Conjunción lógica

En lógica , matemáticas y lingüística , y (${\displaystyle \wedge }$) es el operador veritativo-funcional de conjunción o conjunción lógica . El conector lógico de este operador se representa típicamente como${\displaystyle \wedge }$^{[ 1 ]} o${\displaystyle \&}$o${\displaystyle K}$(prefijo) o${\displaystyle \times }$o${\displaystyle \cdot }$^{[ 2 ]} en el cual${\displaystyle \wedge }$es el más moderno y el más utilizado.

La conjunción (y) de un conjunto de operandos es verdadera si y solo si todos sus operandos son verdaderos, es decir,${\displaystyle A\land B}$es cierto si y solo si${\displaystyle A}$es cierto y${\displaystyle B}$Es cierto.

Un operando de una conjunción es un conjuntivo . ^{[ 3 ]}

Más allá de la lógica, el término "conjunción" también se refiere a conceptos similares en otros campos:

• En el lenguaje natural , la denotación de expresiones como el inglés " y ";
• En los lenguajes de programación , el cortocircuito y la estructura de control ;
• En teoría de conjuntos , intersección .
• En teoría de retículos , conjunción lógica ( máximo límite inferior ).

Y se suele denotar mediante un operador infijo: en matemáticas y lógica, se denota mediante una "cuña".${\displaystyle \wedge }$(Unicode U+2227 ∧ AND LÓGICO ), ^{[ 1 ]}${\displaystyle \&}$o${\displaystyle \times }$; en electrónica,${\displaystyle \cdot }$; y en lenguajes de programación &, , o . En la notación prefija de Jan Łukasiewicz para lógica , el operador es&&and${\displaystyle K}$, para koniunkcja polaco . ^{[ 4 ]}

En matemáticas, la conjunción de un número arbitrario de elementos${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$puede denotarse como una operación binaria iterada usando una "cuña grande" ⋀ (Unicode U+22C0 ⋀ AND LÓGICO N-ARIO ): ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \bigwedge _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\wedge a_{2}\wedge \ldots a_{n-1}\wedge a_{n}}$

En lógica clásica , la conjunción lógica es una operación sobre dos valores lógicos , típicamente los valores de dos proposiciones , que produce un valor verdadero si y solo si (también conocido como iff) ambos operandos son verdaderos. ^{[ 2 ] [ 1 ]}

La identidad conjuntiva es verdadera, lo que significa que aplicar la operación AND a una expresión con verdadero nunca modificará el valor de la expresión. De acuerdo con el concepto de verdad vacía , cuando la conjunción se define como un operador o función de aridad arbitraria , la conjunción vacía (la operación AND sobre un conjunto vacío de operandos) se define a menudo como aquella cuyo resultado es verdadero.

Tabla de verdad

La tabla de verdad de${\displaystyle A\land B}$: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Como regla de inferencia, la introducción de conjunciones es una forma de argumento simple y clásicamente válida . La forma de argumento tiene dos premisas,${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$Intuitivamente, permite inferir su conjunción.

${\displaystyle A}$,

${\displaystyle B}$.

Por lo tanto, A y B.

o en notación de operador lógico , donde${\displaystyle \vdash }$ expresa demostrabilidad:

${\displaystyle \vdash A,}$

${\displaystyle \vdash B}$

${\displaystyle \vdash A\land B}$

Aquí hay un ejemplo de un argumento que se ajusta a la forma de introducción de conjunción :

A Bob le gustan las manzanas.

A Bob le gustan las naranjas.

Por lo tanto, a Bob le gustan las manzanas y a Bob le gustan las naranjas.

La eliminación de conjunciones es otra forma de argumento simple y clásicamente válida . Intuitivamente, permite la inferencia a partir de cualquier conjunción de cualquiera de los elementos de dicha conjunción.

${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$.

Por lo tanto,${\displaystyle A}$.

...o alternativamente,

${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$.

Por lo tanto,${\displaystyle B}$.

En notación de operadores lógicos :

${\displaystyle \vdash A\land B}$

${\displaystyle \vdash A}$

...o alternativamente,

${\displaystyle \vdash A\land B}$

${\displaystyle \vdash B}$

conmutatividad : sí

asociatividad : sí ^{[ 7 ]}

distributividad : con diversas operaciones, especialmente con o

idempotencia : sí

monotonicidad : sí

preservación de la verdad: sí Cuando todas las entradas son verdaderas, la salida es verdadera.

Preservación de la falsedad: sí Cuando todas las entradas son falsas, la salida es falsa.

Espectro de Walsh : (1,-1,-1,1)

No linealidad : 1 (la función está curvada )

Si se utilizan valores binarios para verdadero (1) y falso (0), la conjunción lógica funciona exactamente igual que la multiplicación aritmética normal .

En la programación informática de alto nivel y la electrónica digital , la conjunción lógica se representa comúnmente mediante un operador infijo, generalmente como una palabra clave como " AND", una multiplicación algebraica o el símbolo de ampersand &(a veces duplicado como en &&). Muchos lenguajes también proporcionan estructuras de control de cortocircuito que corresponden a la conjunción lógica.

La conjunción lógica se usa a menudo para operaciones bit a bit, donde 0corresponde a falso y 1a verdadero:

• 0 AND 0 = , 0
• 0 AND 1 = , 0
• 1 AND 0 = , 0
• 1 AND 1 = . 1

La operación también se puede aplicar a dos palabras binarias vistas como cadenas de bits de igual longitud, tomando la operación AND bit a bit de cada par de bits en las posiciones correspondientes. Por ejemplo:

• 11000110 AND 10100011 = . 10000010

Esto se puede usar para seleccionar parte de una cadena de bits usando una máscara de bits . Por ejemplo, = extrae el cuarto bit de una cadena de bits de 8 bits.10011101 AND 00001000  00001000

En redes informáticas , las máscaras de bits se utilizan para derivar la dirección de red de una subred dentro de una red existente a partir de una dirección IP determinada , mediante la operación AND entre la dirección IP y la máscara de subred .

La conjunción lógica " AND" también se utiliza en operaciones SQL para formar consultas de bases de datos .

La correspondencia Curry-Howard relaciona la conjunción lógica con los tipos de productos .

La pertenencia de un elemento a un conjunto de intersección en la teoría de conjuntos se define en términos de una conjunción lógica:${\displaystyle x\in A\cap B}$si y solo si${\displaystyle (x\in A)\wedge (x\in B)}$. Mediante esta correspondencia, la intersección en teoría de conjuntos comparte varias propiedades con la conjunción lógica, como la asociatividad , la conmutatividad y la idempotencia .

Al igual que otras nociones formalizadas en la lógica matemática, la conjunción lógica " y" está relacionada con la conjunción gramatical " y " en los lenguajes naturales, pero no es lo mismo.

El verbo "and" en inglés posee propiedades que no se reflejan en las conjunciones lógicas. Por ejemplo, a veces implica un orden que significa "luego". Por ejemplo, en el lenguaje cotidiano, "They got married and had a child" (Se casaron y tuvieron un hijo) significa que el matrimonio tuvo lugar antes del nacimiento del hijo.

La conjunción "y" también puede implicar la división de algo en partes, como en "La bandera estadounidense es roja, blanca y azul". En este caso, no se quiere decir que la bandera sea a la vez roja, blanca y azul, sino que cada color forma parte de ella.

• "Conjunción" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: Conjunción
• "Propiedades y tabla de verdad de las proposiciones AND" . Archivado del original el 6 de mayo de 2017.