Distribución de Poisson compuesta

En teoría de la probabilidad , una distribución de Poisson compuesta es la distribución de probabilidad de la suma de varias variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas , donde el número de términos a sumar es a su vez una variable con distribución de Poisson . El resultado puede ser una distribución continua o discreta .

Supongamos que

${\displaystyle N\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ),}$

es decir, N es una variable aleatoria cuya distribución es una distribución de Poisson con valor esperado λ, y que

${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$

son variables aleatorias idénticamente distribuidas que son mutuamente independientes y también independientes de N. Entonces, la distribución de probabilidad de la suma de${\displaystyle N}$variables aleatorias i.i.d.

${\displaystyle Y=\sum _{n=1}^{N}X_{n}}$

es una distribución de Poisson compuesta.

En el caso N = 0, entonces se trata de una suma de 0 términos, por lo que el valor de Y es 0. Por lo tanto, la distribución condicional de Y dado que N  =  0 es una distribución degenerada .

La distribución de Poisson compuesta se obtiene marginalizando la distribución conjunta de ( Y , N ) sobre N , y esta distribución conjunta se puede obtener combinando la distribución condicional Y  | N con la distribución marginal de N . 

El valor esperado y la varianza de la distribución compuesta se pueden derivar de forma sencilla a partir de la ley de la esperanza total y la ley de la varianza total . Por lo tanto,

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} \left[\operatorname {E} (Y\mid N)\right]=\operatorname {E} \left[N\operatorname {E} (X)\right]=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (Y)&=\operatorname {E} \left[\operatorname {Var} (Y\mid N)\right]+\operatorname {Var} \left[\operatorname {E} (Y\mid N)\right]=\operatorname {E} \left[N\operatorname {Var} (X)\right]+\operatorname {Var} \left[N\operatorname {E} (X)\right],\\[6pt]&=\operatorname {E} (N)\operatorname {Var} (X)+\left(\operatorname {E} (X)\right)^{2}\operatorname {Var} (N).\end{aligned}}}$

Entonces, dado que E( N )  =  Var( N ) si N tiene una distribución de Poisson, estas fórmulas se pueden reducir a

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X)=\lambda \operatorname {E} (X),}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\operatorname {E} (N)(\operatorname {Var} (X)+(\operatorname {E} (X))^{2})=\operatorname {E} (N){\operatorname {E} (X^{2})}=\lambda {\operatorname {E} (X^{2})}.}$

La distribución de probabilidad de Y se puede determinar en términos de funciones características :

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\operatorname {E} (e^{itY})=\operatorname {E} \left(\left(\operatorname {E} (e^{itX}\mid N)\right)^{N}\right)=\operatorname {E} \left((\varphi _{X}(t))^{N}\right),\,}$

y por lo tanto, utilizando la función generadora de probabilidad de la distribución de Poisson, tenemos

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)={\textrm {e}}^{\lambda (\varphi _{X}(t)-1)}.\,}$

Un enfoque alternativo es mediante funciones generadoras de cumulantes :

${\displaystyle K_{Y}(t)=\ln \operatorname {E} [e^{tY}]=\ln \operatorname {E} [\operatorname {E} [e^{tY}\mid N]]=\ln \operatorname {E} [e^{NK_{X}(t)}]=K_{N}(K_{X}(t)).\,}$

Mediante la ley de la cumulancia total se puede demostrar que, si la media de la distribución de Poisson λ  =  1, los cumulantes de Y son los mismos que los momentos de X ₁ .

Toda distribución de probabilidad infinitamente divisible es un límite de distribuciones de Poisson compuestas. ^{[ 1 ]} Y las distribuciones de Poisson compuestas son infinitamente divisibles por definición.

Cuando${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$son variables aleatorias i.i.d. de valor entero positivo con${\displaystyle P(X_{1}=k)=\alpha _{k},\ (k=1,2,\ldots )}$, entonces esta distribución de Poisson compuesta se denomina distribución de Poisson compuesta discreta ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} (o distribución de Poisson tartamudeante ^{[ 5 ]} ). Decimos que la variable aleatoria discreta${\displaystyle Y}$Caracterización satisfactoria de la función generadora de probabilidad

${\displaystyle P_{Y}(z)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }P(Y=i)z^{i}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)}$

tiene una distribución de Poisson compuesta discreta (DCP) con parámetros${\displaystyle (\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots )\in \mathbb {R} ^{\infty }}$(dónde${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}=1}$, con${\textstyle \alpha _{i}\geq 0,\lambda >0}$), que se denota por

${\displaystyle X\sim {\text{DCP}}(\lambda {\alpha _{1}},\lambda {\alpha _{2}},\ldots )}$

Además, si${\displaystyle X\sim {\operatorname {DCP} }(\lambda {\alpha _{1}},\ldots ,\lambda {\alpha _{r}})}$, decimos${\displaystyle X}$tiene una distribución de Poisson compuesta discreta de orden${\displaystyle r}$. Cuando ${\displaystyle r=1,2}$, DCP se convierte en distribución de Poisson y distribución de Hermite , respectivamente. Cuando ${\displaystyle r=3,4}$La DCP se convierte en una distribución de Poisson con tartamudeo triple y una distribución de Poisson con tartamudeo cuádruple, respectivamente. ^{[ 6 ]} Otros casos especiales incluyen: distribución geométrica desplazada , distribución binomial negativa , distribución de Poisson geométrica , distribución de Neyman tipo A , distribución de Luria-Delbrück en el experimento de Luria-Delbrück . Para más casos especiales de DCP, consulte el artículo de revisión ^{[ 7 ]} y las referencias allí citadas.

La caracterización de Feller de la distribución de Poisson compuesta establece que una variable aleatoria con valor entero no negativo...${\displaystyle X}$es infinitamente divisible si y solo si su distribución es una distribución de Poisson compuesta discreta. ^{[ 8 ]} La distribución binomial negativa es discreta infinitamente divisible , es decir, si X tiene una distribución binomial negativa, entonces para cualquier entero positivo n , existen variables aleatorias i.i.d. discretas X ₁ ,  ..., X _n cuya suma tiene la misma distribución que X. La distribución geométrica desplazada es una distribución de Poisson compuesta discreta ya que es un caso trivial de distribución binomial negativa . 

This distribution can model batch arrivals (such as in a bulk queue^[5][9]). The discrete compound Poisson distribution is also widely used in actuarial science for modelling the distribution of the total claim amount.^[3]

When some ${\displaystyle \alpha _{k}}$ are negative, it is the discrete pseudo compound Poisson distribution.^[3] We define that any discrete random variable ${\displaystyle Y}$ satisfying probability generating function characterization

${\displaystyle G_{Y}(z)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }P(Y=i)z^{i}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)}$

has a discrete pseudo compound Poisson distribution with parameters ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )=:(\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots )\in \mathbb {R} ^{\infty }}$ where ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }{\alpha _{i}}=1}$ and ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }{\left|{\alpha _{i}}\right|}<\infty }$, with ${\displaystyle {\alpha _{i}}\in \mathbb {R} ,\lambda >0}$.

If X has a gamma distribution, of which the exponential distribution is a special case, then the conditional distribution of Y | N is again a gamma distribution. The marginal distribution of Y is a Tweedie distribution with variance power 1 < p < 2 (proof via comparison of characteristic function).^[10] To be more explicit, if

${\displaystyle N\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ),}$

and

${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {\Gamma } (\alpha ,\beta )}$

i.i.d., then the distribution of

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

is a reproductive exponential dispersion model${\displaystyle ED(\mu ,\sigma ^{2})}$ with

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha }{\beta }}=:\mu ,\\[4pt]\operatorname {Var} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha (1+\alpha )}{\beta ^{2}}}=:\sigma ^{2}\mu ^{p}.\end{aligned}}}$

The mapping of parameters Tweedie parameter ${\displaystyle \mu ,\sigma ^{2},p}$ to the Poisson and Gamma parameters ${\displaystyle \lambda ,\alpha ,\beta }$ is the following:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &={\frac {\mu ^{2-p}}{(2-p)\sigma ^{2}}},\\[4pt]\alpha &={\frac {2-p}{p-1}},\\[4pt]\beta &={\frac {\mu ^{1-p}}{(p-1)\sigma ^{2}}}.\end{aligned}}}$

A compound Poisson process with rate ${\displaystyle \lambda >0}$ and jump size distribution G is a continuous-time stochastic process${\displaystyle \{\,Y(t):t\geq 0\,\}}$ given by

${\displaystyle Y(t)=\sum _{i=1}^{N(t)}D_{i},}$

where the sum is by convention equal to zero as long as N(t) = 0. Here, ${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}}$ is a Poisson process with rate ${\displaystyle \lambda }$, and ${\displaystyle \{\,D_{i}:i\geq 1\,\}}$ are independent and identically distributed random variables, with distribution function G, which are also independent of ${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}.\,}$^[11]

For the discrete version of compound Poisson process, it can be used in survival analysis for the frailty models.^[12]

A compound Poisson distribution, in which the summands have an exponential distribution, was used by Revfeim to model the distribution of the total rainfall in a day, where each day contains a Poisson-distributed number of events each of which provides an amount of rainfall which has an exponential distribution.^[13] Thompson applied the same model to monthly total rainfalls.^[14]

Se han dado aplicaciones a reclamaciones de seguros ^{[ 15 ] [ 16 ]} y a tomografía computarizada de rayos X. ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}