Orientabilidad

La mayoría de las superficies que se encuentran en el mundo físico son orientables. Las esferas , los planos y los toros son orientables, por ejemplo. Pero las cintas de Möbius , los planos proyectivos reales y las botellas de Klein no son orientables. Ellos, como se visualiza en${\displaystyle 3}$-dimensiones, todas tienen solo un lado. El plano proyectivo real y la botella de Klein no se pueden incrustar en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, solo inmerso con bonitas intersecciones.

Cabe señalar que, localmente, una superficie incrustada siempre tiene dos lados, por lo que una hormiga miope que se arrastrara sobre una superficie de un solo lado pensaría que existe un "otro lado". La esencia de la unidireccionalidad reside en que la hormiga puede desplazarse de un lado de la superficie al "otro" sin atravesarla ni sortear ningún borde, simplemente avanzando lo suficiente.

En general, la propiedad de ser orientable no es equivalente a ser de dos lados; sin embargo, esto se cumple cuando el espacio ambiente (como${\displaystyle R^{3}}$ arriba) es orientable. Por ejemplo, un toro incrustado en

${\displaystyle K^{2}\times S^{1}}$

puede ser de una sola cara, y una botella de Klein en el mismo espacio puede ser de dos caras; aquí${\displaystyle K^{2}}$Se refiere a la botella de Klein.

Toda superficie posee una triangulación : una descomposición en triángulos tal que cada arista se une a, como máximo, otra arista. Cada triángulo se orienta eligiendo una dirección alrededor de su perímetro y asociando una dirección a cada arista. Si esto se realiza de tal forma que, al unir las aristas, las adyacentes apunten en direcciones opuestas, se determina la orientación de la superficie. Esta elección solo es posible si la superficie es orientable, y en ese caso existen exactamente dos orientaciones diferentes.

Si la figura se puede posicionar de manera consistente en todos los puntos de la superficie sin convertirse en su imagen especular, entonces esto inducirá una orientación en el sentido anterior en cada uno de los triángulos de la triangulación al seleccionar la dirección de cada uno de los triángulos en función del orden rojo-verde-azul de los colores de cualquiera de las figuras en el interior del triángulo.

Este enfoque se generaliza a cualquier${\displaystyle n}$-variedad que tiene una triangulación. Sin embargo, algunas 4-variedades no tienen una triangulación, y en general para${\displaystyle n>4}$ alguno${\displaystyle n}$-Las variedades tienen triangulaciones que no son equivalentes.

Si${\displaystyle H_{1}(S)}$denota el primer grupo de homología de una superficie cerrada${\displaystyle S}$, entonces${\displaystyle S}$es orientable si y solo si${\displaystyle H_{1}(S)}$tiene un subgrupo de torsión trivial . Más precisamente, si${\displaystyle S}$entonces es orientable${\displaystyle H_{1}(S)}$es un grupo abeliano libre , y si no lo es, entonces${\displaystyle H_{1}(S)=F+\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$dónde${\displaystyle F}$es libre abeliano, y el${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$El factor se genera mediante la curva central en una banda de Möbius incrustada en${\displaystyle S}$.

Las definiciones más intuitivas requieren que${\displaystyle M}$ser una variedad diferenciable. Esto significa que las funciones de transición en el atlas de${\displaystyle M}$son${\displaystyle C^{1}}$-funciones. Dicha función admite un determinante jacobiano . Cuando el determinante jacobiano es positivo, se dice que la función de transición preserva la orientación . Un atlas orientado en${\displaystyle M}$es un atlas para el cual todas las funciones de transición preservan la orientación. ${\displaystyle M}$es orientable si admite un atlas orientado. Cuando${\displaystyle n>0}$, una orientación de${\displaystyle M}$es un atlas orientado al máximo. (Cuando${\displaystyle n=0}$, es decir${\displaystyle M}$es un punto, una orientación de${\displaystyle M}$es una función${\displaystyle M\to \{\pm 1\}}$.)

La orientabilidad y las orientaciones también pueden expresarse en términos del fibrado tangente. El fibrado tangente es un fibrado vectorial , por lo que es un fibrado con grupo de estructura${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$. Es decir, las funciones de transición de la variedad inducen funciones de transición en el fibrado tangente que son transformaciones lineales fibradas. Si el grupo de estructura se puede reducir al grupo${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$de matrices de determinante positivo, o equivalentemente si existe un atlas cuyas funciones de transición determinan una transformación lineal que preserva la orientación en cada espacio tangente, entonces la variedad${\displaystyle M}$es orientable. Por el contrario,${\displaystyle M}$es orientable si y solo si el grupo de estructuras del fibrado tangente puede reducirse de esta manera. Se pueden hacer observaciones similares para el fibrado de marcos.

Otra forma de definir orientaciones en una variedad diferenciable es mediante formas de volumen . Una forma de volumen es una sección que no se anula en ningún punto.${\displaystyle \omega }$de${\displaystyle {\bigwedge }^{\!n}T^{*}M}$, la potencia exterior superior del haz cotangente de${\displaystyle M}$. Por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$tiene una forma de volumen estándar dada por${\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$. Dado un formulario de volumen en${\displaystyle M}$, la colección de todos los gráficos${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$para el cual la forma de volumen estándar retrocede a un múltiplo positivo de${\displaystyle \omega }$es un atlas orientado. Por lo tanto, la existencia de una forma volumétrica es equivalente a la orientabilidad de la variedad.

Las formas de volumen y los vectores tangentes se pueden combinar para dar otra descripción de la orientabilidad. Si${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$es una base de vectores tangentes en un punto${\displaystyle p}$, entonces se dice que la base es diestra si${\displaystyle \omega (X_{1},\ldots ,X_{n})>0}$Una función de transición conserva la orientación si y solo si envía bases dextrógiras a bases dextrógiras. La existencia de una forma de volumen implica una reducción del grupo de estructura del fibrado tangente o del fibrado de marcos a${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$. Como antes, esto implica la orientabilidad de${\displaystyle M}$. Por el contrario, si${\displaystyle M}$Si es orientable, entonces las formas de volumen locales se pueden unir para crear una forma de volumen global, siendo la orientabilidad necesaria para garantizar que la forma global no desaparezca en ningún lugar.

En el centro de todas las definiciones anteriores de orientabilidad de una variedad diferenciable se encuentra la noción de una función de transición que preserva la orientación. Esto plantea la cuestión de qué es exactamente lo que preservan dichas funciones de transición. No pueden preservar una orientación de la variedad, ya que una orientación de la variedad es un atlas, y no tiene sentido decir que una función de transición preserva o no preserva un atlas del que forma parte.

Esta cuestión puede resolverse definiendo orientaciones locales. En una variedad unidimensional, una orientación local alrededor de un punto${\displaystyle p}$corresponde a una elección de izquierda y derecha cerca de ese punto. En una variedad bidimensional, corresponde a una elección en sentido horario y antihorario. Estas dos situaciones comparten la característica común de que se describen en términos de comportamiento de dimensión superior cerca de${\displaystyle p}$pero no en${\displaystyle p}$. Para el caso general, sea${\displaystyle M}$ser topológico${\displaystyle n}$-variedad. Una orientación local de${\displaystyle M}$alrededor de un punto${\displaystyle p}$es una opción del generador del grupo

${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right).}$

Para ver el significado geométrico de este grupo, elija un gráfico alrededor${\displaystyle p}$. En ese gráfico hay un vecindario de${\displaystyle p}$que es una pelota abierta${\displaystyle B}$alrededor del origen${\displaystyle O}$. Por el teorema de escisión ,${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$es isomorfo a${\displaystyle H_{n}\left(B,B\setminus \{O\};\mathbb {Z} \right)}$La pelota${\displaystyle B}$es contraíble, por lo que sus grupos de homología se desvanecen excepto en grado cero, y el espacio${\displaystyle B\setminus O}$es un${\displaystyle (n-1)}$-esfera, por lo que sus grupos de homología desaparecen excepto en grados${\displaystyle n-1}$y${\displaystyle 0}$. Un cálculo con la secuencia exacta larga en homología relativa muestra que el grupo de homología anterior es isomorfo a${\displaystyle H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbb {Z} \right)\cong \mathbb {Z} }$Por lo tanto, la elección de un generador corresponde a la decisión de si, en el gráfico dado, una esfera alrededor${\displaystyle p}$es positivo o negativo. Un reflejo de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$a través del origen actúa por negación en${\displaystyle H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbb {Z} \right)}$, por lo tanto, el significado geométrico de la elección del generador es que distingue los gráficos de sus reflejos.

En una variedad topológica, una función de transición preserva la orientación si, en cada punto${\displaystyle p}$en su dominio, fija los generadores de${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$. A partir de aquí, las definiciones relevantes son las mismas que en el caso diferenciable. Un atlas orientado es aquel para el cual todas las funciones de transición preservan la orientación,${\displaystyle M}$es orientable si admite un atlas orientado, y cuando${\displaystyle n>0}$, una orientación de${\displaystyle M}$es un atlas orientado al máximo.

Intuitivamente, una orientación de${\displaystyle M}$debería definir una orientación local única de${\displaystyle M}$en cada punto. Esto se precisa al observar que cualquier gráfico en el atlas orientado alrededor${\displaystyle p}$se puede utilizar para determinar una esfera alrededor${\displaystyle p}$y esta esfera determina un generador de${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$Además, cualquier otro gráfico alrededor${\displaystyle p}$está relacionado con el primer gráfico mediante una función de transición que preserva la orientación, y esto implica que los dos gráficos producen el mismo generador, por lo que el generador es único.

También son posibles las definiciones puramente homológicas. Suponiendo que${\displaystyle M}$está cerrado y conectado,${\displaystyle M}$es orientable si y solo si el${\displaystyle n}$grupo de homología th${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$es isomorfo a los enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Una orientación de${\displaystyle M}$es una elección de generador${\displaystyle \alpha }$de este grupo. Este generador determina un atlas orientado fijando un generador del grupo cíclico infinito.${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$y tomando como gráficos orientados aquellos para los cuales${\displaystyle \alpha }$empuja hacia adelante hacia el generador fijo. Por el contrario, un atlas orientado determina dicho generador ya que las orientaciones locales compatibles se pueden pegar para dar un generador para el grupo de homología.${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$. ^{[ 4 ]}

Un colector${\displaystyle M}$es orientable si y solo si la primera clase de Stiefel-Whitney${\displaystyle w_{1}(M)\in H^{1}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$desaparece. En particular, si el primer grupo de cohomología con${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$Si los coeficientes son cero, entonces la variedad es orientable. Además, si${\displaystyle M}$es orientable y${\displaystyle w_{1}}$desaparece, entonces${\displaystyle H^{0}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$parametriza las elecciones de orientaciones. ^{[ 5 ]} Esta caracterización de la orientabilidad se extiende a la orientabilidad de haces vectoriales generales sobre${\displaystyle M}$, no solo el fibrado tangente.

Alrededor de cada punto de${\displaystyle M}$Hay dos orientaciones locales. Intuitivamente, hay una manera de pasar de una orientación local en un punto.${\displaystyle p}$a una orientación local en un punto cercano${\displaystyle p^{\prime }}$Cuando los dos puntos se encuentran en el mismo diagrama de coordenadas.${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$, ese diagrama de coordenadas define orientaciones locales compatibles en${\displaystyle p}$y${\displaystyle p^{\prime }}$Por lo tanto, al conjunto de orientaciones locales se le puede dar una topología, y esta topología lo convierte en una variedad.

Más precisamente, dejemos${\displaystyle O}$sea ​​el conjunto de todas las orientaciones locales de${\displaystyle M}$Para topologiar${\displaystyle O}$especificaremos una subbase para su topología.${\displaystyle U}$ser un subconjunto abierto de${\displaystyle M}$elegido de tal manera que${\displaystyle H_{n}(M,M\setminus U;\mathbb {Z} )}$es isomorfo a${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Supongamos que${\displaystyle \alpha }$es un generador de este grupo. Para cada${\displaystyle p}$en${\displaystyle U}$, hay una función de avance${\displaystyle H_{n}(M,M\setminus U;\mathbb {Z} )\to H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$. El codominio de este grupo tiene dos generadores, y${\displaystyle \alpha }$mapas a uno de ellos. La topología en${\displaystyle O}$se define de manera que

${\displaystyle \{{\text{Image of }}\alpha {\text{ in }}H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)\colon p\in U\}}$

está abierto.

Existe un mapa canónico${\displaystyle \pi :O\to M}$que envía una orientación local en${\displaystyle p}$a${\displaystyle p}$. Está claro que cada punto de${\displaystyle M}$tiene precisamente dos preimágenes bajo${\displaystyle \pi }$. De hecho,${\displaystyle \pi }$es incluso un homeomorfismo local, porque las preimágenes de los conjuntos abiertos${\displaystyle U}$Los mencionados anteriormente son homeomorfos a la unión disjunta de dos copias de${\displaystyle U}$. Si${\displaystyle M}$es orientable, entonces${\displaystyle M}$En sí mismo es uno de estos conjuntos abiertos, por lo que${\displaystyle O}$es la unión disjunta de dos copias de${\displaystyle M}$. Si${\displaystyle M}$no es orientable, sin embargo, entonces${\displaystyle O}$está conectado y orientable. El colector${\displaystyle O}$se denomina cubierta doble de orientación .

Si${\displaystyle M}$es una variedad con frontera, entonces una orientación de${\displaystyle M}$se define como una orientación de su interior. Dicha orientación induce una orientación de${\displaystyle \partial M}$. De hecho, supongamos que una orientación de${\displaystyle M}$está fijo. Deje${\displaystyle U\to \mathbb {R} _{+}^{n}}$ser un gráfico en un punto límite de${\displaystyle M}$que, cuando se restringe al interior de${\displaystyle M}$, está en el atlas orientado elegido. La restricción de este gráfico a${\displaystyle \partial M}$es un gráfico de${\displaystyle \partial M}$. Dichos gráficos forman un atlas orientado para${\displaystyle \partial M}$.

Cuando${\displaystyle M}$es suave, en cada punto${\displaystyle p}$de${\displaystyle \partial M}$, la restricción del fibrado tangente de${\displaystyle M}$a${\displaystyle \partial M}$es isomorfo a${\displaystyle T_{p}\partial M\oplus \mathbb {R} }$, donde el factor de${\displaystyle \mathbb {R} }$se describe mediante el vector normal que apunta hacia adentro. La orientación de${\displaystyle T_{p}\partial M}$se define por la condición de que una base de${\displaystyle T_{p}\partial M}$está orientado positivamente si y solo si, cuando se combina con el vector normal que apunta hacia adentro, define una base orientada positivamente de${\displaystyle T_{p}M}$.

En la geometría lorentziana , existen dos tipos de orientabilidad: la orientabilidad espacial y la orientabilidad temporal . Estas desempeñan un papel en la estructura causal del espaciotiempo. ^{[ 6 ]} En el contexto de la relatividad general , una variedad espaciotemporal es orientable espacialmente si, cuando dos observadores diestros parten en naves espaciales desde el mismo punto espaciotemporal y se encuentran de nuevo en otro punto, siguen siendo diestros entre sí. Si un espaciotiempo es orientable en el tiempo, los dos observadores siempre coincidirán en la dirección del tiempo en ambos puntos de su encuentro. De hecho, un espaciotiempo es orientable en el tiempo si y solo si dos observadores cualesquiera pueden coincidir en cuál de los dos encuentros precedió al otro. ^{[ 7 ]}

Formalmente, el grupo pseudoortogonal${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$tiene un par de caracteres : el carácter de orientación espacial${\displaystyle \sigma _{+}}$y el carácter de orientación temporal${\displaystyle \sigma _{-}}$,

${\displaystyle \sigma _{\pm }:\operatorname {O} (p,q)\to \{-1,+1\}.}$

Su producto${\displaystyle \sigma =\sigma _{+}\sigma _{-}}$es el determinante, que da el carácter de orientación. Una orientación espacial de una variedad pseudoriemanniana se identifica con una sección del fibrado asociado.

${\displaystyle \operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{+}}\{-1,+1\}}$

dónde${\displaystyle \operatorname {O} (M)}$es el haz de marcos pseudoortogonales. De manera similar, una orientación temporal es una sección del haz asociado.

${\displaystyle \operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{-}}\{-1,+1\}.}$