Desigualdad del toro de Loewner

En geometría diferencial , la desigualdad del toro de Loewner es una desigualdad debida a Charles Loewner . Relaciona la sístole y el área de una métrica riemanniana arbitraria en el 2-toro .

En 1949, Charles Loewner demostró que cada métrica del toro 2 satisface la desigualdad óptima ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatorname {área} (\mathbb {T} ^{2}),}$

donde "sys" es su sístole , es decir, la longitud mínima de un bucle no contráctil. La constante que aparece en el lado derecho es la constante de Hermite en dimensión 2, de modo que la desigualdad del toro de Loewner puede reescribirse como $Estilo de visualización: gamma_2$

${\displaystyle \operatorname {sys} ^{2}\leq \gamma _{2}\;\operatorname {área} (\mathbb {T} ^{2}).}$

La desigualdad fue mencionada por primera vez en la literatura en Pu (1952).

El caso límite de igualdad se alcanza si y sólo si la métrica es plana y homotética al llamado toro equilátero , es decir, toro cuyo grupo de transformaciones de cubierta es precisamente la red hexagonal abarcada por las raíces cúbicas de la unidad en . ${\displaystyle \mathbb {C}}$

Dada una métrica doblemente periódica en (por ejemplo, una incrustación en la que es invariante por una acción isométrica), hay un elemento distinto de cero y un punto tal que , donde es un dominio fundamental para la acción, mientras que es la distancia de Riemann, es decir, la longitud mínima de un camino que une y . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle g\in \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{2}}$${\textstyle \operatorname {dist} (p,g.p)^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatorname {area} (F)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \operatorname {dist} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle g.p}$

La desigualdad del toro de Loewner se puede demostrar más fácilmente utilizando la fórmula computacional para la varianza,

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}=\mathrm {var} (X).}$

Es decir, la fórmula se aplica a la medida de probabilidad definida por la medida del toro plano de área unitaria en la clase conforme del toro dado. Para la variable aleatoria X , se toma el factor conforme de la métrica dada con respecto a la plana. Entonces, el valor esperado E( X  ² ) de X  ² expresa el área total de la métrica dada. Mientras tanto, el valor esperado E( X ) de X se puede relacionar con la sístole utilizando el teorema de Fubini . La varianza de X puede entonces considerarse como el defecto isosistólico, análogo al defecto isoperimétrico de la desigualdad de Bonnesen . Por lo tanto, este enfoque produce la siguiente versión de la desigualdad del toro de Loewner con defecto isosistólico:

${\displaystyle \mathrm {area} -{\frac {\sqrt {3}}{2}}(\mathrm {sys} )^{2}\geq \mathrm {var} (f),}$

donde ƒ es el factor conforme de la métrica con respecto a una métrica plana de área unitaria en su clase conforme.

Sea o no la desigualdad

${\displaystyle (\mathrm {sys} )^{2}\leq \gamma _{2}\,\mathrm {area} }$

Se cumple con todas las superficies de característica de Euler no positiva , desconocida. Para superficies orientables de género 2 y género 20 y superiores, la respuesta es afirmativa, véase el trabajo de Katz y Sabourau a continuación.

• Desigualdad de Pu para el plano proyectivo real
• Desigualdad sistólica de Gromov para variedades esenciales
• Desigualdad de Gromov para el espacio proyectivo complejo
• Número entero de Eisenstein (un ejemplo de red hexagonal)
• Sístoles de superficies

• Horowitz, Charles; Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2009). "Desigualdad del toro de Loewner con defecto isosistólico". Revista de análisis geométrico . 19 (4): 796–808. arXiv : 0803.0690 . doi :10.1007/s12220-009-9090-y. MR  2538936. S2CID  18444111.
• Katz, Mikhail G. (2007). Geometría y topología sistólicas . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 137. Con un apéndice de J. Solomon. Providence, RI: American Mathematical Society . doi :10.1090/surv/137. ISBN . 978-0-8218-4177-8.Señor 2292367  .
• Katz, Mikhail G.; Sabourau, Stéphane (2005). "Entropía de superficies sistólicamente extremas y límites asintóticos". Teoría ergódica Dynam. Systems . 25 (4): 1209–1220. arXiv : math.DG/0410312 . doi :10.1017/S0143385704001014. MR  2158402. S2CID  11631690.
• Katz, Mikhail G.; Sabourau, Stéphane (2006). "Las superficies hiperelípticas son de Loewner". Proc. Amer. Math. Soc. 134 (4): 1189–1195. arXiv : math.DG/0407009 . doi :10.1090/S0002-9939-05-08057-3. MR  2196056. S2CID  15437153.
• Pu, Pao Ming (1952). "Algunas desigualdades en ciertas variedades de Riemann no orientables". Pacific J. Math. 2 (1): 55–71. doi : 10.2140/pjm.1952.2.55 . MR  0048886.