Espacio L p

En matemáticas , los espacios L ^p son espacios de funciones definidos mediante una generalización natural de la norma p para espacios vectoriales de dimensión finita . A veces se les llama espacios de Lebesgue , en honor a Henri Lebesgue ( Dunford y Schwartz 1958 , III.3) , aunque según el grupo de Bourbaki ( Bourbaki 1987 ) fueron introducidos por primera vez por Frigyes Riesz ( Riesz 1910 ) .

Los espacios L ^p forman una clase importante de espacios de Banach en el análisis funcional y de espacios vectoriales topológicos . Debido a su papel fundamental en el análisis matemático de espacios de medida y probabilidad, los espacios de Lebesgue también se utilizan en el análisis teórico de problemas de física, estadística, economía, finanzas, ingeniería y otras disciplinas.

El${\displaystyle p}$La norma - se puede extender a vectores que tienen un número infinito de componentes ( secuencias ), lo que produce el espacio${\displaystyle \ell ^{p}.}$Esto incluye como casos especiales:

• ${\displaystyle \ell ^{1},}$el espacio de sucesiones cuyas series son absolutamente convergentes ,
• ${\displaystyle \ell ^{2},}$el espacio de secuencias sumables al cuadrado , que es un espacio de Hilbert , y
• ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$el espacio de secuencias acotadas .

El espacio de secuencias tiene una estructura de espacio vectorial natural al aplicar la suma y la multiplicación escalares. Explícitamente, la suma vectorial y la acción escalar para secuencias infinitas de números reales (o complejos ) vienen dadas por: $${\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots )+(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},y_{n+1},\ldots )\\={}&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\ldots ),\\[6pt]&\lambda \cdot \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\\={}&(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\ldots ).\end{aligned}}}$$

Defina el${\displaystyle p}$-norma: $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\cdots \right)^{1/p}}$$

Aquí surge una complicación, a saber, que la serie de la derecha no siempre es convergente, por ejemplo, la secuencia compuesta solo por unos,${\displaystyle (1,1,1,\ldots ),}$tendrá un infinito${\displaystyle p}$-norma para${\displaystyle 1\leq p<\infty .}$El espacio${\displaystyle \ell ^{p}}$entonces se define como el conjunto de todas las secuencias infinitas de números reales (o complejos) tales que${\displaystyle p}$La norma es finita.

Se puede comprobar eso como${\displaystyle p}$aumenta, el conjunto${\displaystyle \ell ^{p}}$crece más grande. Por ejemplo, la secuencia $${\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},\ldots ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\ldots \right)}$$ no está en${\displaystyle \ell ^{1},}$pero está en${\displaystyle \ell ^{p}}$para${\displaystyle p>1,}$como la serie $${\displaystyle 1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\cdots ,}$$ diverge para${\displaystyle p=1}$(la serie armónica ), pero es convergente para${\displaystyle p>1.}$

También se define el${\displaystyle \infty }$-norma utilizando el supremo : $${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup(|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\ldots )}$$ y el espacio correspondiente${\displaystyle \ell ^{\infty }}$de todas las secuencias acotadas. Resulta que ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}}$$ si el lado derecho es finito o el lado izquierdo es infinito. Por lo tanto, consideraremos${\displaystyle \ell ^{p}}$espacios para${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$

El${\displaystyle p}$-norma definida así en${\displaystyle \ell ^{p}}$es de hecho una norma, y${\displaystyle \ell ^{p}}$Junto con esta norma se encuentra un espacio de Banach .

Un${\displaystyle L^{p}}$El espacio puede definirse como un espacio de funciones medibles para las cuales la${\displaystyle p}$La -ésima potencia del valor absoluto es integrable de Lebesgue , donde las funciones que coinciden casi en todas partes se identifican. De forma más general, sea${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ser una medida espacio y${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$^{[ nota 3 ]} Cuando${\displaystyle p\neq \infty }$, considere el conjunto${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$de todas las funciones medibles${\displaystyle f}$de${\displaystyle S}$a${\displaystyle \mathbb {C} }$o${\displaystyle \mathbb {R} }$cuyo valor absoluto elevado a la${\displaystyle p}$La potencia -ésima tiene una integral finita, o en símbolos: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \|f\|_{p}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty .}$$

Para definir el conjunto para${\displaystyle p=\infty ,}$recordemos que dos funciones${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$definido en${\displaystyle S}$Se dice que son iguales en casi todas partes , escrito${\displaystyle f=g}$ae , si el conjunto${\displaystyle \{s\in S:f(s)\neq g(s)\}}$es medible y tiene medida cero. De manera similar, una función medible${\displaystyle f}$(y su valor absoluto ) está acotado (o dominado ) casi en todas partes por un número real.${\displaystyle C,}$escrito${\displaystyle |f|\leq C}$ae , si el conjunto (necesariamente) medible${\displaystyle \{s\in S:|f(s)|>C\}}$tiene medida cero. El espacio${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}$es el conjunto de todas las funciones medibles${\displaystyle f}$que están delimitados casi en todas partes (por algún real${\displaystyle C}$) y${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$se define como el ínfimo de estos límites: $${\displaystyle \|f\|_{\infty }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(s)|\leq C{\text{ for almost every }}s\}.}$$ Cuando${\displaystyle \mu (S)\neq 0}$entonces esto es lo mismo que el supremo esencial del valor absoluto de${\displaystyle f}$: ^{[ nota 4 ]}$${\displaystyle \|f\|_{\infty }~=~{\begin{cases}\operatorname {esssup} |f|&{\text{if }}\mu (S)>0,\\0&{\text{if }}\mu (S)=0.\end{cases}}}$$

Por ejemplo, si${\displaystyle f}$es una función medible que es igual a${\displaystyle 0}$casi en todas partes ^{[ nota 5 ]} entonces${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$por cada${\displaystyle p}$y por lo tanto${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$a pesar de${\displaystyle p.}$

Por cada positivo${\displaystyle p,}$el valor bajo${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{p}}$de una función medible${\displaystyle f}$y su valor absoluto${\displaystyle |f|:S\to [0,\infty ]}$son siempre los mismos (es decir,${\displaystyle \|f\|_{p}=\||f|\|_{p}}$a pesar de${\displaystyle p}$) y por lo tanto una función medible pertenece a${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$si y solo si su valor absoluto lo hace. Debido a esto, muchas fórmulas que involucran${\displaystyle p}$Las normas se establecen únicamente para funciones reales no negativas. Consideremos, por ejemplo, la identidad.${\displaystyle \|f\|_{p}^{r}=\|f^{r}\|_{p/r},}$lo cual se cumple siempre${\displaystyle f\geq 0}$es medible,${\displaystyle r>0}$es real y${\displaystyle 0<p\leq \infty }$(aquí${\displaystyle \infty /r\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\infty }$cuando${\displaystyle p=\infty }$). El requisito de no negatividad${\displaystyle f\geq 0}$puede eliminarse mediante sustitución${\displaystyle |f|}$en para${\displaystyle f,}$lo cual da${\displaystyle \|\,|f|\,\|_{p}^{r}=\|\,|f|^{r}\,\|_{p/r}.}$ Nótese en particular que cuando${\displaystyle p=r}$es finito entonces la fórmula${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}$relata el${\displaystyle p}$-norma para la${\displaystyle 1}$-norma.

Espacio seminormado de${\displaystyle p}$-funciones integrables de potencia -th

Cada conjunto de funciones${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$forma un espacio vectorial cuando la suma y la multiplicación escalar se definen punto por punto. ^{[ nota 6 ]} Que la suma de dos${\displaystyle p}$-funciones integrables de potencia -th${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$es de nuevo${\displaystyle p}$La potencia integrable -ésima se deduce de${\textstyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right),}$^{[ prueba 1 ]} aunque también es una consecuencia dela desigualdad de Minkowski.$${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$$ lo cual establece que${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$satisface la desigualdad triangular para${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$(la desigualdad triangular no se cumple para${\displaystyle 0<p<1}$). Eso${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$está cerrado bajo multiplicación escalar se debe a${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ser absolutamente homogéneo , lo que significa que${\displaystyle \|sf\|_{p}=|s|\|f\|_{p}}$para cada escalar${\displaystyle s}$y cada función${\displaystyle f.}$

La homogeneidad absoluta , la desigualdad triangular y la no negatividad son las propiedades que definen una seminorma . Por lo tanto,${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$es una semirroma y el conjunto${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$de${\displaystyle p}$funciones integrables de -ésima potencia junto con la función${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$define un espacio vectorial seminormado . En general, la seminorma${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$no es una norma porque podrían existir funciones medibles${\displaystyle f}$que satisfacen${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$pero no son idénticamente iguales a${\displaystyle 0}$^{[ nota 5 ]} (${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$es una norma si y solo si no existe tal${\displaystyle f}$existe).

Conjuntos cero de${\displaystyle p}$-seminormas

Si${\displaystyle f}$es medible y es igual a${\displaystyle 0}$entonces${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$para todos los positivos${\displaystyle p\leq \infty .}$ Por otro lado, si${\displaystyle f}$es una función medible para la cual existe alguna${\displaystyle 0<p\leq \infty }$de tal manera que${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$entonces${\displaystyle f=0}$casi en todas partes. Cuando${\displaystyle p}$es finito entonces esto se deduce de la${\displaystyle p=1}$caso y fórmula${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}$mencionado anteriormente.

Por lo tanto, si${\displaystyle p\leq \infty }$es positivo y${\displaystyle f}$es cualquier función medible, entonces${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$si y solo si${\displaystyle f=0}$casi en todas partes . Dado que el lado derecho (${\displaystyle f=0}$ae) no menciona${\displaystyle p,}$De ello se deduce que todo${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$tienen el mismo conjunto cero (no depende de${\displaystyle p}$). Así pues, denotemos este conjunto común por $${\displaystyle {\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f:f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}\qquad \forall \ p.}$$ Este conjunto es un subespacio vectorial de${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$por cada positivo${\displaystyle p\leq \infty .}$

espacio vectorial cociente

Como toda seminorma , la seminorma${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$induce una norma (definida brevemente) en el espacio vectorial cociente canónico de${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$por su subespacio vectorial ${\textstyle {\mathcal {N}}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}.}$ Este espacio cociente normado se denomina espacio de Lebesgue y es el tema de este artículo. Comenzamos definiendo el espacio vectorial cociente.

Dado cualquier${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$el arrullo${\displaystyle f+{\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}$consta de todas las funciones medibles${\displaystyle g}$que son iguales a${\displaystyle f}$casi en todas partes . El conjunto de todas las clases laterales, típicamente denotado por $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\},}$$ forma un espacio vectorial con origen${\displaystyle 0+{\mathcal {N}}={\mathcal {N}}}$cuando la suma de vectores y la multiplicación escalar se definen por${\displaystyle (f+{\mathcal {N}})+(g+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(f+g)+{\mathcal {N}}}$y${\displaystyle s(f+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(sf)+{\mathcal {N}}.}$ Este espacio vectorial cociente en particular se denotará por $${\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}.}$$ Dos clases laterales son iguales${\displaystyle f+{\mathcal {N}}=g+{\mathcal {N}}}$si y solo si${\displaystyle g\in f+{\mathcal {N}}}$(o equivalentemente,${\displaystyle f-g\in {\mathcal {N}}}$), lo cual sucede si y solo si${\displaystyle f=g}$casi en todas partes; si este es el caso entonces${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$se identifican en el espacio cociente. Por lo tanto, hablando estrictamente${\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )}$Consiste en clases de equivalencia de funciones. ^{[ 7 ]}

El${\displaystyle p}$-norma en el espacio vectorial cociente

Dado cualquier${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$el valor de la seminorma${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$en la cuna${\displaystyle f+{\mathcal {N}}=\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}$es constante e igual a${\displaystyle \|f\|_{p};}$denotemos este valor único por${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p},}$de modo que: $${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\|f\|_{p}.}$$ Esta tarea${\displaystyle f+{\mathcal {N}}\mapsto \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}$define un mapa, que también se denotará por${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$en el espacio vectorial cociente$${\displaystyle L^{p}(S,\mu )~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~=~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\}.}$$ Este mapa es una norma en${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$llamado el${\displaystyle p}$-norma . El valor${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}$de una coset${\displaystyle f+{\mathcal {N}}}$es independiente de la función particular${\displaystyle f}$que fue elegido para representar la clase lateral, lo que significa que si${\displaystyle {\mathcal {C}}\in L^{p}(S,\mu )}$¿Hay alguna clase lateral entonces?${\displaystyle \|{\mathcal {C}}\|_{p}=\|f\|_{p}}$por cada${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$(desde${\displaystyle {\mathcal {C}}=f+{\mathcal {N}}}$por cada${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$).

El Lebesgue${\displaystyle L^{p}}$espacio

El espacio vectorial normado${\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$se llama${\displaystyle L^{p}}$espacio o el espacio de Lebesgue de${\displaystyle p}$-ésima potencia integrable funciones y es un espacio de Banach para cada${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$(lo que significa que es un espacio métrico completo , un resultado que a veces se denomina teorema de Riesz-Fischer ). Cuando el espacio de medida subyacente${\displaystyle S}$entonces se entiende${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$a menudo se abrevia${\displaystyle L^{p}(\mu ),}$o incluso solo${\displaystyle L^{p}.}$ Dependiendo del autor, la notación de subíndice${\displaystyle L_{p}}$podría denotar cualquiera de las dos${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$o${\displaystyle L^{1/p}(S,\mu ).}$

Si la semirrecta${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$en${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$resulta ser una norma (lo cual sucede si y solo si${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{0\}}$) entonces el espacio normado${\displaystyle \left({\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$será linealmente isométricamente isomorfo al espacio cociente normado${\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$a través del mapa canónico${\displaystyle g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )\mapsto \{g\}}$(desde${\displaystyle g+{\mathcal {N}}=\{g\}}$); en otras palabras, serán, salvo una isometría lineal , el mismo espacio normado y, por lo tanto, ambos pueden llamarse "${\displaystyle L^{p}}$espacio".

Las definiciones anteriores se generalizan a los espacios de Bochner .

En general, este proceso no se puede revertir: no hay una forma consistente de definir un representante "canónico" de cada clase lateral de${\displaystyle {\mathcal {N}}}$en${\displaystyle L^{p}.}$Para${\displaystyle L^{\infty },}$Sin embargo, existe una teoría sobre los sistemas de elevación que permiten dicha recuperación.