Teorema de Lochs

Lema.${\textstyle {\frac {1}{n}}\ln T^{n}x\to 0}$.

Prueba. Dado que${\textstyle T^{n}x\leq 1}$, tenemos${\textstyle {\frac {1}{n}}\ln T^{n}x\to 0}$si y solo si$${\displaystyle \liminf {\frac {1}{n}}\ln T^{n}x=0}$$Consideremos el conjunto de todos${\textstyle x}$que tienen${\textstyle \liminf {\frac {1}{n}}\ln T^{n}x<0}$. Eso es,$${\displaystyle \{x:\exists c>0,\forall N\geq 1,\exists n\geq N,T^{n}x<e^{-cn}\}}$$$${\displaystyle =\cup _{c>0}\cap _{N\geq 1}\cup _{n\geq N}[0;\mathbb {N} ,\dots ,\mathbb {N} ,a_{n}>e^{cn},\mathbb {N} ,\dots ]}$$dónde${\displaystyle [0;\mathbb {N} ,\dots ,\mathbb {N} ,a_{n}>e^{cn},\mathbb {N} ,\dots ]}$denota el conjunto de números cuya expansión fraccionaria continua tiene${\displaystyle a_{n}>e^{cn}}$, pero ninguna otra restricción. Ahora bien, dado que el mapa de Gauss conserva la medida de Gauss,$${\displaystyle [0;\mathbb {N} ,\dots ,\mathbb {N} ,a_{n}>e^{cn},\mathbb {N} ,\dots ]}$$tiene la misma medida de Gauss que${\textstyle [0;a_{n}>e^{cn},\mathbb {N} ,\dots ]}$, que es lo mismo que

$${\displaystyle \int _{0}^{e^{-cn}}\rho (t)dt=\log _{2}(1+e^{-cn})\sim {\frac {e^{-cn}}{\ln 2}}}$$El sindicato sobre${\textstyle \cup _{n\geq N}}$suma a${\textstyle \sim {\frac {e^{-cN}}{(1-e^{-c})\ln 2}}}$, que en el${\textstyle N\to \infty }$El límite es cero.

Así, el conjunto de tales${\textstyle x}$tiene medida gaussiana cero.

Ahora, desarrollemos el término utilizando las propiedades básicas de las fracciones continuas:$${\displaystyle \ln \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=\ln {\frac {T^{n}x}{q_{n}(q_{n}+q_{n-1}T^{n}x)}}=-2\ln q_{n}+\ln T^{n}x-\ln \left(1+{\frac {q_{n-1}}{q_{n}}}T^{n}x\right)}$$El segundo es${\textstyle o(n)}$El tercer término es${\textstyle \in [\ln 1,\ln 2]}$Ambos desaparecen después de dividir por${\displaystyle n}$. De este modo$${\displaystyle \lim _{n}{\frac {1}{n}}\ln \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=-2\lim _{n}{\frac {1}{n}}\ln q_{n}=-{\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}}$$donde utilizamos el resultado de la constante de Lévy .