Distribución logarítmica

En probabilidad y estadística , la distribución logarítmica (también conocida como distribución de la serie logarítmica o distribución de la serie logarítmica ) es una distribución de probabilidad discreta derivada del desarrollo en serie de Maclaurin.

${\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}$

De esto obtenemos la identidad

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.}$

Esto conduce directamente a la función de probabilidad de masa de una variable aleatoria con distribución Log( p ) :

${\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}$

para k  ≥  1, y donde 0  < p < 1. Debido a la identidad anterior, la distribución está correctamente normalizada.   

La función de distribución acumulativa es

${\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$

donde B es la función beta incompleta .

Una distribución de Poisson compuesta con variables aleatorias con distribución Log( p ) tiene una distribución binomial negativa . En otras palabras, si N es una variable aleatoria con distribución de Poisson y X _i , i = 1, 2, 3, ... es una secuencia infinita de variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas, cada una con una distribución Log( p ), entonces

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

tiene una distribución binomial negativa. De esta manera, se observa que la distribución binomial negativa es una distribución de Poisson compuesta .

RA Fisher describió la distribución logarítmica en un artículo que la utilizó para modelar la abundancia relativa de especies . ^{[ 1 ]}

• Distribución de Poisson (también derivada de una serie de Maclaurin)

• Johnson, Norman Lloyd; Kemp, Adrienne W .; Kotz, Samuel (2005). «Capítulo 7: Distribuciones logarítmicas y lagrangianas». Distribuciones discretas univariadas (3.ª  ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-27246-5.
• Weisstein, Eric W. "Distribución de series logarítmicas" . MathWorld .