Trama de Logan

Un diagrama de Logan (o análisis gráfico de Logan ) ^{[ 1 ]} es una técnica de análisis gráfico basada en el modelo de compartimentos que utiliza regresión lineal para analizar la farmacocinética de trazadores que implican captación reversible. Se utiliza principalmente para la evaluación de datos de imágenes de medicina nuclear después de la inyección de un ligando marcado que se une reversiblemente a un receptor o enzima específicos .

En el análisis compartimental convencional , se utiliza un método iterativo para ajustar los parámetros individuales del modelo en la solución de un modelo compartimental de configuración específica a las mediciones con una curva de actividad-tiempo plasmática medida que sirve como función de forzamiento (entrada), y luego se puede describir la unión del trazador. El análisis gráfico es un método simplificado que transforma las ecuaciones del modelo en una ecuación lineal evaluada en múltiples puntos de tiempo y proporciona menos parámetros (es decir, pendiente e intersección). Aunque la pendiente y la intersección pueden interpretarse en términos de una combinación de parámetros del modelo si se asume una configuración de modelo compartimental, los métodos gráficos son independientes de cualquier configuración de modelo específica. En el caso de trazadores irreversibles, cierta fracción de la radiactividad queda atrapada en el tejido o el sitio de unión durante el transcurso del experimento, mientras que los trazadores reversibles muestran captación y pérdida de todos los compartimentos a lo largo del estudio. La base teórica del análisis gráfico para trazadores irreversibles (también llamado análisis gráfico de Patlak o diagrama de Patlak ) fue establecida por Clifford Patlak y sus colegas ^{[ 2 ] [ 3 ]} en los NIH . Basándose en el trabajo original de Patlak, Jean Logan y sus colegas ^{[ 1 ]} del Laboratorio Nacional de Brookhaven extendieron el método a trazadores con cinética reversible.

La cinética de compuestos radiomarcados en un sistema compartimental puede describirse mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con coeficientes constantes. ^{[ 4 ] [ 5 ]} La evolución temporal de la actividad en el sistema multicompartimental está impulsada por una función de entrada plasmática corregida por metabolitos.${\displaystyle C_{p}(t)}$puede describirse mediante:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {A} }{dt}}=\mathbf {KA} +\mathbf {Q} C_{p}(t)}$

dónde${\displaystyle \mathbf {A} }$es un vector columna de concentración de actividad para cada compartimento en el tiempo${\displaystyle t}$,${\displaystyle \mathbf {K} }$es la matriz de las constantes de transferencia entre compartimentos, y${\displaystyle \mathbf {Q} }$es el vector de constantes de transferencia de plasma a tejido. Patlak y Blasberg ^{[ 3 ]} demostraron que la ecuación anterior se puede escribir como:

${\displaystyle \int _{0}^{t}A(\tau )\,d\tau =-\mathbf {U} _{n}^{T}\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {Q} \int _{0}^{t}C_{p}(\tau )\,d\tau +\mathbf {U} _{n}^{T}\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {A} }$

dónde${\displaystyle \mathbf {U} _{n}^{T}}$representa un vector fila de 1s y${\displaystyle A(t)=\mathbf {U} _{n}^{T}\mathbf {A} }$. La actividad total en la región de interés ,${\displaystyle \mathrm {ROI} (t)}$, es una combinación de radiactividades de todos los compartimentos más una fracción de volumen plasmático (${\displaystyle V_{p}}$) ^{[ 2 ]} y por lo tanto:

${\displaystyle \int _{0}^{t}\mathrm {ROI} (\tau )\,d\tau =(-\mathbf {U} _{n}^{T}\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {Q} +V_{p})\int _{0}^{t}C_{p}(\tau )\,d\tau +\mathbf {U} _{n}^{T}\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {A} }$

Dividiendo ambos lados por${\displaystyle \mathrm {ROI} (t)}$Se obtiene la siguiente ecuación lineal:

${\displaystyle {{\int _{0}^{t}\mathrm {ROI} (\tau )\,d\tau } \over \mathrm {ROI} (t)}=(-\mathbf {U} _{n}^{T}\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {Q} +V_{p}){{\int _{0}^{t}C_{p}(\tau )\,d\tau } \over \mathrm {ROI} (t)}+{{\mathbf {U} _{n}^{T}\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {A} } \over {\mathbf {U} _{n}^{T}\mathbf {A} +V_{p}C_{p}}}}$

Para${\displaystyle t>t'}$, Patlak y sus colegas ^{[ 2 ]} demostraron que${\displaystyle \mathbf {A} =-\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {Q} C_{p}(t)}$, es decir, la condición de estado estacionario. Cuando se cumple esta condición, la intersección ha alcanzado su valor constante, de modo que después de algún tiempo se obtiene una gráfica de${\displaystyle {{\int _{0}^{t}C_{p}(\tau )d\tau } \over \mathrm {ROI} (t)}}$versus${\displaystyle {{\int _{0}^{t}\mathrm {ROI} (\tau )d\tau } \over \mathrm {ROI} (t)}}$se convierte en una línea recta con pendiente${\displaystyle (-\mathbf {U} _ {n}^{T}\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {Q} +V_{p})}$e interceptar${\displaystyle {{\mathbf {U} _ {n}^{T}\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {A} } \over {\mathbf {U} _ {n}^{T}\mathbf {A} +V_{p}C_{p}}}}$. ^{[ 1 ]}

Para un modelo de compartimento de dos tejidos en forma de catenaria con constantes de transferencia${\displaystyle K_{1}}$(transporte hacia adelante desde el plasma al tejido),${\displaystyle k_{2}}$( transporte inverso del tejido al plasma),${\displaystyle k_{3}}$( parámetro de unión proporcional a${\displaystyle B_{\max }k_{\mathrm {on} }}$), y${\displaystyle k_{4}}$(constante de disociación) para analizar el sistema enzimático o receptor, la pendiente representa el volumen de distribución total (${\displaystyle V_{d}}$) y viene dado por${\displaystyle {\frac {K_{1}}{k_{2}}}(1+{\frac {k_{3}}{k_{4}}})+V_{p}}$, ^{[ 1 ]} donde${\displaystyle k_{3}=B_{\max }k_{\mathrm {on} }}$,${\displaystyle k_{4}=k_{\mathrm {off} }}$,${\displaystyle {\frac {k_{3}}{k_{4}}}={\frac {B_{\max }}{K_{d}}}}$, y${\displaystyle K_{d}=k_{\mathrm {off} }/k_{\mathrm {on} }}$, en el cual${\displaystyle B_{\max }}$es la concentración de sitios de unión de ligandos,${\displaystyle K_{d}}$es la constante de disociación de equilibrio para el complejo del sitio de unión del ligando,${\displaystyle k_{\mathrm {on} }}$es la constante de asociación de unión del ligando,${\displaystyle k_{\mathrm {off} }}$es la constante de disociación de la unión del ligando. Para un modelo de compartimento de un tejido con constantes de transferencia${\displaystyle K_{1}}$y${\displaystyle k_{2}}$, la pendiente es${\displaystyle \lambda +V_{p}}$, dónde${\displaystyle \lambda }$es el coeficiente de partición (${\displaystyle {K_{1}}/{k_{2}}}$) y la intersección es${\displaystyle {\frac {-1}{k_{2}(1+V_{p}/\lambda )}}}$. ^{[ 1 ]}

• Parcela de Patlak
• Modelo multicompartimental
• tomografía por emisión de positrones
• Potencial de unión
• Volumen de distribución