Densidad natural

En teoría de números , la densidad natural , también conocida como densidad asintótica o densidad aritmética , es una medida del tamaño de un subconjunto del conjunto de los números naturales . Se basa principalmente en la probabilidad de encontrar elementos del subconjunto deseado al recorrer el intervalo $[1, n]$ a medida que $n$ aumenta.

Por ejemplo, puede parecer intuitivamente que hay más enteros positivos que cuadrados perfectos , porque cada cuadrado perfecto ya es positivo y, sin embargo, existen muchos otros enteros positivos. Sin embargo, el conjunto de enteros positivos no es de hecho mayor que el conjunto de cuadrados perfectos: ambos conjuntos son infinitos y numerables y, por lo tanto, pueden ponerse en correspondencia biunívoca . No obstante, si se recorren los números naturales, los cuadrados se vuelven cada vez más escasos. La noción de densidad natural hace que esta intuición sea precisa para muchos, pero no para todos, los subconjuntos de los naturales (véase la densidad de Schnirelmann , que es similar a la densidad natural pero definida para todos los subconjuntos de $\mathbb {N}$ ).

Si se selecciona un número entero al azar del intervalo $[1, n]$ , la probabilidad de que pertenezca al conjunto $A$ es la razón entre el número de elementos de $A$ en $[1, n]$ y el número total de elementos en $[1, n]$ . Si esta probabilidad tiende a un límite cuando $n$ tiende a infinito, dicho límite se denomina densidad asintótica de $A.$ Este concepto puede entenderse como una probabilidad de elegir un número del conjunto $A.$ De hecho, la densidad asintótica (así como otros tipos de densidades) se estudia en la teoría probabilística de números .

Definición

Un subconjunto $A$ de enteros positivos tiene densidad natural $α$ si la proporción de elementos de $A$ entre todos los números naturales desde $1$ hasta $n$ converge a $α$ cuando $n$ tiende a infinito.

Más explícitamente, si se define para cualquier número natural $n$ la función de conteo $a (n)$ como el número de elementos de $A$ menores o iguales a $n$ , entonces la densidad natural de $A$ siendo $α$ significa exactamente que ^{[ 1 ]}

a (n)/ n \to α

como

n \to \infty

.

De la definición se deduce que si un conjunto $A$ tiene densidad natural $α,$ entonces $0 \leq α \leq 1$ .

Densidad asintótica superior e inferior

Dejar $A$ ser un subconjunto del conjunto de los números naturales $\mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}.$ Para cualquier $n\in \mathbb {N}$ , definir $A(n)$ ser la intersección $A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A,$ y dejar $a(n)=|A(n)|$ sea el número de elementos de $A$ menor o igual que $n$ .

Definir la densidad asintótica superior ${\overline {d}}(A)$ de $A$ (también llamada "densidad superior") por ${\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$ donde lim sup es el límite superior .

De manera similar, defina la densidad asintótica inferior. ${\underline {d}}(A)$ de $A$ (también llamada "menor densidad") por ${\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$ donde lim inf es el límite inferior . Se puede decir $A$ tiene densidad asintótica $d(A)$ si ${\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)$ , en cuyo caso $d(A)$ es igual a este valor común.

Esta definición puede reformularse de la siguiente manera: $d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$ si existe este límite. ^{[ 2 ]}

Estas definiciones pueden expresarse de forma equivalente de la siguiente manera. Dado un subconjunto $A$ de $\mathbb {N}$ , escríbelo como una secuencia creciente indexada por los números naturales: $A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots \}.$ Entonces ${\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},$ ${\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}$ y $d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}$ si existe el límite.

Una noción algo más débil de densidad es la densidad de Banach superior. $d^{*}(A)$ de un conjunto $A\subseteq \mathbb {N} .$ Esto se define como $d^{*}(A)=\limsup _{N-M\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}.$

Propiedades y ejemplos

Para cualquier conjunto finito F de enteros positivos, d ( F ) = 0.
Si d ( A ) existe para algún conjunto A y A ^c denota su conjunto complemento con respecto a $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$ , entonces d ( A ^c ) = 1 − d ( A ).
- Corolario: Si $F\subset \mathbb {N}$ es finito (incluido el caso $F=\emptyset$ ), $d(\mathbb {N} \setminus F)=1.$
Si $d(A),d(B),$ y $d(A\cup B)$ existen, entonces $\max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}.$
Si $A=\{n^{2}:n\in \mathbb {N} \}$ es el conjunto de todos los cuadrados, entonces d ( A ) = 0.
Si $A=\{2n:n\in \mathbb {N} \}$ es el conjunto de todos los números pares, entonces d ( A ) = 0,5. De manera similar, para cualquier progresión aritmética $A=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}$ obtenemos $d(A)={\tfrac {1}{a}}.$
Para el conjunto P de todos los números primos obtenemos del teorema de los números primos que d ( P ) = 0.
El conjunto de todos los enteros libres de cuadrados tiene densidad ${\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.$ De manera más general, el conjunto de todos los números libres de la potencia n para cualquier n natural tiene densidad ${\tfrac {1}{\zeta (n)}},$ dónde $\zeta (n)$ es la función zeta de Riemann .
El conjunto de números abundantes tiene una densidad distinta de cero. ^{[ 3 ]} Marc Deléglise demostró en 1998 que la densidad del conjunto de números abundantes está entre 0,2474 y 0,2480. ^{[ 4 ]}
El conjunto $A=\bigcup _{n=0}^{\infty }\left\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\right\}$ de números cuya expansión binaria contiene un número impar de dígitos es un ejemplo de un conjunto que no tiene una densidad asintótica, ya que la densidad superior de este conjunto es ${\overline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}},$ mientras que su menor densidad es ${\underline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}.$
El conjunto de números cuya expansión decimal comienza con el dígito 1 tampoco tiene una densidad natural: la densidad inferior es 1/9 y la densidad superior es 5/9. ^{[ 1 ]} (Véase la ley de Benford ).
Consideremos una secuencia equidistribuida $\{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ en $[0,1]$ y definir una familia monótona $\{A_{x}\}_{x\in [0,1]}$ de conjuntos: $A_{x}:=\{n\in \mathbb {N$ Entonces, por definición, $d(A_{x})=x$ a pesar de $x$ .
Si S es un conjunto de densidad superior positiva, entonces el teorema de Szemerédi afirma que S contiene progresiones aritméticas finitas arbitrariamente grandes , y el teorema de Furstenberg-Sárközy afirma que algunos dos miembros de S difieren en un número cuadrado.

Otras funciones de densidad

Otras funciones de densidad en subconjuntos de los números naturales pueden definirse de forma análoga. Por ejemplo, la densidad logarítmica de un conjunto A se define como el límite (si existe). $\mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}.$

Las densidades logarítmicas superior e inferior se definen de forma análoga.

La intuición detrás del uso ${\tfrac {1}{n}}$ en el sumando proviene del hecho de que la serie armónica se aproxima asintóticamente $\log n+\gamma$ , dónde $\gamma =0.577\ldots$ es la constante de Euler-Mascheroni . Por lo tanto, esta definición asegura que la densidad logarítmica de los números naturales es $1$ .

Para el conjunto de múltiplos de una secuencia de enteros, el teorema de Davenport-Erdős establece que la densidad natural, cuando existe, es igual a la densidad logarítmica. ^{[ 5 ]}

Véase también

Notas

1 2 Tenenbaum (1995) pág. 261
↑ Nathanson (2000) págs. 256–257
↑ Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald (1988). Divisores . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 90. Cambridge: Cambridge University Press . p. 95. ISBN 978-0-521-34056-4. Zbl 0653.10001 .
↑ Deléglise, Marc (1998). "Límites para la densidad de enteros abundantes" . Matemáticas Experimentales . 7 (2): 137– 143. CiteSeerX 10.1.1.36.8272 . doi : 10.1080/10586458.1998.10504363 . ISSN 1058-6458 . MR 1677091. Zbl 0923.11127 .
↑ Hall, Richard R. (1996), Sets of multiples , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 118, Cambridge University Press, Cambridge, Theorem 0.2, p. 5, doi : 10.1017/CBO9780511566011 , ISBN 978-0-521-40424-2, MR 1414678

Referencias

Nathanson, Melvyn B. (2000). Métodos elementales en teoría de números . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 195. Springer-Verlag . ISBN 978-0387989129. Zbl 0953.11002 .
Niven, Ivan (1951). " La densidad asintótica de secuencias" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 57 (6): 420– 434. doi : 10.1090/s0002-9904-1951-09543-9 . MR 0044561. Zbl 0044.03603 .
Steuding, Jörn (2002). "Teoría probabilística de números" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 22 de diciembre de 2011. Recuperado el 16 de noviembre de 2014 .
Tenenbaum, Gérald (1995). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 46. Cambridge University Press . Zbl 0831.11001 .

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[Ten261-1] 1 2 Tenenbaum (1995) pág. 261

[2] Nathanson (2000) págs. 256–257

[HT95-3] Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald (1988). Divisores . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 90. Cambridge: Cambridge University Press . p. 95. ISBN 978-0-521-34056-4. Zbl 0653.10001 .

[Del1998-4] Deléglise, Marc (1998). "Límites para la densidad de enteros abundantes" . Matemáticas Experimentales . 7 (2): 137– 143. CiteSeerX 10.1.1.36.8272 . doi : 10.1080/10586458.1998.10504363 . ISSN 1058-6458 . MR 1677091. Zbl 0923.11127 .

[5] Hall, Richard R. (1996), Sets of multiples , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 118, Cambridge University Press, Cambridge, Theorem 0.2, p. 5, doi : 10.1017/CBO9780511566011 , ISBN 978-0-521-40424-2, MR 1414678

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