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Articulo de referencia

Sistema de Lorenz

Una solución de ejemplo en el atractor de Lorenz cuando ρ = 28 , σ = 10 , y β = ⁠ 8 / 3 ⁠ El sistema de Lorenz es un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias , d...

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Una solución de ejemplo en el atractor de Lorenz cuando ρ  = 28 , σ  = 10 , y β  =  ⁠ 8 / 3 ⁠

El sistema de Lorenz es un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias , desarrollado inicialmente por el meteorólogo Edward Lorenz mientras estudiaba la convección atmosférica . Es un ejemplo clásico de un sistema que puede exhibir un comportamiento caótico , lo que significa que su resultado puede ser muy sensible a pequeños cambios en sus condiciones iniciales.

Para ciertos valores de sus parámetros, las soluciones del sistema forman un patrón complejo y cíclico conocido como el atractor de Lorenz . Se dice que la forma de este atractor , al representarse gráficamente, se asemeja a una mariposa. La extrema sensibilidad del sistema a las condiciones iniciales dio origen al popular concepto del efecto mariposa : la idea de que un pequeño evento, como el aleteo de una mariposa, podría alterar los patrones climáticos a gran escala. Si bien el sistema es determinista —su comportamiento futuro está completamente determinado por sus condiciones iniciales—, su naturaleza caótica hace que la predicción a largo plazo sea prácticamente imposible.

El comportamiento del sistema depende de la elección de los parámetros. Para ciertos rangos de parámetros, el sistema es predecible: las trayectorias se estabilizan en puntos fijos u órbitas periódicas simples, lo que facilita la descripción de su comportamiento a largo plazo. Por ejemplo, cuando ρ < 1 , todas las soluciones convergen al origen, y para ciertos valores moderados de ρ , σ y β , las soluciones convergen a estados estacionarios simétricos.

Por el contrario, para otros rangos de parámetros, el sistema se vuelve caótico. Con los parámetros conocidos σ = 10 , ρ = 28 y β = 8/3 , las soluciones nunca se estabilizan , sino que describen el atractor de Lorenz con forma de mariposa. En este régimen, las pequeñas diferencias en las condiciones iniciales crecen exponencialmente .

Descripción general

En 1963, Edward Lorenz desarrolló el sistema como un modelo matemático simplificado para la convección atmosférica . [ 1 ] Intentaba modelar la forma en que el aire se mueve cuando se calienta desde abajo y se enfría desde arriba. El modelo describe cómo cambian con el tiempo tres propiedades clave de este sistema:

  • x es proporcional a la intensidad de la convección (la tasa de flujo del fluido).
  • y es proporcional a la diferencia de temperatura entre las corrientes de aire ascendentes y descendentes.
  • z es proporcional a la distorsión del perfil de temperatura vertical con respecto a uno lineal.

El modelo se desarrolló con la ayuda de Ellen Fetter , quien realizó las simulaciones numéricas y creó las figuras, [ 1 ] y Margaret Hamilton , quien colaboró ​​en los cálculos iniciales. [ 2 ] El comportamiento de estas tres variables se rige por las siguientes ecuaciones cuyos valores cambian con el tiempo, que se define como t:

dincógnitadt=σ(y−incógnita),dydt=incógnita(ρ−z)−y,dzdt=incógnitay−βz.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (yx),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}

Las constantes σ , ρ y β son parámetros que representan propiedades físicas del sistema: σ es el número de Prandtl , ρ es el número de Rayleigh y β se relaciona con las dimensiones físicas de la capa de fluido misma. [ 3 ]

Desde un punto de vista técnico, el sistema de Lorenz es no lineal , aperiódico, tridimensional y determinista . Si bien originalmente se diseñó para el clima, posteriormente se ha descubierto que las ecuaciones modelan el comportamiento en una amplia variedad de sistemas, incluyendo láseres , [ 4 ] dinamos , [ 5 ] circuitos eléctricos , [ 6 ] e incluso algunas reacciones químicas . [ 7 ] Las ecuaciones de Lorenz han sido objeto de cientos de artículos de investigación y al menos un estudio extenso. [ 3 ]

Análisis

Normalmente se asume que los parámetros σ , ρ y β son positivos. Lorenz utilizó los valores σ = 10 , ρ = 28 y β = 8/3 . El sistema presenta un comportamiento caótico para estos valores (y cercanos ) . [ 8 ]

Si ρ < 1, entonces solo hay un punto de equilibrio , que se encuentra en el origen. Este punto corresponde a la ausencia de convección. Todas las órbitas convergen al origen, que es un atractor global , cuando ρ < 1. [ 9 ]

Se produce una bifurcación de horquilla en ρ = 1 , y para ρ > 1 aparecen dos puntos de equilibrio adicionales en (β(ρ−1),β(ρ−1),ρ−1)y(−β(ρ−1),−β(ρ−1),ρ−1).{\displaystyle \left({\sqrt {\beta (\rho -1)}},{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)\quad {\text{y}}\quad \left(-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right).} Estos corresponden a convección estacionaria . Este par de puntos de equilibrio es estable solo si

ρ<σσ+β+3σ−β−1,{\displaystyle \rho <\sigma {\frac {\sigma +\beta +3}{\sigma -\beta -1}},}

lo cual solo puede cumplirse para ρ positivo si σ > β + 1. En el valor crítico, ambos puntos de equilibrio pierden estabilidad a través de una bifurcación de Hopf subcrítica . [ 10 ]

Cuando ρ  = 28 , σ  = 10 y β  =  8/3 , el sistema de Lorenz tiene soluciones caóticas (pero no todas las soluciones son caóticas). Casi todos los puntos iniciales tenderán a un conjunto invariante : el atractor de Lorenz , un atractor extraño , un fractal y un atractor autoexcitado con respecto a los tres equilibrios. Su dimensión de Hausdorff se estima desde arriba mediante la dimensión de Lyapunov (dimensión de Kaplan-Yorke) como  2,06 ± 0,01 , [ 11 ] y la dimensión de correlación se estima en2,05 ± 0,01 . [ 12 ] La fórmula exacta de la dimensión de Lyapunov del atractor global se puede encontrar analíticamente bajo restricciones clásicas sobre los parámetros: [ 13 ] [ 11 ] [ 14 ]

3−2(σ+β+1)σ+1+(σ−1)2+4σρ{\displaystyle 3-{\frac {2(\sigma +\beta +1)}{\sigma +1+{\sqrt {\left(\sigma -1\right)^{2}+4\sigma \rho }}}}}

El atractor de Lorenz es difícil de analizar, pero la acción de la ecuación diferencial sobre el atractor se describe mediante un modelo geométrico bastante simple. [ 15 ] Demostrar que esto es así es el decimocuarto problema de la lista de problemas de Smale . Este problema fue el primero en ser resuelto, por Warwick Tucker en 2002. [ 16 ]

Para otros valores de ρ , el sistema muestra órbitas periódicas anudadas. Por ejemplo, con ρ = 99,96 se convierte en un nudo toroidal T (3,2) .

Conexión con el mapa de la tienda de campaña

Recreación de los resultados de Lorenz realizada con Mathematica . Los puntos por encima de la línea roja corresponden a los lóbulos de conmutación del sistema.

En la Figura 4 de su artículo, [ 1 ] Lorenz representó gráficamente el valor máximo relativo en la dirección z alcanzado por el sistema frente al máximo relativo anterior en la dirección z . Este procedimiento se conoció posteriormente como mapa de Lorenz (que no debe confundirse con un diagrama de Poincaré , que representa las intersecciones de una trayectoria con una superficie predefinida). El gráfico resultante tiene una forma muy similar al mapa de la tienda . Lorenz también descubrió que cuando el valor máximo de z supera un cierto umbral, el sistema cambia al siguiente lóbulo. Combinando esto con el caos que se sabe que exhibe el mapa de la tienda, demostró que el sistema cambia entre los dos lóbulos de forma caótica.

Simulaciones

Un gráfico de la simulación 3D
Simulación del sistema de Lorenz en Julia
Simulación de Julia

Simulación de Julia

usando GLMaikeBase . @kwdef estructura mutable Lorenzdt :: Float64 = 0.01σ :: Float64 = 10ρ :: Float64 = 28β :: Float64 = 8 / 3x :: Float64 = 1y :: Float64 = 1z :: Float64 = 1finpaso de función ! ( l :: Lorenz )dx = l . σ * ( l . y - l . x )dy = l . x * ( l . ρ - l . z ) - l . ydz = l . x * l . y - l . β * l . zl . x += l . dt * dxl . y += l . dt * dyl . z += l . dt * dzPunto3f ( l . x , l . y , l . z )finatractor = Lorenz ()puntos = Punto3f []colores = Int []¡establecer_tema! ( tema_negro ())fig , ax , l = líneas ( puntos , color = colores ,mapa de colores = :inferno , transparencia = verdadero ,eje = (; tipo = Axis3 , protrusiones = ( 0 , 0 , 0 , 0 ),viewmode = :fit , limits = ( - 30 , 30 , - 30 , 30 , 0 , 50 )))registrar ( fig , "lorenz.gif" , 1 : 120 ) hacer marcopara i en 1 : 50¡Empuja! ( puntos , ¡paso! ( atractor ))¡Empuja! ( colores , marco )finhacha . azimut [] = 1,7 pi + 0,3 * sen ( 2 pi * cuadro / 120 )Makie . ¡actualización! ( l , arg1 = puntos , color = colores ) # Makie 0.24+yo . rango de colores = ( 0 , marco )fin

Simulación de arce

deq := [ diff ( x ( t ) , t ) = 10 * ( y ( t ) - x ( t )) , diff ( y ( t ) , t ) = 28 * x ( t ) - y ( t ) - x ( t ) * z ( t ) , diff ( z ( t ) , t ) = x ( t ) * y ( t ) - 8 / 3 * z ( t )] : with ( DEtools ) : DEplot3d ( deq , { x ( t ) , y ( t ) , z ( t )} , t = 0 .. 100 , [[ x ( 0 ) = 10 , y ( 0 ) = 10 , z ( 0 ) = 10 ]] , stepsize = 0.01 , x = - 20 .. 20 , y = - 25 .. 25 , z = 0 .. 50 , linecolour = sin ( t * Pi / 3 ) , thickness = 1 , orientation = [ - 40 , 80 ] , title = `Atractor caótico de Lorenz` ) ;

Simulación de Maxima

[ sigma , rho , beta ] : [ 10 , 28 , 8 / 3 ]$ eq : [ sigma * ( y - x ), x * ( rho - z ) - y , x * y - beta * z ] $ sol : rk ( eq , [ x , y , z ], [ 1 , 0 , 0 ], [ t , 0 , 50 , 1/100 ])$ len : longitud ( sol )$ x : lista de creación ( sol [ k ] [ 2 ], k , len )$ y : lista de creación ( sol [ k ][ 3 ] , k , len )$ z : lista de creación ( sol [ k ][ 4 ], k , len )$ draw3d ( puntos_joined = true , tipo_punto =- 1 , puntos ( x , y , z ), ejes_proporcionales = xyz )$

Simulación de MATLAB

% Resolver en el intervalo de tiempo [0,100] con condiciones iniciales [1,1,1] % ''f'' es un conjunto de ecuaciones diferenciales % ''a'' es un arreglo que contiene las variables x, y, y z % ''t'' es la variable de tiemposigma = 10 ; beta = 8 / 3 ; rho = 28 ; f = @( t , a ) [ - sigma * a ( 1 ) + sigma * a ( 2 ); rho * a ( 1 ) - a ( 2 ) - a ( 1 ) * a ( 3 ); - beta * a ( 3 ) + a ( 1 ) * a ( 2 )]; [ t , a ] = ode45 ( f ,[ 0 100 ],[ 1 1 1 ]); % Solucionador de EDO de Runge-Kutta de 4.º/5.º orden plot3 ( a (:, 1 ), a (:, 2 ), a (:, 3 ))

Simulación de Mathematica

Método estándar:

tender = 50 ; eq = { x ' [ t ] == σ ( y [ t ] - x [ t ]), y ' [ t ] == x [ t ] ( ρ - z [ t ]) - y [ t ], z ' [ t ] == x [ t ] y [ t ] - β z [ t ]}; inicio = { x [ 0 ] == 10 , y [ 0 ] == 10 , z [ 0 ] == 10 }; pars = { σ - > 10 , ρ -> 28 , β -> 8/3 } ; { xs , ys , zs } = NDSolveValue [{ eq /. pars , init }, { x , y , z }, { t , 0 , tend }]; ParametricPlot3D [{ xs [ t ], ys [ t ], zs [ t ]}, { t , 0 , tend }]

Menos verboso:

lorenz = NonlinearStateSpaceModel [{{ σ ( y - x ), x ( ρ - z ) - y , x y - β z }, {}}, { x , y , z }, { σ , ρ , β }]; soln [ t_ ] = RespuestaEstado [{ lorenz , { 10 , 10 , 10 } }, { 10 , 28 , 8/3 } , { t , 0 , 50 }]; ParametricPlot3D [ soln [ t ], { t , 0 , 50 }]

Simulación R

biblioteca ( deSolve ) biblioteca ( plotly )# parámetros prm <- lista ( sigma = 10 , rho = 28 , beta = 8 / 3 )# valores iniciales varini <- c ( X = 1 , Y = 1 , Z = 1 )Lorenz <- function ( t , vars , prm ) { with ( as.list ( vars ), { dX <- prm $ sigma * ( Y - X ) dY <- X * ( prm $ rho - Z ) - Y dZ <- X * Y - prm $ beta * Z return ( list ( c ( dX , dY , dZ ))) }) }tiempos <- seq ( desde = 0 , hasta = 100 , por = 0.01 )# llamar al solucionador de EDO out <- ode ( y = varini , times = times , func = Lorenz , parms = prm )# para asignar color a los puntos gfill <- function ( repArr , long ) { rep ( repArr , ceiling ( long / length ( repArr )))[ 1 : long ] }dout <- as.data.frame ( out ) dout $ color <- gfill ( rainbow ( 10 ), nrow ( dout ))# Producción de gráficos con Plotly: plot_ly ( data = dout , x = ~ X , y = ~ Y , z = ~ Z , type = 'scatter3d' , mode = 'lines' , opacity = 1 , line = list ( width = 6 , color = ~ color , reverscale = FALSE ) )
Representación gráfica de las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de Lorenz.
Representando gráficamente cada y 1 , y 2 , y 3 en función del tiempo t
Representar gráficamente y frente a x , o equivalentemente y 2 frente a y 1.
Representar gráficamente z frente a x , o equivalentemente y 3 frente a y 1.
Representar gráficamente z frente a y , o equivalentemente y 3 frente a y 2.

Simulación de SageMath

# Resolvemos el sistema de ecuaciones diferenciales de Lorenz con las condiciones iniciales y_1(0) = 0, y_2(0) = 0.5, y_3(0) = 0. # Método de Runge-Kutta y_{n+1}= y_n + h*(k_1 + 2*k_2+2*k_3+k_4)/6; x_{n+1}=x_n+h # k_1=f(x_n,y_n), k_2=f(x_n+h/2, y_n+hk_1/2), k_3=f(x_n+h/2, y_n+hk_2/2), k_4=f(x_n+h, y_n+hk_3) # ecuación diferencialdef Runge_Kutta ( f , v , a , b , h , n ) : tlist = [ a + i * h for i in range ( n +1 )] y = [[ 0 , 0 , 0 ] for _ in range ( n +1 )] # Tomando la longitud de f (número de ecuaciones). m = len ( f ) # Número de variables en v. vm = len ( v ) if m != vm : return ( "error, el número de ecuaciones no es igual al número de variables." ) for r in range ( vm ) : y [ 0 ][ r ] = b [ r ] # creando un vector y el componente será una lista # parte principal del algoritmo k1 = [ 0 for _ in range ( m )] k2 = [ 0 for _ in range ( m )] k3 = [ 0 for _ in range ( m )] k4 = [ 0 for _ in range ( m )] for i in range ( 1 , n +1 ) : # para cada t_i, i=1, ..., n # k1=h*f(t_{i-1},x_1(t_{i-1}),...,x_m(t_{i-1})) for j in range ( m ) : # para cada f_{j+1}, j=0, ... , m-1 k1 [ j ] = f [ j ] .subs ( t == tlist [ i -1 ]) para r en rango (vm ) : k1 [ j ] = k1 [ j ] .subs ( v [ r ] == y [ i -1 ][ r ]) k1 [ j ] = h * k1 [ j ] para j en range ( m ) : # k2=h*f(t_{i-1}+h/2,x_1(t_{i-1})+k1/2,...,x_m(t_{i-1}+k1/2)) k2 [ j ] = f [ j ] .subs ( t == tlist [ i -1 ] + h / 2 ) para r en range ( vm ) : k2 [ j ] = k2 [ j ] .subs ( v [ r ] == y [ i -1 ][ r ] + k1 [ r ] / 2 ) k2 [ j ] = h * k2 [ j ] para j en range ( m ) : # k3=h*f(t_{i-1}+h/2,x_1(t_{i-1})+k2/2,...,x_m(t_{i-1})+k2/2) k3 [ j ] = f [ j ] .subs ( t == tlist [ i -1 ] + h / 2 ) for r in range ( vm ) : k3 [ j ] = k3 [ j ] .subs ( v [ r ] == y [ i -1 ][ r ] + k2 [ r ] / 2 ) k3 [ j ] = h * k3 [j ] para j en rango ( m ) : # k4=h*f(t_{i-1}+h,x_1(t_{i-1})+k3,...,x_m(t_{i-1})+k3) k4 [ j ] = f [ j ] .subs ( t == tlist [ i -1 ] + h ) para r en rango ( vm ) : k4 [ j ] = k4 [ j ] .subs ( v [ r ] == y [ i -1 ][ r ] + k3 [ r ]) k4 [ j ] = h * k4 [ j ] para j en rango ( m ) : # Ahora x_j(t_i)=x_j(t_{i-1})+(k1+2k2+2k3+k4)/6 y [ i ][ j ] = y [ i -1 ][ j ] + ( k1 [ j ] +2 * k2 [ j ] +2 * k3 [ j ] + k4 [ j ]) / 6 return ( tlist , y )# (Figura 1) Aquí, graficamos las soluciones del sistema de EDO de Lorenz. a = 0.0 # t_0 b = [ 0.0 , . 50 , 0.0 ] # x_1(t_0), ... , x_m(t_0) t = var ( 't' ) x = var ( 'x' , n = 3 , latex_name = 'x' ) v = [ x [ ii ] for ii in range ( 3 )] f = [ 10 * ( x1 - x0 ), x0 * ( 28 - x2 ) - x1 , x0 * x1 - ( 8 / 3 ) * x2 ]; n = 1600 h = 0.0125 tlist , y = Runge_Kutta ( f , v , a , b , h , n ) #print(tlist) #print(y) T = point3d ([[ y [ i ][ 0 ], y [ i ][ 1 ], y [ i ][ 2 ]] for i in range ( n )], color = 'red' ) S = line3d ([[ y [ i ][ 0 ], y [ i ][ 1 ], y [ i ][ 2 ]] for i in range ( n )], color = 'red' ) show ( T + S )# (Figura 2) Aquí, graficamos cada y1, y2, y3 en términos de tiempo. a = 0.0 # t_0 b = [ 0.0 , . 50 , 0.0 ] # x_1(t_0), ... , x_m(t_0) t = var ( 't' ) x = var ( 'x' , n = 3 , latex_name = 'x' ) v = [ x [ ii ] for ii in range ( 3 )] Lorenz = [ 10 * ( x1 - x0 ), x0 * ( 28 - x2 ) - x1 , x0 * x1 - ( 8 / 3 ) * x2 ]; n = 100 h = 0.1 tlist , y = Runge_Kutta ( Lorenz , v , a , b , h , n ) #Runge_Kutta(f,v,0,b,h,n) #print(tlist) #print(y) P1 = list_plot ([[ tlist [ i ], y [ i ][ 0 ]] for i in range ( n )], plotjoined = True , color = 'red' ); P2 = list_plot ([[ tlist [ i ], y [ i ][ 1 ]] for i in range ( n )], plotjoined = True , color = 'green' ); P3 = list_plot ([[ tlist [ i ], y [ i ][ 2 ]] for i in range ( n )], plotjoined= Verdadero , color = 'amarillo' ); mostrar ( P1 + P2 + P3 )# (Figura 3) Aquí, graficamos y y x o equivalentemente y2 e y1 a = 0.0 # t_0 b = [ 0.0 , . 50 , 0.0 ] # x_1(t_0), ... , x_m(t_0) t = var ( 't' ) x = var ( 'x' , n = 3 , latex_name = 'x' ) v = [ x [ ii ] for ii in range ( 3 )] f = [ 10 * ( x1 - x0 ), x0 * ( 28 - x2 ) - x1 , x0 * x1 - ( 8 / 3 ) * x2 ]; n = 800 h = 0.025 tlist , y = Runge_Kutta ( f , v , a , b , h , n ) vv = [[ y [ i ][ 0 ], y [ i ][ 1 ]] for i in range ( n )]; #print(tlist) #print(y) T = points ( vv , rgbcolor = ( 0.2 , 0.6 , 0.1 ), pointsize = 10 ) S = line ( vv , rgbcolor = ( 0.2 , 0.6 , 0.1 )) show ( T + S )# (Figura 4) Aquí, graficamos z y x o equivalentemente y3 e y1 a = 0.0 # t_0 b = [ 0.0 , . 50 , 0.0 ] # x_1(t_0), ... , x_m(t_0) t = var ( 't' ) x = var ( 'x' , n = 3 , latex_name = 'x' ) v = [ x [ ii ] for ii in range ( 3 )] f = [ 10 * ( x1 - x0 ), x0 * ( 28 - x2 ) - x1 , x0 * x1 - ( 8 / 3 ) * x2 ]; n = 800 h = 0.025 tlist , y = Runge_Kutta ( f , v , a , b , h , n ) vv = [[ y [ i ][ 0 ], y [ i ][ 2 ]] for i in range ( n )]; #print(tlist) #print(y) T = points ( vv , rgbcolor = ( 0.2 , 0.6 , 0.1 ), pointsize = 10 ) S = line ( vv , rgbcolor = ( 0.2 , 0.6 , 0.1 )) show ( T + S )# (Figura 5) Aquí, graficamos z y x o equivalentemente y3 e y2 a = 0.0 # t_0 b = [ 0.0 , . 50 , 0.0 ] # x_1(t_0), ... , x_m(t_0) t = var ( 't' ) x = var ( 'x' , n = 3 , latex_name = 'x' ) v = [ x [ ii ] for ii in range ( 3 )] f = [ 10 * ( x1 - x0 ), x0 * ( 28 - x2 ) - x1 , x0 * x1 - ( 8 / 3 ) * x2 ]; n = 800 h = 0.025 tlist , y = Runge_Kutta ( f , v , a , b , h , n ) vv = [[ y [ i ][ 1 ], y [ i ][ 2 ]] for i in range ( n )]; #print(tlist) #print(y) T = points ( vv , rgbcolor = ( 0.2 , 0.6 , 0.1 ), pointsize = 10 ) S = line ( vv , rgbcolor = ( 0.2 , 0.6 , 0.1 )) show ( T + S )

Aplicaciones

Modelo de convección atmosférica

Como se muestra en el artículo original de Lorenz, [ 1 ] el sistema de Lorenz es una versión reducida de un sistema más grande estudiado anteriormente por Barry Saltzman. [ 17 ] Las ecuaciones de Lorenz se derivan de la aproximación de Oberbeck-Boussinesq a las ecuaciones que describen la circulación de fluidos en una capa delgada de fluido, calentada uniformemente desde abajo y enfriada uniformemente desde arriba. [ 1 ] Esta circulación de fluidos se conoce como convección de Rayleigh-Bénard . Se supone que el fluido circula en dos dimensiones (vertical y horizontal) con condiciones de contorno rectangulares periódicas. [ 1 ]

Las ecuaciones diferenciales parciales que modelan la función de corriente y la temperatura del sistema se someten a una aproximación de Galerkin espectral : los campos hidrodinámicos se expanden en series de Fourier , que luego se truncan severamente a un solo término para la función de corriente y dos términos para la temperatura. Esto reduce las ecuaciones del modelo a un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales acopladas . Una derivación detallada puede encontrarse, por ejemplo, en textos de dinámica no lineal de Hilborn (2000) , Apéndice C; Bergé, Pomeau y Vidal (1984) , Apéndice D; o Shen (2016), [ 18 ] Materiales suplementarios.

Modelo para la naturaleza del caos y el orden en la atmósfera

La comunidad científica acepta que las características caóticas encontradas en los modelos de Lorenz de baja dimensión podrían representar características de la atmósfera terrestre, [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] dando lugar a la afirmación de que “el clima es caótico”. En comparación, basándose en el concepto de coexistencia de atractores dentro del modelo de Lorenz generalizado [ 22 ] y el modelo de Lorenz original, [ 23 ] [ 24 ] Shen y sus coautores propusieron una visión revisada según la cual “el clima posee tanto caos como orden con distinta predictibilidad”. [ 21 ] [ 25 ] Esta visión revisada, que es una ampliación de la visión convencional, se utiliza para sugerir que “las características caóticas y regulares encontradas en los modelos teóricos de Lorenz podrían representar mejor las características de la atmósfera terrestre”.

Resolución del decimocuarto problema de Smale

El problema número 14 de Smale pregunta: "¿Las propiedades del atractor de Lorenz exhiben las de un atractor extraño ?". Warwick Tucker respondió afirmativamente al problema en 2002. [ 16 ] Para demostrar este resultado, Tucker utilizó métodos numéricos rigurosos como la aritmética de intervalos y las formas normales . Primero, Tucker definió una sección transversalΣ⊂{incógnita3=r−1}{\displaystyle \Sigma \subset \{x_{3}=r-1\}}que es cortada transversalmente por las trayectorias del flujo. A partir de esto, se puede definir el mapa de primer retorno.PAG{\displaystyle P}, que asigna a cadaincógnita∈Σ{\displaystyle x\in \Sigma }el puntoPAG(incógnita){\displaystyle P(x)}donde la trayectoria deincógnita{\displaystyle x}primera intersectaΣ{\displaystyle \Sigma }.

Luego, la demostración se divide en tres puntos principales que se prueban e implican la existencia de un atractor extraño. [ 26 ] Los tres puntos son:

  • Existe una regiónnorte⊂Σ{\displaystyle N\subset \Sigma }invariante bajo el mapa de primer retorno, lo que significaPAG(norte)⊂norte{\displaystyle P(N)\subset N}.
  • El mapa de retorno admite un campo cónico invariante hacia adelante.
  • Los vectores dentro de este campo cónico invariante se expanden uniformemente mediante la derivada.DPAG{\displaystyle DP}del mapa de retorno.

Para demostrar el primer punto, observamos que la sección transversalΣ{\displaystyle \Sigma }está cortada por dos arcos formados porPAG(Σ){\displaystyle P(\Sigma )}. [ 26 ] Tucker cubre la ubicación de estos dos arcos con pequeños rectángulosRi{\displaystyle R_{i}}, la unión de estos rectángulos danorte{\displaystyle N}. Ahora, el objetivo es demostrar que para todos los puntos ennorte{\displaystyle N}, el flujo devolverá los puntos enΣ{\displaystyle \Sigma }, ennorte{\displaystyle N}Para ello, tomamos un plan.Σ′{\displaystyle \Sigma '}abajoΣ{\displaystyle \Sigma }a distanciah{\displaystyle h}pequeño, luego tomando el centrodoi{\displaystyle c_{i}}deRi{\displaystyle R_{i}}y utilizando el método de integración de Euler , se puede estimar hacia dónde conducirá el flujo.doi{\displaystyle c_{i}}enΣ′{\displaystyle \Sigma '}lo cual nos da un nuevo puntodoi′{\displaystyle c_{i}'}. Entonces, se puede estimar dónde se encuentran los puntos enΣ{\displaystyle \Sigma }se mapeará enΣ′{\displaystyle \Sigma '}Utilizando la expansión de Taylor , obtenemos un nuevo rectángulo.Ri′{\displaystyle R_{i}'}centrado endoi{\displaystyle c_{i}}. Por lo tanto sabemos que todos los puntos enRi{\displaystyle R_{i}}se mapeará enRi′{\displaystyle R_{i}'}. El objetivo es realizar este método recursivamente hasta que el flujo vuelva a serΣ{\displaystyle \Sigma }y obtenemos un rectánguloRFi{\displaystyle Rf_{i}}enΣ{\displaystyle \Sigma }de tal manera que sabemos quePAG(Ri)⊂RFi{\displaystyle P(R_{i})\subset Rf_{i}}El problema es que nuestra estimación puede volverse imprecisa después de varias iteraciones, por lo que lo que hace Tucker es dividir.Ri′{\displaystyle R_{i}'}en rectángulos más pequeñosRi,j{\displaystyle R_{i,j}}y luego aplicar el proceso recursivamente. Otro problema es que, al aplicar este algoritmo, el flujo se vuelve más "horizontal" [ 26 ] , lo que conlleva un aumento drástico de la imprecisión. Para evitar esto, el algoritmo cambia la orientación de las secciones transversales, haciéndolas horizontales o verticales.

Véase también

Notas

  1. 1 2 3 4 5 6 Lorenz (1963)
  2. ↑ Lorenz (1960)
  3. 1 2 Gorrión (1982)
  4. ↑ Haken (1975)
  5. ↑ Knobloch (1981)
  6. ↑ Cuomo y Oppenheim (1993)
  7. ↑ Polonia (1993)
  8. ↑ Hirsch, Smale y Devaney (2003) , págs. 303–305
  9. ↑ Hirsch, Smale y Devaney (2003) , págs. 306+307
  10. ↑ Hirsch, Smale y Devaney (2003) , págs. 307–308
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  • Ecuación de Lorenz en PlanetMath .
  • Caos sincronizado y comunicaciones privadas, con Kevin Cuomo . La implementación del atractor de Lorenz en un circuito electrónico.
  • Atractores 3D: Programa para Mac para visualizar y explorar el atractor de Lorenz en 3 dimensiones.
  • Atractor de Lorenz: sistema de partículas 3D con parámetros interactivos
  • Atractor de Lorenz implementado en electrónica analógica
  • Animación interactiva del atractor de Lorenz (implementada en Ada con GTK+. Código fuente y ejecutable).