ecuación diferencial de Loewner

En matemáticas , la ecuación diferencial de Loewner , o ecuación de Loewner , es una ecuación diferencial ordinaria descubierta por Charles Loewner en 1923 en el análisis complejo y la teoría de funciones geométricas . Introducida originalmente para el estudio de mapeos de hendidura ( mapas conformes del disco abierto sobre el plano complejo con una curva que une 0 a ∞ eliminada), el método de Loewner fue desarrollado posteriormente en 1943 por el matemático ruso Pavel Parfenevich Kufarev (1909-1968). Cualquier familia de dominios en el plano complejo que se expanda continuamente en el sentido de Carathéodory a todo el plano conduce a una familia de un parámetro de mapeos conformes, llamada cadena de Loewner , así como a una familia de dos parámetros de automapas univalentes holomorfos del disco unitario , llamada semigrupo de Loewner . Este semigrupo corresponde a un campo vectorial holomorfo dependiente del tiempo en el disco dado por una familia de un parámetro de funciones holomorfas en el disco con parte real positiva. El semigrupo de Loewner generaliza la noción de semigrupo univalente .

La ecuación diferencial de Loewner ha dado lugar a desigualdades para funciones univalentes que desempeñaron un papel importante en la solución de la conjetura de Bieberbach por Louis de Branges en 1985. El propio Loewner utilizó sus técnicas en 1923 para demostrar la conjetura del tercer coeficiente. La ecuación de Schramm-Loewner , una generalización estocástica de la ecuación diferencial de Loewner descubierta por Oded Schramm a finales de la década de 1990, ha sido ampliamente desarrollada en la teoría de la probabilidad y la teoría de campos conformes .

Dejar${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$sean funciones holomorfas univalentes en el disco unitario${\displaystyle D}$,${\displaystyle |z|<1}$, con${\displaystyle f(0)=0=g(0)}$.

${\displaystyle f}$Se dice que está subordinado a${\displaystyle g}$si y solo si existe una asignación univalente${\displaystyle \varphi }$de${\displaystyle D}$en sí mismo fijando${\displaystyle 0}$de tal manera que

${\displaystyle \displaystyle {f(z)=g(\varphi (z))}}$

para${\displaystyle |z|<1}$.

Una condición necesaria y suficiente para la existencia de tal mapeo${\displaystyle \varphi }$es que

${\displaystyle f(D)\subsetequ g(D).}$

La necesidad es inmediata.

En cambio${\displaystyle \varphi }$debe ser definido por

${\displaystyle \displaystyle {\varphi (z)=g^{-1}(f(z)).}}$

Por definición, φ es un automapa holomorfo univalente de${\displaystyle D}$con${\displaystyle \varphi (0)=0}$.

Dado que tal mapa satisface${\displaystyle 0<|\varphi '(0)|\leq 1}$y toma cada disco${\displaystyle D_{r}}$,${\displaystyle |z|<r}$con${\displaystyle 0<r<1}$, en sí mismo, se deduce que

${\displaystyle \displaystyle {|f^{\prime }(0)|\leq |g^{\prime }(0)|}}$

y

${\displaystyle \displaystyle {f(D_{r})\subseteq g(D_{r}).}}$

Para${\displaystyle 0\leq t\leq \infty }$dejar${\displaystyle U(t)}$ser una familia de subconjuntos abiertos, conexos y simplemente conexos de${\displaystyle \mathbb {C} }$que contiene${\displaystyle 0}$, de tal manera que

${\displaystyle U(s)\subsetneq U(t)}$

si${\displaystyle s<t}$,

${\displaystyle U(t)=\bigcup _{s<t}U(s)}$

y

${\displaystyle U(\infty )=\mathbb {C} .}$

Por lo tanto, si${\displaystyle s_{n}\uparrow t}$,

${\displaystyle U(s_{n})\rightarrow U(t)}$

en el sentido del teorema del núcleo de Carathéodory .

Si${\displaystyle D}$denota el disco de la unidad en${\displaystyle \mathbb {C} }$, este teorema implica que los mapas univalentes únicos${\displaystyle f_{t}(z)}$

${\displaystyle f_{t}(D)=U(t),\,\,\,f_{t}(0)=0,\,\,\,\partial _{z}f_{t}(0)=1}$

dadas por el teorema de mapeo de Riemann son uniformemente continuas en subconjuntos compactos de${\displaystyle [0,\infty )\times D}$.

Además, la función${\displaystyle a(t)=f_{t}^{\prime }(0)}$es positivo, estrictamente creciente y continuo.

Mediante una reparametrización se puede suponer que

${\displaystyle f_{t}^{\prime }(0)=e^{t}.}$

Por eso

${\displaystyle f_{t}(z)=e^{t}z+a_{2}(t)z^{2}+\cdots }$

Los mapeos univalentes${\displaystyle f_{t}(z)}$se denominan cadena Loewner .

El teorema de distorsión de Koebe muestra que el conocimiento de la cadena es equivalente a las propiedades de los conjuntos abiertos.${\displaystyle U(t)}$.

Si${\displaystyle f_{t}(z)}$es una cadena Loewner, entonces

${\displaystyle \displaystyle {f_{s}(D)\subsetneq f_{t}(D)}}$

para${\displaystyle s<t}$de modo que exista un mapeo univalente único del disco.${\displaystyle \varphi _{s,t}(z)}$fijación${\displaystyle 0}$de tal manera que

${\displaystyle \displaystyle {f_{s}(z)=f_{t}(\varphi _{s,t}(z)).}}$

Por singularidad los mapeos${\displaystyle \varphi _{s,t}}$tienen la siguiente propiedad de semigrupo:

${\displaystyle \displaystyle {\varphi _{t,r}\circ \varphi _{s,t}=\varphi _{s,r}}}$

para${\displaystyle s\leq t\leq r}$.

Constituyen un semigrupo de Loewner .

Los automapeos dependen continuamente de${\displaystyle s}$y${\displaystyle t}$y satisfacer

${\displaystyle \displaystyle {\varphi _{t,t}(z)=z.}}$

La ecuación diferencial de Loewner se puede derivar tanto para el semigrupo de Loewner como, equivalentemente, para la cadena de Loewner.

Para el semigrupo, sea

${\displaystyle \displaystyle {w_{s}(z)=\partial _{t}\varphi _{s,t}(z)|_{t=s}}}$

entonces

${\displaystyle \displaystyle {w_{s}(z)=-zp_{s}(z)}}$

con

${\displaystyle \displaystyle {\Re \,p_{s}(z)>0}}$

para${\displaystyle |z|<1}$.

Entonces${\displaystyle w(t)=\varphi _{s,t}(z)}$satisface la ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle \displaystyle {{dw \over dt}=-wp_{t}(w)}}$

con condición inicial${\displaystyle w(s)=z}$.

Para obtener la ecuación diferencial que satisface la cadena de Loewner${\displaystyle f_{t}(z)}$tenga en cuenta que

${\displaystyle \displaystyle {f_{t}(z)=f_{s}(\varphi _{s,t}(z))}}$

de modo que${\displaystyle f_{t}(z)}$satisface la ecuación diferencial

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{t}f_{t}(z)=zp_{t}(z)\partial _{z}f_{t}(z)}}$

con condición inicial

${\displaystyle \displaystyle {f_{t}(z)|_{t=0}=f_{0}(z).}}$

El teorema de Picard-Lindelöf para ecuaciones diferenciales ordinarias garantiza que estas ecuaciones pueden resolverse y que las soluciones son holomorfas en${\displaystyle z}$.

La cadena de Loewner se puede recuperar a partir del semigrupo de Loewner pasando al límite:

${\displaystyle \displaystyle {f_{s}(z)=\lim _{t\rightarrow \infty }e^{t}\phi _{s,t}(z).}}$

Finalmente, dado cualquier automapeo univalente${\displaystyle \psi (z)}$de${\displaystyle D}$, arreglando${\displaystyle 0}$Es posible construir un semigrupo de Loewner. ${\displaystyle \varphi _{s,t}(z)}$de tal manera que

${\displaystyle \displaystyle {\varphi _{0,1}(z)=\psi (z).}}$

De manera similar, dada una función univalente${\displaystyle g}$en${\displaystyle D}$con${\displaystyle g(0)=0}$, de tal manera que${\displaystyle g(D)}$contiene el disco de unidad cerrada, hay una cadena de Loewner${\displaystyle f_{t}(z)}$de tal manera que

${\displaystyle \displaystyle {f_{0}(z)=z,\,\,\,f_{1}(z)=g(z).}}$

Los resultados de este tipo son inmediatos si${\displaystyle \psi }$o${\displaystyle g}$extenderse continuamente a${\displaystyle \partial D}$. En general, siguen reemplazando las asignaciones${\displaystyle f(z)}$mediante aproximaciones ${\displaystyle f(rz)/r}$y luego utilizando un argumento de compacidad estándar. ^{[ 1 ]}

Funciones holomorfas${\displaystyle p(z)}$en${\displaystyle D}$con parte real positiva y normalizada de modo que${\displaystyle p(0)=1}$se describen mediante el teorema de representación de Herglotz :

${\displaystyle \displaystyle {p(z)=\int _{0}^{2\pi }{1+e^{-i\theta }z \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\mu (\theta ),}}$

dónde${\displaystyle \mu }$es una medida de probabilidad en el círculo. Tomar una medida de punto selecciona funciones

${\displaystyle \displaystyle {p_{t}(z)={1+\kappa (t)z \over 1-\kappa (t)z}}}$

con${\displaystyle |\kappa (t)|=1}$, que fueron los primeros en ser considerados por Loewner (1923) .

Las desigualdades para funciones univalentes en el disco unitario se pueden demostrar utilizando la densidad para la convergencia uniforme en subconjuntos compactos de aplicaciones de hendidura . Estas son aplicaciones conformes del disco unitario sobre el plano complejo con un arco de Jordan que conecta un punto finito con ∞ omitido. La densidad se obtiene aplicando el teorema del núcleo de Carathéodory . De hecho, cualquier función univalente${\displaystyle f(z)}$se aproxima mediante funciones

${\displaystyle \displaystyle {g(z)=f(rz)/r}}$

que transforman el círculo unitario en una curva analítica. Un punto de esa curva puede conectarse al infinito mediante un arco de Jordan. Las regiones obtenidas al omitir un pequeño segmento de la curva analítica a un lado del punto elegido convergen a${\displaystyle g(D)}$por lo que los mapas univalentes correspondientes de${\displaystyle D}$sobre estas regiones convergen a${\displaystyle g}$uniformemente en conjuntos compactos. ^{[ 2 ]}

Para aplicar la ecuación diferencial de Loewner a una función de ranura${\displaystyle f}$, el arco de Jordan omitido${\displaystyle c(t)}$desde un punto finito hasta${\displaystyle \infty }$puede ser parametrizado por${\displaystyle [0,\infty )}$para que el mapa univalente${\displaystyle f_{t}}$de${\displaystyle D}$sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$menos ${\displaystyle c([t,\infty ))}$tiene la forma

${\displaystyle \displaystyle {f_{t}(z)=e^{t}(z+b_{2}(t)z^{2}+b_{3}(t)z^{3}+\cdots )}}$

con${\displaystyle b_{n}}$continuo. En particular

${\displaystyle \displaystyle {f_{0}(z)=f(z).}}$

Para${\displaystyle s\leq t}$, dejar

${\displaystyle \displaystyle {\varphi _{s,t}(z)=f_{t}^{-1}\circ f_{s}(z)=e^{s-t}(z+a_{2}(s,t)z^{2}+a_{3}(s,t)z^{3}+\cdots )}}$

con${\displaystyle a_{n}}$continuo.

Esto da como resultado una cadena de Loewner y un semigrupo de Loewner con

${\displaystyle \displaystyle {p_{t}(z)={1+\kappa (t)z \over 1-\kappa (t)z}}}$

dónde${\displaystyle \kappa }$es un mapa continuo de${\displaystyle [0,\infty )}$al círculo unitario. ^{[ 3 ]}

Para determinar${\displaystyle \kappa }$, tenga en cuenta que${\displaystyle \varphi _{s,t}}$mapea el disco unitario en el disco unitario con un arco de Jordan desde un punto interior hasta el límite eliminado. El punto donde toca el límite es independiente de${\displaystyle s}$y define una función continua${\displaystyle \lambda (t)}$de ${\displaystyle [0,\infty )}$al círculo unitario.${\displaystyle \kappa (t)}$es el conjugado complejo (o inverso) de${\displaystyle \lambda (t)}$:

${\displaystyle \displaystyle {\kappa (t)=\lambda (t)^{-1}.}}$

De forma equivalente, por el teorema de Carathéodory${\displaystyle f_{t}}$admite una extensión continua al disco de la unidad cerrada y ${\displaystyle \lambda (t)}$, a veces llamada función de conducción , se especifica mediante

${\displaystyle \displaystyle {f_{t}(\lambda (t))=c(t).}}$

No todas las funciones continuas${\displaystyle \kappa }$proviene de un mapeo de rendijas, pero Kufarev demostró que esto era cierto cuando${\displaystyle \kappa }$tiene derivada continua.

Loewner (1923) utilizó su ecuación diferencial para mapeos de rendijas para demostrar la conjetura de Bieberbach.

${\displaystyle \displaystyle {|a_{3}|\leq 3}}$

para el tercer coeficiente de una función univalente

${\displaystyle \displaystyle {f(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots }}$

En este caso, rotando si es necesario, se puede suponer que${\displaystyle a_{3}}$es no negativo.

Entonces

${\displaystyle \displaystyle {\varphi _{0,t}(z)=e^{-t}(z+a_{2}(t)z^{2}+a_{3}(t)z^{3}+\cdots )}}$

con${\displaystyle a_{n}}$continuos. Satisfacen

${\displaystyle \displaystyle {a_{n}(0)=0,\,\,a_{n}(\infty )=a_{n}.}}$

Si

${\displaystyle \displaystyle {\alpha (t)=e^{-t}\kappa (t),}}$

La ecuación diferencial de Loewner implica

${\displaystyle \displaystyle {{\dot {a}}_{2}=-2\alpha }}$

y

${\displaystyle \displaystyle {{\dot {a}}_{3}=-2\alpha ^{2}-4\alpha \,a_{2}.}}$

Entonces

${\displaystyle \displaystyle {a_{2}=-2\int _{0}^{\infty }\alpha (t)\,dt}}$

lo que implica inmediatamente la desigualdad de Bieberbach.

${\displaystyle \displaystyle {|a_{2}|\leq 2.}}$

Similarmente

${\displaystyle \displaystyle {a_{3}=-2\int _{0}^{\infty }\alpha (t)^{2}\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }\alpha (t)\,dt\right)^{2}}}$

Desde${\displaystyle a_{3}}$es no negativo y${\displaystyle |\kappa (t)|=1}$,

${\displaystyle \displaystyle {|a_{3}|=2\int _{0}^{\infty }|\Re \alpha (t)^{2}|\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }\Re \alpha (t)\,dt\right)^{2}}\leq 2\int _{0}^{\infty }|\Re \alpha (t)^{2}|\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt\right)\left(\int _{0}^{\infty }e^{t}(\Re \alpha (t))^{2}\,dt\right)=1+4\int _{0}^{\infty }(e^{-t}-e^{-2t})(\Re \kappa (t))^{2}\,dt\leq 3,}$

utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz .

• Energía Loewner

• Duren, PL (1983), Funciones univalentes , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol.  259, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5
• Kufarev, PP ( 1943), "Sobre familias uniparamétricas de funciones analíticas", Mat. Sbornik , 13 : 87–118
• Lawler, GF (2005), Procesos conformemente invariantes en el plano , Mathematical Surveys and Monographs, vol.  114, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3677-3
• Loewner, C. (1923), "Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises, I", Math. Ana. , 89 ( 1– 2): 103– 121, doi : 10.1007/BF01448091
• Pommerenke, C. (1975), Funciones univalentes, con un capítulo sobre diferenciales cuadráticas de Gerd Jensen , Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, vol.  15, Vandenhoeck y Ruprecht