Grupo generado de forma finita

En álgebra , un grupo finitamente generado es un grupo G que tiene un conjunto generador finito S tal que cada elemento de G puede escribirse como la combinación (bajo la operación de grupo) de un número finito de elementos de S y de los inversos de dichos elementos. ^{[ 1 ]}

Por definición, todo grupo finito es finitamente generado, ya que S puede considerarse como G. Todo grupo finitamente generado infinito debe ser numerable , pero los grupos numerables no necesariamente son finitamente generados. El grupo aditivo de los números racionales Q es un ejemplo de un grupo numerable que no es finitamente generado.

• Todo cociente de un grupo finitamente generado G es finitamente generado; el grupo cociente está generado por las imágenes de los generadores de G bajo la proyección canónica .
• Un grupo generado por un solo elemento se llama cíclico . Todo grupo cíclico infinito es isomorfo al grupo aditivo de los enteros Z.
  • Un grupo localmente cíclico es un grupo en el que cada subgrupo finitamente generado es cíclico.
• El grupo libre en un conjunto finito está finitamente generado por los elementos de ese conjunto ( §Ejemplos ).
• A fortiori , todo grupo finitamente presentado ( §Ejemplos ) es finitamente generado.

Todo grupo abeliano puede verse como un módulo sobre el anillo de enteros Z , y en un grupo abeliano finitamente generado con generadores x ₁ , ..., x _n , cada elemento del grupo x puede escribirse como una combinación lineal de estos generadores,

x = α ₁ ⋅ x ₁ + α ₂ ⋅ x ₂ + ... + α _n ⋅ x _n

con números enteros α ₁ , ..., α _n .

Los subgrupos de un grupo abeliano finitamente generado son, a su vez, finitamente generados.

El teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados establece que un grupo abeliano finitamente generado es la suma directa de un grupo abeliano libre de rango finito y un grupo abeliano finito, cada uno de los cuales es único salvo isomorfismo.

Un subgrupo de un grupo finitamente generado no tiene por qué ser finitamente generado. El subgrupo conmutador del grupo libre${\displaystyle F_{2}}$Un subgrupo de un grupo finitamente generado que no es finitamente generado está definido por dos generadores.

Por otro lado, todos los subgrupos de un grupo abeliano finitamente generado son finitamente generados.

Un subgrupo de índice finito en un grupo finitamente generado siempre es finitamente generado, y la fórmula del índice de Schreier da una cota sobre el número de generadores necesarios. ^{[ 2 ]}

En 1954, Albert G. Howson demostró que la intersección de dos subgrupos finitamente generados de un grupo libre también es finitamente generada. Además, si${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$son los números de generadores de los dos subgrupos finitamente generados, entonces su intersección está generada por como máximo${\displaystyle 2mn-m-n+1}$generadores. ^{[ 3 ]} Este límite superior fue luego mejorado significativamente por Hanna Neumann para${\displaystyle 2(m-1)(n-1)+1}$; véase la conjetura de Hanna Neumann .

El retículo de subgrupos de un grupo satisface la condición de cadena ascendente si y solo si todos los subgrupos del grupo son finitamente generados. Un grupo tal que todos sus subgrupos son finitamente generados se denomina noetheriano .

Un grupo tal que cada subgrupo finitamente generado es finito se denomina localmente finito . Todo grupo localmente finito es periódico , es decir, cada elemento tiene orden finito . Recíprocamente , todo grupo abeliano periódico es localmente finito. ^{[ 4 ]}

Los grupos finitamente generados surgen en diversos contextos matemáticos y científicos. Una forma frecuente de hacerlo es mediante el lema de Švarc-Milnor o, más generalmente, gracias a una acción a través de la cual un grupo hereda alguna propiedad de finitud de un espacio. La teoría geométrica de grupos estudia las conexiones entre las propiedades algebraicas de los grupos finitamente generados y las propiedades topológicas y geométricas de los espacios sobre los que actúan estos grupos.

El problema de palabras para un grupo finitamente generado es el problema de decisión de determinar si dos palabras en los generadores del grupo representan el mismo elemento. El problema de palabras para un grupo finitamente generado dado es resoluble si y solo si el grupo puede incrustarse en todo grupo algebraicamente cerrado .

El rango de un grupo se define a menudo como la cardinalidad más pequeña de un conjunto generador para dicho grupo. Por definición, el rango de un grupo finitamente generado es finito.

• Módulo generado de forma finita
• Presentación de un grupo

• Rose, John S. (2012) [reedición íntegra e inalterada de una obra publicada originalmente por Cambridge University Press, Cambridge, Inglaterra, en 1978]. A Course on Group Theory . Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8.