\to O(X)}$.

Cada espacio topológico${\displaystyle T}$da lugar a un marco${\displaystyle \Omega (T)}$de conjuntos abiertos y por lo tanto a un lugar. Un lugar se llama espacial si es isomorfo (en la categoría de lugares) a un lugar que surge de un espacio topológico de esta manera.

• Como se mencionó anteriormente, cada espacio topológico${\displaystyle T}$da lugar a un marco${\displaystyle \Omega (T)}$de conjuntos abiertos y, por lo tanto, a un lugar, por definición uno espacial.
• Dado un espacio topológico${\displaystyle T}$, también podemos considerar la colección de sus conjuntos abiertos regulares . Este es un marco que utiliza como unión el interior del cierre de la unión, y como intersección. Obtenemos así otro lugar asociado a${\displaystyle T}$Este lugar normalmente no será espacial.
• Para cada${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$y cada uno${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, utilice un símbolo${\displaystyle U_{n,a}}$y construir el marco libre sobre estos símbolos, módulo las relaciones

${\displaystyle \bigvee _{a\in \mathbb {R} }U_{n,a}=\top \ {\text{ para cada }}n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle U_{n,a}\land U_{n,b}=\bot \ {\text{ para todo }}n\in \mathbb {N} {\text{ y todo }}a,b\in \mathbb {R} {\text{ con }}a\neq b}$

${\displaystyle \bigvee _{n\in \mathbb {N} }U_{n,a}=\top \ {\text{ para cada }}a\in \mathbb {R} }$

(dónde${\displaystyle \top }$denota el elemento más grande y${\displaystyle \bot }$el elemento más pequeño del marco.) El lugar resultante se conoce como el "lugar de las funciones sobreyectivas".${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$". Las relaciones están diseñadas para sugerir la interpretación de${\displaystyle U_{n,a}}$como el conjunto de todas esas funciones sobreyectivas${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$con${\displaystyle f(n)=a}$Por supuesto, no existen tales funciones sobreyectivas.${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$y esto no es una ubicación espacial.

Hemos visto que tenemos un functor${\displaystyle \Omega }$De la categoría de espacios topológicos y aplicaciones continuas a la categoría de locales. Si restringimos este functor a la subcategoría completa de espacios sobrios , obtenemos una incrustación completa de la categoría de espacios sobrios y aplicaciones continuas en la categoría de locales. En este sentido, los locales son generalizaciones de los espacios sobrios.

Es posible traducir la mayoría de los conceptos de la topología de conjuntos de puntos al contexto de los locales y demostrar teoremas análogos. Algunos hechos importantes de la topología clásica que dependen de principios de elección se vuelven independientes de la elección (es decir, constructivos , lo cual es particularmente atractivo para la informática). Así, por ejemplo, los productos arbitrarios de locales compactos son compactos constructivamente (este es el teorema de Tychonoff en la topología de conjuntos de puntos), o las completaciones de locales uniformes son constructivas. Esto puede ser útil si se trabaja en un topos que no tiene el axioma de elección. ^{[ 6 ]} Otras ventajas incluyen el comportamiento mucho mejor de la paracompacidad , donde los productos arbitrarios de locales paracompactos son paracompactos, lo cual no es cierto para los espacios paracompactos, o el hecho de que los subgrupos de grupos locales son siempre cerrados.

Otro punto donde la topología y la teoría de locales divergen fuertemente son los conceptos de subespacios versus sublocales y densidad : dada cualquier colección de sublocales densos de un local${\displaystyle X}$, su intersección también es densa en${\displaystyle X}$. ^{[ 7 ]} Esto conduce al teorema de densidad de Isbell : todo lugar tiene un sublugar denso más pequeño. Estos resultados no tienen equivalente en el ámbito de los espacios topológicos.

• Álgebra de Heyting . Los marcos resultan ser lo mismo que las álgebras de Heyting completas (aunque los homomorfismos de marcos no necesariamente son homomorfismos de álgebras de Heyting).
• Álgebra booleana completa . Cualquier álgebra booleana completa es un marco (es un marco espacial si y solo si es atómico ).
• En el artículo sobre la dualidad de Stone se pueden encontrar detalles sobre la relación entre la categoría de espacios topológicos y la categoría de lugares, incluida la construcción explícita de la equivalencia entre espacios sobrios y lugares espaciales .
• La geometría sin puntos de Whitehead .
• Mereotopología .