prueba de Logrank

La prueba de log-rank , o prueba de rangos logarítmicos , es una prueba de hipótesis para comparar las distribuciones de supervivencia de dos muestras. Es una prueba no paramétrica y resulta apropiada cuando los datos presentan asimetría positiva y censura (técnicamente, la censura debe ser no informativa). Se utiliza ampliamente en ensayos clínicos para establecer la eficacia de un nuevo tratamiento en comparación con un tratamiento de control cuando la medición es el tiempo hasta el evento (como el tiempo transcurrido desde el tratamiento inicial hasta un infarto). A veces, esta prueba se denomina prueba de Mantel-Cox . La prueba de log-rank también puede considerarse una prueba de Cochran-Mantel-Haenszel estratificada por tiempo .

La prueba fue propuesta por primera vez por Nathan Mantel y Richard y Julian Peto la denominaron prueba de log-rank . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

La estadística de prueba de log-rank compara las estimaciones de las funciones de riesgo de los dos grupos en cada momento de observación del evento. Se construye calculando el número de eventos observados y esperados en uno de los grupos en cada momento de observación del evento y luego sumándolos para obtener un resumen general de todos los puntos temporales en los que se produce un evento.

Consideremos dos grupos de pacientes, por ejemplo, tratamiento versus control.${\displaystyle 1,\ldots ,J}$sean los distintos momentos de los eventos observados en cada grupo.${\displaystyle N_{1,j}}$y${\displaystyle N_{2,j}}$sea ​​el número de sujetos "en riesgo" (que aún no han tenido un evento o han sido censurados) al comienzo del período${\displaystyle j}$en los grupos, respectivamente. Sea${\displaystyle O_{1,j}}$y${\displaystyle O_{2,j}}$sea ​​el número observado de eventos en los grupos en el tiempo${\displaystyle j}$. Finalmente, defina${\displaystyle N_{j}=N_{1,j}+N_{2,j}}$y${\displaystyle O_{j}=O_{1,j}+O_{2,j}}$.

La hipótesis nula es que los dos grupos tienen funciones de riesgo idénticas,${\displaystyle H_{0}:h_{1}(t)=h_{2}(t)}$Por lo tanto, bajo${\displaystyle H_{0}}$, para cada grupo${\displaystyle i=1,2}$,${\displaystyle O_{i,j}}$sigue una distribución hipergeométrica con parámetros${\displaystyle N_{j}}$,${\displaystyle N_{i,j}}$,${\displaystyle O_{j}}$Esta distribución tiene un valor esperado${\displaystyle E_{i,j}=O_{j}{\frac {N_{i,j}}{N_{j}}}}$y varianza${\displaystyle V_{i,j}=E_{i,j}\left({\frac {N_{j}-O_{j}}{N_{j}}}\right)\left({\frac {N_{j}-N_{i,j}}{N_{j}-1}}\right)}$.

A pesar de${\displaystyle j=1,\ldots ,J}$, la estadística logrank compara${\displaystyle O_{i,j}}$a su expectativa${\displaystyle E_{i,j}}$bajo${\displaystyle H_{0}}$Se define como

${\displaystyle Z_{i}={\frac {\sum _{j=1}^{J}(O_{i,j}-E_{i,j})}{\sqrt {\sum _{j=1}^{J}V_{i,j}}}}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}(0,1)}$    (para${\displaystyle i=1}$o${\displaystyle 2}$)

Es fácil ver que para todos${\displaystyle j}$,${\displaystyle O_{2,j}-E_{2,j}=-(O_{1,j}-E_{1,j})}$y${\displaystyle V_{2,j}=V_{1,j}}$, entonces${\displaystyle Z_{2}=-Z_{1}}$.

Por el teorema del límite central , la distribución de cada${\displaystyle Z_{i}}$converge a la de una distribución normal estándar a medida que${\displaystyle J}$se aproxima al infinito y, por lo tanto, puede aproximarse mediante la distribución normal estándar para un valor suficientemente grande.${\displaystyle J}$Se puede obtener una aproximación mejorada igualando esta cantidad a distribuciones de Pearson de tipo I o II (beta) con los cuatro primeros momentos coincidentes, como se describe en el Apéndice B del artículo de Peto y Peto. ^{[ 2 ]}

Si los dos grupos tienen la misma función de supervivencia, la estadística log-rank es aproximadamente normal estándar. Un nivel unilateral${\displaystyle \alpha }$La prueba rechazará la hipótesis nula si${\displaystyle Z>z_{\alpha }}$dónde${\displaystyle z_{\alpha }}$es la parte superior${\displaystyle \alpha }$cuantil de la distribución normal estándar. Si la razón de riesgo es${\displaystyle \lambda }$, hay${\displaystyle n}$sujetos totales,${\displaystyle d}$es la probabilidad de que un sujeto en cualquiera de los grupos eventualmente tenga un evento (de modo que${\displaystyle nd}$es el número esperado de eventos en el momento del análisis), y la proporción de sujetos asignados aleatoriamente a cada grupo es del 50%, entonces la estadística log-rank es aproximadamente normal con media${\displaystyle (\log {\lambda })\,{\sqrt {\frac {n\,d}{4}}}}$y varianza 1. ^{[ 4 ]} Para un nivel unilateral${\displaystyle \alpha }$prueba con potencia${\displaystyle 1-\beta }$, el tamaño de muestra requerido es ${\displaystyle n={\frac {4\,(z_{\alpha }+z_{\beta })^{2}}{d\log ^{2}{\lambda }}}}$ dónde${\displaystyle z_{\alpha }}$y${\displaystyle z_{\beta }}$son los cuantiles de la distribución normal estándar.

Suponer${\displaystyle Z_{1}}$y${\displaystyle Z_{2}}$son las estadísticas de logrank en dos momentos diferentes en el mismo estudio (${\displaystyle Z_{1}}$(anteriormente). Nuevamente, supongamos que las funciones de riesgo en los dos grupos son proporcionales con la razón de riesgo.${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle d_{1}}$y${\displaystyle d_{2}}$son las probabilidades de que un sujeto tenga un evento en los dos momentos en que${\displaystyle d_{1}\leq d_{2}}$. ${\displaystyle Z_{1}}$y${\displaystyle Z_{2}}$son aproximadamente normales bivariadas con medias${\displaystyle \log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{1}}{4}}}}$y${\displaystyle \log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{2}}{4}}}}$ y correlación${\displaystyle {\sqrt {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}}$Los cálculos que involucran la distribución conjunta son necesarios para mantener correctamente la tasa de error cuando los datos son examinados varias veces dentro de un estudio por un Comité de Monitoreo de Datos .

• El estadístico log-rank se puede derivar como la prueba de puntuación para el modelo de riesgos proporcionales de Cox que compara dos grupos. Por lo tanto, es asintóticamente equivalente al estadístico de prueba de razón de verosimilitud basado en dicho modelo.
• El estadístico logrank es asintóticamente equivalente al estadístico de prueba de razón de verosimilitud para cualquier familia de distribuciones con alternativa de riesgo proporcional. Por ejemplo, si los datos de las dos muestras tienen distribuciones exponenciales .
• Si${\displaystyle Z}$es la estadística logrank,${\displaystyle D}$es el número de eventos observados, y${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$es la estimación de la razón de riesgo, entonces${\displaystyle \log {\hat {\lambda }}\approx Z\,{\sqrt {4/D}}}$Esta relación resulta útil cuando se conocen dos de las cantidades (por ejemplo, a partir de un artículo publicado), pero se necesita la tercera.
• La estadística log-rank se puede utilizar cuando las observaciones están censuradas. Si no hay observaciones censuradas en los datos, entonces la prueba de suma de rangos de Wilcoxon es la más adecuada.
• La estadística log-rank otorga el mismo peso a todos los cálculos, independientemente del momento en que ocurra un evento. La estadística de prueba log-rank de Peto otorga mayor peso a los eventos tempranos cuando hay un gran número de observaciones.

La prueba de log-rank se basa en los mismos supuestos que la curva de supervivencia de Kaplan-Meier : que la censura no está relacionada con el pronóstico, que las probabilidades de supervivencia son las mismas para los sujetos reclutados al principio y al final del estudio, y que los eventos ocurrieron en los momentos especificados. Las desviaciones de estos supuestos son más importantes si se cumplen de manera diferente en los grupos que se comparan, por ejemplo, si la censura es más probable en un grupo que en otro. ^{[ 5 ]}

• estimador de Kaplan-Meier
• razón de riesgo