Espacio Loeb

En matemáticas, un espacio de Loeb es un tipo de espacio de medida introducido por Loeb ( 1975 ) utilizando análisis no estándar . 

La construcción de Loeb comienza con un mapa finitamente aditivo .${\displaystyle \nu }$de un álgebra interna${\displaystyle {\mathcal {A}}}$de conjuntos a los reales no estándar . Definir${\displaystyle \mu }$ser dado por la parte estándar de${\displaystyle \nu }$, de modo que${\displaystyle \mu }$es una aplicación finitamente aditiva de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$a los reales extendidos${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$. Incluso si${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es un no estándar${\displaystyle \sigma }$-álgebra , el álgebra${\displaystyle {\mathcal {A}}}$no tiene por qué ser una persona común y corriente${\displaystyle \sigma }$-álgebra ya que no suele ser cerrada bajo uniones numerables. En cambio, el álgebra${\displaystyle {\mathcal {A}}}$tiene la propiedad de que si un conjunto en él es la unión de una familia contable de elementos de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, entonces el conjunto es la unión de un número finito de elementos de la familia, por lo que en particular cualquier aplicación finitamente aditiva (como${\displaystyle \mu }$) de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$La suma de los números reales extendidos es automáticamente numerablemente aditiva. Definir${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ser el${\displaystyle \sigma }$-álgebra generada por${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Entonces, por el teorema de extensión de Carathéodory, la medida${\displaystyle \mu }$en${\displaystyle {\mathcal {A}}}$se extiende a una medida aditiva contable en${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, denominada medida Loeb.

• Cutland, Nigel J. (2000), Medidas de Loeb en la práctica: avances recientes , Lecture Notes in Mathematics, vol.  1751, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b76881 , ISBN 978-3-540-41384-4, MR 1810844 
• Goldblatt, Robert (1998), Lectures on the hyperreals , Graduate Texts in Mathematics, vol.  188, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0615-6 , ISBN 978-0-387-98464-3, MR 1643950 
• Loeb, Peter A. (1975). "Conversión de espacios de medida no estándar a estándar y aplicaciones en teoría de la probabilidad" . Transactions of the American Mathematical Society . 211 : 113–22 . doi : 10.2307/1997222 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1997222. MR 0390154 .   

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