Undecimal

Undecimal (también conocido como unodecimal , undenario y sistema de numeración de base 11 ) es un sistema de numeración posicional que utiliza el once como base . Si bien ninguna sociedad conocida cuenta de once en once, se supone que dos lo hicieron: los maoríes (uno de los dos pueblos polinesios de Nueva Zelanda ) y los pañgwa (un pueblo de habla bantú de Tanzania ). La idea de contar de once en once sigue siendo interesante por su relación con un método tradicional de conteo practicado en Polinesia. ^{[1] [2]} Durante la Revolución Francesa , el undecimal se consideró brevemente como una posible base para el sistema de medición reformado. ^[3] Los numerales undecimales tienen aplicaciones en la informática, ^[4] la tecnología, ^[5] y el sistema de numeración estándar internacional de libros . ^[6] También aparecen ocasionalmente en obras de ficción popular. ^[7] En sistema indecimal, una letra mayúscula (a menudo A , el símbolo de 10 en hexadecimal ; T , la primera letra de la palabra inglesa "ten"; o X , el número romano 10) o el dígito ↊ (llamado "dek") se utiliza típicamente como símbolo transdecimal para representar el número 10.

Durante aproximadamente un siglo, la idea de que los maoríes contaban de once en once fue más conocida por su mención en los escritos del matemático estadounidense Levi Leonard Conant . Él la identificó como un "error" originado en un diccionario del siglo XIX de la lengua neozelandesa publicado por el reverendo William Williams , en ese momento archidiácono de Waiapu . ^{[8] : p. 123}

"Hace muchos años apareció una afirmación que inmediatamente atrajo la atención y despertó la curiosidad. Se trataba de que los maoríes, los habitantes aborígenes de Nueva Zelanda, utilizaban como base de su sistema numérico el número 11; y que el sistema estaba bastante desarrollado, teniendo palabras sencillas para 121 y 1331, es decir, para el cuadrado y el cubo de 11." ^{[8] : págs. 122-123}

Tal como lo publicó Williams en las dos primeras ediciones de la serie de diccionarios, esta declaración decía:

"El método nativo de contar es de once en once, hasta llegar al décimo once, que es su centena; luego, hasta el décimo centenar, que es su millar:* pero los nativos que mantienen relaciones con los europeos han abandonado, en su mayoría, este método y, dejando de lado el ngahuru , cuentan el tekau o tahi tekau como 10, el rua tekau como 20, etc. *Esto parece basarse en el principio de apartar uno por cada diez como recuento. Un paralelo a esto se obtiene entre los ingleses, como en el caso de la docena del panadero." ^{[9] : p. xv}

En 2020, un origen continental anterior de la idea de que los maoríes contaban de once en once se rastreó hasta los escritos publicados de dos exploradores científicos del siglo XIX, René Primevère Lesson y Jules de Blosseville . ^[1] Habían visitado Nueva Zelanda en 1824 como parte del viaje de circunnavegación de 1822-1825 del Coquille , ^[10] una corbeta francesa comandada por Louis Isidore Duperrey y secundada por Jules Dumont d'Urville . A su regreso a Francia en 1825, Lesson publicó su traducción al francés de un artículo escrito por el botánico alemán Adelbert von Chamisso . ^[11] Ante la afirmación de von Chamisso de que el sistema numérico de Nueva Zelanda se basaba en veinte ( vigesimal ), Lesson insertó una nota al pie para marcar un error:

Texto de Von Chamisso, traducido por Lesson: "...de l'E. de la mer du Sud ... c'est là qu'on trouve premierement le système arithmétique fondé sur un échelle de vingt, comme dans la Nouvelle- Zélande (2)..." ^{[11] : p. 27} [...al este del Mar del Sur... es donde encontramos por primera vez el sistema aritmético basado en una escala de veinte, como en Nueva Zelanda (2)...]

Nota a pie de página de la lección sobre el texto de von Chamisso: "(2) Erreur. Le système arithmétique des Zélandais est undécimal, et les Anglais sont les premiers qui ont propagé cette fausse idée. (L.)" ^{[11] : p. 27} [(2) Error. El sistema aritmético neozelandés es undecimal y los ingleses son los primeros en propagar esta falsa idea. (L).]

Von Chamisso había mencionado su error él mismo en 1821, rastreando la fuente de su confusión y su aclaración a Thomas Kendall , el misionero inglés en Nueva Zelanda que proporcionó el material sobre el idioma maorí que fue la base para una gramática publicada en 1820 por el lingüista inglés Samuel Lee . ^{[12] [13]} En la misma publicación de 1821, von Chamisso también identificó el sistema numérico maorí como decimal, señalando que la fuente de la confusión era la práctica polinesia de contar cosas por pares, donde cada par se contaba como una sola unidad, de modo que diez unidades eran numéricamente equivalentes a veinte: ^{[12] [13]}

"Tenemos ante nosotros una gramática y vocabulario del idioma de Nueva Zelanda, publicado por la Sociedad Misionera de la Iglesia. Londres, 1820. 8vo. El autor de esta gramática es el mismo Sr. Kendall que nos comunicó el vocabulario en el viaje de Nicolás. ^[14] Ahora se nos ha abierto el idioma y corregimos nuestra opinión". ^{[12] : p. 13}

Y,

"No resulta nada fácil averiguar el sistema aritmético de un pueblo. En Nueva Zelanda, como en Tonga, se utiliza el sistema decimal. Lo que quizá haya engañado al señor Kendall al principio, en su primer intento en el viaje de Nicolás, y que nosotros seguimos, es la costumbre de los neozelandeses de contar las cosas de dos en dos. Los nativos de Tonga cuentan los plátanos y el pescado de la misma manera de dos en dos y de veinte en veinte ( Tecow , English score)." ^{[12] : págs. 441–442}

El uso que hizo Lesson del término "undécimal" en 1825 fue posiblemente un error de imprenta que unió la frase deseada "un décimal", que habría identificado correctamente la numeración de Nueva Zelanda como decimal. ^[1] Lesson sabía que los números polinesios eran decimales y muy similares en toda la región, ya que había aprendido mucho sobre los sistemas numéricos del Pacífico durante sus 2,5 años en el Coquille , recopilando vocabularios numéricos y finalmente publicando o comentando más de una docena de ellos. ^[1] También estaba familiarizado con el trabajo de Thomas Kendall y Samuel Lee a través de su traducción del trabajo de von Chamisso. ^[11] Estas circunstancias sugieren que era poco probable que Lesson hubiera entendido mal que el conteo de Nueva Zelanda se hacía de once en once. ^[1]

Lesson y su compañero de barco y amigo, Blosseville, ^[15] enviaron relatos de su supuesto descubrimiento del conteo basado en once en Nueva Zelanda a sus contemporáneos. Al menos dos de estos corresponsales publicaron estos informes, incluido el geógrafo italiano Adriano Balbi , quien detalló una carta que recibió de Lesson en 1826, ^[16] y el astrónomo húngaro Franz Xaver von Zach , quien mencionó brevemente el supuesto descubrimiento como parte de una carta de Blosseville que había recibido a través de un tercero. ^[17] De Blosseville también se lo mencionó al autor escocés George Lillie Craik , quien informó sobre esta carta en su libro de 1830 The New Zealanders . ^[18] Lesson también fue probablemente el autor de un ensayo sin fecha, escrito por un francés pero por lo demás anónimo, encontrado y publicado con los documentos del lingüista prusiano Wilhelm von Humboldt en 1839. ^{[19] [20]}

La historia se expandió en su relato: ^[1] La carta de 1826 publicada por Balbi agregó un supuesto vocabulario numérico con términos para once al cuadrado ( Karaou ) y once al cubo ( Kamano ), así como un relato de cómo las palabras numéricas y el procedimiento de conteo supuestamente se obtuvieron de informantes locales. ^[16] En un giro interesante, también cambió la clasificación errónea que necesitaba corrección de vigesimal a decimal. ^{[11] [16]} El ensayo de 1839 publicado con los documentos de von Humboldt nombró a Thomas Kendall , el misionero inglés cuya confusión sobre los efectos del conteo de pares en los números maoríes había hecho que von Chamisso los identificara erróneamente como vigesimales . ^{[11] [12] [19]} También enumeraba los lugares de los que supuestamente provenían los presuntos informantes locales. ^[19]

La idea de que los maoríes contaban de once en once destaca una forma ingeniosa y pragmática de contar que alguna vez se practicó en toda Polinesia. ^{[1] [21] [22]} Este método de contar reservaba cada décimo elemento para marcar diez de los elementos contados; los elementos reservados se contaban posteriormente de la misma manera, y cada décimo elemento marcaba ahora un centenar (segunda ronda), un millar (tercera ronda), diez mil elementos (cuarta ronda), y así sucesivamente. ^[1] El método de conteo funcionaba de la misma manera independientemente de si la unidad base era un solo elemento, un par o un grupo de cuatro (unidades de conteo base utilizadas en toda la región) y fue la base para el conteo binario único encontrado en Mangareva , donde el conteo también podía realizarse en grupos de ocho. ^{[1] [23]}

El método de conteo también resuelve otro misterio: por qué la palabra hawaiana para veinte , iwakalua , significa "nueve y dos". Cuando se utilizó el método de conteo con pares, se contaron nueve pares (18) y el último par (2) se dejó de lado para la siguiente ronda. ^{[1] [2]}

Se sabe menos sobre la idea de que el pueblo Pañgwa de Tanzania contaba de 11 en 11. Fue mencionada en 1920 por el antropólogo británico Northcote W. Thomas :

"Otro sistema de numeración anormal es el de los pangwa, al noreste del lago Nyassa, que utilizan una base de once". ^{[24] : p. 59}

Y,

"Si pudiéramos estar seguros de que ki dzigo originalmente tenía el significado de once, no diez, en Pangwa, sería tentador correlacionar el dzi o či con la misma palabra en Walegga-Lendu, donde significa doce, y así poner en una relación, aunque del tipo más endeble y remoto, las tres áreas en las que se utilizan sistemas anormales". ^{[24] : p. 59}

El explorador y administrador colonial británico Harry H. Johnston repitió esta afirmación en el volumen II de su estudio de 1922 sobre las lenguas bantú y semibantú . También él observó similitudes sugerentes entre el término pañgwa para once y los términos para diez en lenguas relacionadas: ^[25]

"En ocasiones existen términos especiales para 'once'. Hasta donde yo sé, son los siguientes:

Ki-dzigꞷ 36 (en esta lengua, la pangwa del noreste de Nyasalandia, el conteo se hace de once en once. Ki-dzigꞷ-kavili = 'veintidós', Ki-dzigꞷ-kadatu = 'treinta y tres'). Sin embargo, la raíz -dzigꞷ es obviamente la misma que -tsigꞷ , que significa 'diez' en el n.° 38. También puede estar relacionada con -digi ('diez') de 148, -tuku o -dugu de las lenguas ababua y congo, -dikꞷ de 130, -liku de 175 ('ocho') y el tiag de 249" . ^{[25] : p. 477}

En la clasificación de Johnston de las lenguas bantúes y semibantúes , ^[25]

• 36 es Pañgwa, Bantu Group J, N. Ruvuma, NE Nyasaland
• 38 es Kiñga, Bantú Grupo K, Ukiñga
• 130 es Ba-ñkutu (Ba-ñkpfutu), Bantu Group DD, Central Congꞷland
• 148 es Li-huku, grupo bantú HH, Alto Ituri
• 175 es Ifumu o Ifuru (E. Teke), Bantu Group LL, Kwa-Kasai-Upper Ꞷgꞷwe (Teke)
• 249 es Afudu, grupo semibantú D, S. Benue

En la actualidad se entiende que Pañgwa tiene números decimales, y los números seis y superiores son tomados del suajili . ^[26]

En junio de 1789, pocas semanas antes de que comenzara la Revolución Francesa con la toma de la Bastilla , la Academia de Ciencias estableció un comité ( la Commission des Poids et Mesures ) para estandarizar los sistemas de pesos y medidas, una reforma popular que fue un primer paso hacia la creación del sistema métrico internacional . ^{[27] [28]} El 27 de octubre de 1790, el comité informó que habían considerado usar el duodecimal (base 12) como base para pesos, longitudes/distancias y dinero debido a su mayor divisibilidad, en relación con el decimal (base 10). ^[29] Sin embargo, finalmente rechazaron la iniciativa, decidiendo que una escala común basada en números hablados simplificaría los cálculos y las conversiones y haría que el nuevo sistema fuera más fácil de implementar. ^[29] Al matemático Joseph-Louis Lagrange , miembro del comité, se le atribuyó el mérito de influir en el comité para seleccionar el decimal. ^[3] El debate sobre cuál utilizar parece haber sido animado, si no polémico, ya que en un momento, Lagrange sugirió adoptar 11 como número base, con el argumento de que la indivisibilidad era realmente ventajosa; debido a que 11 era un número primo , ninguna fracción con él como denominador sería reducible: ^{[3] [30]}

Delambre escribió: "Il était peu frappé de l'objection que l'on tirait contra ce système du petit nombre des diviseurs de sa base. Il lamenttait presque qu'elle ne fut pas un nombre premier, tel que 11, qui nécessairement eût donné un même dénominateur à toutes les fracciones On respectera, si l'on veut, cette idée comme una de ces exagerations qui échappent aux meilleurs esprits dans le feu de la disputa; , que des novateurs plus intrépides auraient voulu substituer à celui de 10, qui fait partout la base de la numeración." ^{[3] : pág. lxvi}

Según la traducción: "Casi lamentó que [la base] no fuera un número primo, como el 11, que necesariamente daría a todas las fracciones el mismo denominador. Esta idea será considerada, si se quiere, como una de esas exageraciones que se les escapan a las mejores mentes en el calor de la discusión; pero él sólo utilizó el número 11 para descartar el número 12, que los innovadores más intrépidos querían sustituir por el 10, que es la base de la numeración en todas partes".

En 1795, en las conferencias públicas publicadas en la École Normale , Lagrange observó que las fracciones con denominadores variables (por ejemplo, 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 3 , 1 ⁄ 4 , 1 ⁄ 5 , 1 ⁄ 7 ), aunque simples en sí mismas, eran incómodas, ya que sus diferentes denominadores las hacían difíciles de comparar. ^[31] Es decir, las fracciones no son difíciles de comparar si el numerador es 1 (por ejemplo, 1 ⁄ 2 es mayor que 1 ⁄ 3 , que a su vez es mayor que 1 ⁄ 4 ). Sin embargo, las comparaciones se vuelven más difíciles cuando se mezclan numeradores y denominadores: 3 ⁄ 4 es mayor que 5 ⁄ 7 , que a su vez es mayor que 2 ⁄ 3 , aunque esto no se puede determinar mediante una simple inspección de los denominadores de la manera en que es posible si el numerador es 1. Observó que la dificultad se resolvía si todas las fracciones tenían el mismo denominador:

Lagrange escribió: "On voit aussi par-là, qu'il est indifférent que le nombre qui adapte la base du système, comme le nombre 10 dans notre système décimal, ait des diviseurs ou non; peut-être même y aurait-il, à quelques égards, de l'avantage à ce que ce nombre n'eût point de diviseurs, como el nombre 11, ce qui aurait lieu dans le système undécimal, parce qu'on en serait moins porté à patron les fracciones 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 3 , etc." ^{[31] : pág. 23}

Como se traduce: "Vemos también por esto [argumento sobre la divisibilidad] que no importa si el número que es la base del sistema, como el número 10 en nuestro sistema decimal, tiene divisores o no; tal vez incluso habría, en algunos aspectos, una ventaja si este número no tuviera divisores, como el número 11, lo que sucedería en el sistema indecimal, porque uno estaría menos inclinado a usar las fracciones 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 3 , etc."

Al relatar la historia, Ralph H. Beard (en 1947, presidente de la entonces llamada Sociedad Duodecimal de América) señaló que los números de base 11 tienen la desventaja de que, en el caso de los números primos superiores a 11, "no podemos determinar, sin probarlos realmente, no solo si son primos o no, sino, sorprendentemente, si son pares o impares". ^{[32] : p. 9}

Undecimal (a menudo denominado undecimal en este contexto) es útil en informática y tecnología para comprender el complemento (restar por suma negativa) ^[4] y realizar comprobaciones de dígitos en un canal decimal. ^[5]

Cualquier sistema numérico con una base mayor que diez requiere uno o más dígitos nuevos; "en un sistema undenario (base once) debería haber un carácter para diez". ^{[33] : p. 345} Para permitir la entrada en máquinas de escribir, se utilizan letras como ⟨ A ⟩ (como en hexadecimal ), ⟨ T ⟩ (la inicial de "diez"), o ⟨ X ⟩ (el numeral romano 10) para el número 10 en base 11. También es posible utilizar el dígito ↊ ("dek"), el llamado numeral de Pitman para 10 propuesto en 1947 por Isaac Pitman como uno de los dos símbolos transdecimales necesarios para representar la base 12 ( duodecimal ). ^[34]

Los números de 10 dígitos del sistema de Números Internacionales Normalizados para Libros (ISBN) utilizan un dígito de control undecimal . ^[6] Un dígito de control es el dígito final de un ISBN que está relacionado matemáticamente con todos los demás dígitos que contiene y que se utiliza para verificar su precisión. ^[35] Representa la respuesta a un cálculo matemático, en este caso, uno que multiplica los diez dígitos del ISBN por los números enteros diez (dígito más a la izquierda) a dos (penúltimo dígito más a la derecha, siendo el último el dígito de control en sí) y luego los suma. ^[36] El cálculo debe producir un múltiplo de once, con su dígito final, representado por los dígitos del 0 al 9 o una X (para diez), siendo igual al décimo dígito del ISBN. ^[36] A partir del 1 de enero de 2007 ^[actualizar], los ISBN de trece dígitos son el estándar. ^[6] La Agencia Internacional del ISBN proporciona una calculadora en línea que convertirá los ISBN de diez dígitos en trece dígitos. ^[37]

En la novela Contacto de Carl Sagan , un mensaje dejado por una inteligencia avanzada desconocida se encuentra oculto dentro del número pi ; el mensaje se revela mejor cuando pi se calcula en indeciso. ^{[38] [39] : p. 317} En la serie de televisión Babylon 5 , la raza avanzada conocida como Minbari usa números indeciso que obtienen contando diez dedos y la cabeza, según el creador de la serie J. Michael Straczynski . ^{[40] [41]}

• Dígito de control indecimal para ISBN de diez dígitos