Clase Chern localizada

En geometría algebraica, una clase de Chern localizada es una variante de una clase de Chern , que se define para un complejo en cadena de fibrados vectoriales en lugar de un fibrado vectorial único. Se introdujo originalmente en la teoría de intersecciones de Fulton ^[1] como una contraparte algebraica de la construcción similar en topología algebraica . La noción se utiliza en particular en el teorema de tipo Riemann-Roch .

Posteriormente, S. Bloch generalizó la noción en el contexto de esquemas aritméticos (esquemas sobre un dominio de Dedekind) con el propósito de dar la fórmula del conductor de Bloch que calcula la no constancia de la característica de Euler de una familia degenerativa de variedades algebraicas (en el caso de característica mixta).

Sea Y un esquema regular de dimensión pura de tipo finito sobre un cuerpo o anillo de valoración discreto y X un subesquema cerrado. Sea Y un complejo de fibrados vectoriales sobre Y${\displaystyle E_{\bullet }}$

${\displaystyle 0=E_{n-1}\to E_{n}\to \dots \to E_{m}\to E_{m-1}=0}$

que es exacto en . La clase Chern localizada de este complejo es una clase en el grupo de Chow bivariante de definido de la siguiente manera. Sea el fibrado tautológico del fibrado de Grassmann de subfibrados de rango de . Sea . Entonces la i -ésima clase Chern localizada se define por la fórmula: ${\displaystyle Y-X}$${\displaystyle X\subset Y}$${\displaystyle \xi _{i}}$ ${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle \operatorname {rk} E_{i}}$${\displaystyle E_{i}\otimes E_{i-1}}$${\displaystyle \xi =\prod (-1)^{i}\operatorname {pr} _{i}^{*}(\xi _{i})}$${\displaystyle c_{i,X}^{Y}(E_{\bullet })}$

${\displaystyle c_{i,X}^{Y}(E_{\bullet })\cap \alpha =\eta _{*}(c_{i}(\xi )\cap \gamma )}$

donde es la proyección y es un ciclo obtenido mediante la llamada construcción gráfica. ${\displaystyle \eta :G_{n}\times _{Y}\dots \times _{Y}G_{m}\to X}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha }$

Sea como en #Definiciones. Si S es suave sobre un cuerpo, entonces la clase Chern localizada coincide con la clase ${\displaystyle f:X\to S}$

${\displaystyle (-1)^{\dim X}\mathbf {Z} (s_{f})}$

donde, aproximadamente, es la sección determinada por la diferencial de f y (por tanto) es la clase del lugar geométrico singular de f . ${\displaystyle s_{f}}$${\displaystyle \mathbf {Z} (s_{f})}$

Considérese un fibrado E de dimensión infinita sobre una variedad M de dimensión infinita con una sección s con derivada de Fredholm. En la práctica, esta situación ocurre siempre que tenemos un sistema de EDP que son elípticas cuando se las considera módulo alguna acción de grupo de calibración. El conjunto cero Z(s) es entonces el espacio de módulos de soluciones módulo calibración, y el índice de la derivada es la dimensión virtual. La clase de Euler localizada del par (E,s) es una clase de homología con soporte cerrado en el conjunto cero de la sección. Su dimensión es el índice de la derivada. Cuando la sección es transversal, la clase es simplemente la clase fundamental del conjunto cero con la orientación adecuada. La clase se comporta bien en familias de un parámetro y, por lo tanto, define el ciclo fundamental "correcto" incluso si la sección ya no es transversal.

Esta fórmula nos permite calcular el conductor que mide la ramificación salvaje utilizando el haz de 1-formas diferenciales. S. Bloch conjetura una fórmula para el conductor de Artin de la cohomología ℓ-ádica de un modelo regular de una variedad sobre un cuerpo local y la demuestra para una curva. El resultado más profundo acerca del conductor de Bloch es su igualdad con el conductor de Artin, definido en términos de la cohomología l-ádica de X, en ciertos casos.

• S. Bloch, “Ciclos en esquemas aritméticos y características de Euler de curvas”, Geometría algebraica, Bowdoin, 1985, 421–450, Proc. Symp. Pure Math. 46, Parte 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987.
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. Una serie de estudios modernos en matemáticas [Resultados en matemáticas y áreas afines. 3ª Serie. Una serie de estudios modernos en matemáticas], vol. 2, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, Sr.  1644323, sección B.7
• K. Kato y T. Saito, “Sobre la fórmula conductora de Bloch”, Publ. Math. IHÉS 100 (2005), 5-151.