Gráfico logarítmico-logarítmico

En ciencia e ingeniería , un gráfico log-log o diagrama log-log es un gráfico bidimensional de datos numéricos que utiliza escalas logarítmicas tanto en el eje horizontal como en el vertical. Funciones de potencia : relaciones de la forma $y=ax^{k}$ Aparecen como líneas rectas en un gráfico logarítmico doble, donde el exponente corresponde a la pendiente y el coeficiente a la intersección. Por lo tanto, estos gráficos son muy útiles para reconocer estas relaciones y estimar parámetros . Se puede usar cualquier base para el logaritmo, aunque lo más común es usar la base 10 (logaritmos comunes).

Relación con monomios

Dada una ecuación monomial $y=ax^{k},$ Al tomar el logaritmo de la ecuación (con cualquier base) se obtiene: $\log y=k\log x+\log a.$

Configuración $X=\log x$ y $Y=\log y,$ lo que corresponde al uso de un gráfico logarítmico-logarítmico, produce la ecuación $Y=mX+b$

donde m = k es la pendiente de la línea ( gradiente ) y b = log a es la intersección en el eje (log y ), lo que significa que donde log x = 0, entonces, invirtiendo los logaritmos, a es el valor de y correspondiente a x = 1. ^[¹^]

Ecuaciones

La ecuación para una línea en una escala logarítmica doble sería: $\log _{10}F(x)=m\log _{10}x+b,$ $F(x)=x^{m}\cdot 10^{b},$ donde m es la pendiente y b es el punto de intersección en el gráfico logarítmico.

Pendiente de una gráfica logarítmica doble

Para hallar la pendiente de la gráfica, se seleccionan dos puntos en el eje x , por ejemplo x ₁ y x _2. Utilizando la siguiente ecuación: $\log[F(x_{1})]=m\log(x_{1})+b,$ y $\log[F(x_{2})]=m\log(x_{2})+b.$ La pendiente m se obtiene tomando la diferencia: $m={\frac {\log(F_{2})-\log(F_{1})}{\log(x_{2})-\log(x_{1})}}={\frac {\log(F_{2}/F_{1})}{\log(x_{2}/x_{1})}},$ donde F ₁ es la abreviatura de F ( x ₁ ) y F ₂ es la abreviatura de F ( x ₂ ). La figura de la derecha ilustra la fórmula. Nótese que la pendiente en el ejemplo de la figura es negativa . La fórmula también proporciona una pendiente negativa, como se puede observar en la siguiente propiedad del logaritmo: $\log(x_{1}/x_{2})=-\log(x_{2}/x_{1}).$

Encontrar la función a partir del gráfico logarítmico-logarítmico

El procedimiento anterior se invierte ahora para hallar la forma de la función F ( x ) utilizando su gráfica logarítmica (supuestamente conocida). Para hallar la función _F, se elige un punto fijo ( x₀ _,F₀ ), donde F₀ es una abreviatura de _F ( x₀ ₎ , en algún punto de la línea recta de la gráfica anterior, y otro punto arbitrario ( x₁ , F₁ ) en la misma gráfica. A continuación , a partir de la fórmula de la pendiente _anterior_: $m={\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/x_{0})}}$ lo que conduce a $\log(F_{1}/F_{0})=m\log(x_{1}/x_{0})=\log[(x_{1}/x_{0})^{m}].$ Nótese que 10 ^{log ₁₀ ( F ₁ )} = F ₁ . Por lo tanto, los logaritmos se pueden invertir para encontrar: ${\frac {F_{1}}{F_{0}}}=\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}$ o $F_{1}={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}\,x^{m},$ lo que significa que $F(x)=\mathrm {constante} \cdot x^{m}.$ En otras palabras, F es proporcional a x _elevado a la potencia de la pendiente de la línea recta de su gráfica logarítmica doble. Específicamente, una línea recta en una gráfica logarítmica doble que contiene los puntos ( _x₀, F₀ ) y ( x₁ , _F₁₎ tendrá la función : $F(x)={F_{0}}\left({\frac {x}{x_{0}}}\right)^{\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/x_{0})}},$ Por supuesto, lo contrario también es cierto: cualquier función de la forma $F(x)=\mathrm {constante} \cdot x^{m}$ tendrá una línea recta como su representación gráfica logarítmica doble, donde la pendiente de la línea es m .

Cálculo del área bajo un segmento de línea recta en una gráfica logarítmica doble.

Para calcular el área bajo un segmento de línea recta continua de un gráfico logarítmico (o estimar el área de una línea casi recta), utilice la función definida anteriormente. $F(x)=\mathrm {constante} \cdot x^{m}.$ e integrarlo. Dado que solo opera sobre una integral definida (dos puntos extremos definidos), el área A bajo la gráfica toma la forma $A(x)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)\,dx=\left.{\frac {\mathrm {constante} }{m+1}}\cdot x^{m+1}\right|_{x_{0}}^{x_{1}}$

Reordenando la ecuación original e introduciendo los valores de los puntos fijos, se encuentra que $\mathrm {constante} ={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}$

Sustituyendo de nuevo en la integral, se encuentra que para A sobre x ₀ a x ₁

${\begin{aligned}A&={\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\[1.2ex]\log A&=\log \left[{\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\right]\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}-\log {\frac {1}{x_{0}^{m}}}+\log(x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m}}{x_{0}^{m}}}\cdot x_{1}-{\frac {x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\end{aligned}}$

Por lo tanto, $A={\frac {F_{0}}{m+1}}\cdot \left[x_{1}\cdot \left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}-x_{0}\right]$

Para m = −1, la integral se convierte en ${\begin{aligned}A_{(m=-1)}&=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)\,dx=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {\mathrm {constant} }{x}}\,dx={\frac {F_{0}}{x_{0}^{-1}}}\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {dx}{x}}=F_{0}\cdot x_{0}\cdot {\ln x}{\Big |}_{x_{0}}^{x_{1}}\\A_{(m=-1)}&=F_{0}\cdot x_{0}\cdot \ln {\frac {x_{1}}{x_{0}}}\end{aligned}}$

Modelos de regresión lineal log-log

Los gráficos log-log se utilizan a menudo para visualizar modelos de regresión lineal log-log con errores (aproximadamente) log-normales o log-logísticos . En estos modelos, tras transformar logarítmicamente las variables dependientes e independientes , se puede ajustar un modelo de regresión lineal simple , con errores homocedásticos . Este modelo resulta útil al trabajar con datos que presentan crecimiento o decrecimiento exponencial, mientras que los errores siguen aumentando a medida que crece el valor de la variable independiente (es decir, error heterocedástico ).

Como se indicó anteriormente, en un modelo lineal log-log la relación entre las variables se expresa como una ley potencial. Cada cambio unitario en la variable independiente resultará en un cambio porcentual constante en la variable dependiente. El modelo se expresa como:

y=a\cdot x^{b}\cdot e^{\epsilon }

Tomando el logaritmo de ambos lados, obtenemos:

\log(y)=\log(a)+b\cdot \log(x)+\epsilon

Esta es una ecuación lineal en los logaritmos de $x$ y $y$ , con $\log(a)$ como la intersección y $b$ como la pendiente. En la cual $\epsilon \sim {\textrm {Normal}}(\mu ,\sigma ^{2})$ , y $e^{\epsilon }\sim {\textrm {Log-Normal}}(\mu ,\sigma ^{2})$ .

La Figura 1 ilustra este aspecto. Presenta dos gráficos generados con 10 000 puntos simulados. El gráfico de la izquierda, titulado «Línea Cóncava con Ruido Log-Normal», muestra un diagrama de dispersión de los datos observados (y) frente a la variable independiente (x). La línea roja representa la mediana, mientras que la línea azul representa la media. Este gráfico ilustra un conjunto de datos con una relación de ley de potencias entre las variables, representada por una línea cóncava.

Cuando ambas variables se transforman mediante logaritmos, como se muestra en el gráfico de la derecha de la Figura 1, titulado «Línea lineal logarítmica con ruido normal», la relación se vuelve lineal. Este gráfico también muestra un diagrama de dispersión de los datos observados frente a la variable independiente, pero con ambos ejes en escala logarítmica. En este caso, tanto la media como la mediana son la misma línea (roja). Esta transformación nos permite ajustar un modelo de regresión lineal simple (que luego se puede transformar de nuevo a la escala original, como la mediana).

La transformación del gráfico de la izquierda al de la derecha en la Figura 1 también demuestra el efecto de la transformación logarítmica en la distribución del ruido en los datos. En el gráfico de la izquierda, el ruido parece seguir una distribución log-normal , que está sesgada hacia la derecha y puede ser difícil de manejar. En el gráfico de la derecha, después de la transformación logarítmica, el ruido parece seguir una distribución normal , que es más fácil de comprender y modelar.

Esta normalización del ruido se analiza con mayor detalle en la Figura 2, que presenta un gráfico lineal de tres métricas de error ( Error Absoluto Medio - MAE, Error Cuadrático Medio - RMSE y Error Logarítmico Absoluto Medio - MALE) calculadas sobre una ventana deslizante de tamaño 28 en el eje x. El eje y muestra el error, graficado en función de la variable independiente (x). Cada métrica de error está representada por un color diferente, con la línea suavizada correspondiente superpuesta a la línea original (dado que se trata de datos simulados, la estimación del error es algo irregular). Estas métricas de error proporcionan una medida del ruido a medida que varía en función de los diferentes valores de x.

Los modelos lineales log-log se utilizan ampliamente en diversos campos, como la economía, la biología y la física, donde muchos fenómenos presentan un comportamiento de ley de potencias. También resultan útiles en el análisis de regresión al trabajar con datos heterocedásticos, ya que la transformación logarítmica puede ayudar a estabilizar la varianza.

Aplicaciones

Estos gráficos son útiles cuando es necesario estimar los parámetros a y b a partir de datos numéricos. Este tipo de especificaciones se utilizan con frecuencia en economía .

Un ejemplo es la estimación de las funciones de demanda de dinero basadas en la teoría de inventarios , en la que se puede suponer que la demanda de dinero en el tiempo t viene dada por $M_{t}=AR_{t}^{b}Y_{t}^{c}U_{t},$ donde M es la cantidad real de dinero en manos del público, R es la tasa de rendimiento de un activo alternativo de mayor rendimiento que el dinero, Y es el ingreso real del público , U es un término de error que se supone que sigue una distribución lognormal , A es un parámetro de escala que se estimará, y b y c son parámetros de elasticidad que se estimarán. Tomando logaritmos se obtiene $m_{t}=a+br_{t}+cy_{t}+u_{t},$ donde m = log M , a = log A , r = log R , y = log Y , y u = log U con u distribuida normalmente . Esta ecuación puede estimarse utilizando mínimos cuadrados ordinarios .

Otro ejemplo económico es la estimación de la función de producción Cobb-Douglas de una empresa , que es el lado derecho de la ecuación. $Q_{t}=AN_{t}^{\alpha }K_{t}^{\beta }U_{t},$ en la que Q es la cantidad de producción que se puede producir por mes, N es el número de horas de trabajo empleadas en la producción por mes, K es el número de horas de capital físico utilizadas por mes, U es un término de error que se supone que tiene una distribución lognormal, y A , $\alpha$ , y $\beta$ son parámetros que deben estimarse. Tomando logaritmos se obtiene la ecuación de regresión lineal. $q_{t}=a+\alpha n_{t}+\beta k_{t}+u_{t}$ donde q = log Q , a = log A , n = log N , k = log K , y u = log U .

La regresión log-log también se puede utilizar para estimar la dimensión fractal de un fractal que se produce de forma natural .

Sin embargo, ir en la dirección opuesta —observar que los datos aparecen como una línea aproximada en una escala logarítmica doble y concluir que los datos siguen una ley de potencias— no siempre es válido. ^{[ 2 ]}

De hecho, muchas otras formas funcionales parecen aproximadamente lineales en la escala log-log, y simplemente evaluar la bondad de ajuste de una regresión lineal en datos logarítmicos utilizando el coeficiente de determinación ( R² ) puede ser inválido, ya que los supuestos del modelo de regresión lineal, como ^el error gaussiano, pueden no cumplirse; además, las pruebas de ajuste de la forma log-log pueden presentar una baja potencia estadística , ya que estas pruebas pueden tener una baja probabilidad de rechazar leyes de potencia en presencia de otras formas funcionales verdaderas. Si bien los gráficos log-log simples pueden ser instructivos para detectar posibles leyes de potencia, y se han utilizado desde Pareto en la década de 1890, la validación como ley de potencia requiere estadísticas más sofisticadas. ^{[ 2 ]}

Estos gráficos también son extremadamente útiles cuando se recopilan datos variando la variable de control a lo largo de una función exponencial, en cuyo caso la variable de control x se representa de forma más natural en una escala logarítmica, de modo que los puntos de datos estén espaciados uniformemente, en lugar de comprimidos en el extremo inferior. La variable de salida y puede representarse linealmente, obteniendo un gráfico lin-log (log x , y ), o también se puede tomar su logaritmo, obteniendo un gráfico log-log (log x , log y ).

El diagrama de Bode (una gráfica de la respuesta en frecuencia de un sistema) también es una gráfica logarítmica doble.

En cinética química , la forma general de la dependencia de la velocidad de reacción con respecto a la concentración adopta la forma de una ley de potencias ( ley de acción de masas ), por lo que un gráfico logarítmico es útil para estimar los parámetros de reacción a partir de experimentos.

Véase también

Referencias

↑ Bourne, Murray. "7. Gráficas log-log y semilog" . www.intmath.com . Consultado el 15 de octubre de 2024 .
1 2 Clauset, A.; Shalizi, CR; Newman, MEJ (2009). "Distribuciones de ley de potencias en datos empíricos". SIAM Review . 51 (4): 661– 703. arXiv : 0706.1062 . Bibcode : 2009SIAMR..51..661C . doi : 10.1137/070710111 . S2CID 9155618 .

[1] Bourne, Murray. "7. Gráficas log-log y semilog" . www.intmath.com . Consultado el 15 de octubre de 2024 .

[clauset-2] 1 2 Clauset, A.; Shalizi, CR; Newman, MEJ (2009). "Distribuciones de ley de potencias en datos empíricos". SIAM Review . 51 (4): 661– 703. arXiv : 0706.1062 . Bibcode : 2009SIAMR..51..661C . doi : 10.1137/070710111 . S2CID 9155618 .

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