Número de Lucas

La sucesión de Lucas es una sucesión de números enteros que recibe su nombre del matemático François Édouard Anatole Lucas (1842-1891 ) , quien estudió tanto esta sucesión como la estrechamente relacionada sucesión de Fibonacci . Los números individuales de la sucesión de Lucas se conocen como números de Lucas . Los números de Lucas y los números de Fibonacci forman instancias complementarias de las sucesiones de Lucas .

La sucesión de Lucas tiene la misma relación recursiva que la sucesión de Fibonacci, donde cada término es la suma de los dos términos anteriores, pero con valores iniciales diferentes. ^{[ 1 ]} Esto produce una sucesión donde las razones de los términos sucesivos se aproximan a la proporción áurea , y de hecho, los términos mismos son redondeos de potencias enteras de la proporción áurea. ^{[ 2 ]} La sucesión también tiene diversas relaciones con los números de Fibonacci, como el hecho de que la suma de dos números de Fibonacci separados por dos términos en la sucesión de Fibonacci da como resultado el número de Lucas intermedio. ^{[ 3 ]}

Los primeros números de Lucas son

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, ... . (secuencia A000032 en el OEIS )

lo que coincide, por ejemplo, con el número de conjuntos de vértices independientes para grafos cíclicos.${\displaystyle C_{n}}$de longitud${\displaystyle n\geq 2}$. ^{[ 1 ]}

Al igual que con los números de Fibonacci, cada número de Lucas se define como la suma de sus dos términos inmediatamente anteriores, formando así una secuencia entera de Fibonacci . Los dos primeros números de Lucas son:${\displaystyle L_{0}=2}$y${\displaystyle L_{1}=1}$, que difiere de los dos primeros números de Fibonacci${\displaystyle F_{0}=0}$y${\displaystyle F_{1}=1}$Aunque están estrechamente relacionados en su definición, los números de Lucas y de Fibonacci presentan propiedades distintas.

Los números de Lucas pueden definirse, por lo tanto, de la siguiente manera:

${\displaystyle L_{n}:={\begin{cases}2&{\text{si }}n=0;\\1&{\text{si }}n=1;\\L_{n-1}+L_{n-2}&{\text{si }}n>1.\end{cases}}}$

(donde n pertenece a los números naturales )

Todas las secuencias de enteros tipo Fibonacci aparecen en forma desplazada como una fila de la matriz de Wythoff ; la secuencia de Fibonacci es la primera fila y la secuencia de Lucas es la segunda. Además, al igual que todas las secuencias de enteros tipo Fibonacci, la razón entre dos números de Lucas consecutivos converge a la razón áurea .

Usando${\displaystyle L_{n-2}=L_{n}-L_{n-1}}$, se pueden extender los números de Lucas a enteros negativos para obtener una secuencia doblemente infinita:

..., − 11, 7, − 4, 3, − 1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... (términos${\displaystyle L_{n}}$para${\displaystyle -5\leq {}n\leq 5}$se muestran).

La fórmula para los términos con índices negativos en esta secuencia es

${\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!}$

Los números de Lucas están relacionados con los números de Fibonacci mediante muchas identidades . Entre ellas se encuentran las siguientes:

• ${\displaystyle L_{n}=F_{n+1}+F_{n-1}=F_{n+2}-F_{n-2}.}$
• ${\displaystyle L_{n+k}=L_{n+1}F_{k}+L_{n}F_{k-1}.}$
• ${\displaystyle F_{n+k}=L_{k}F_{n}-(-1)^{k}F_{nk};}$en particular cuando${\displaystyle k=n,}$${\displaystyle F_{2n}=L_{n}F_{n}.}$
• ${\displaystyle 2F_{n+k}=L_{n}F_{k}+L_{k}F_{n}.}$
• ${\displaystyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$, entonces${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}.}$
• ${\displaystyle L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}={\frac {2}{(-\varphi )^{n}}}\to 0.}$
• ${\displaystyle L_{n+k}-(-1)^{k}L_{nk}=5F_{n}F_{k}}$; en particular cuando${\displaystyle k=1,}$${\displaystyle 5F_{n}=L_{n+1}+L_{n-1}=2L_{n+1}-L_{n}=L_{n}+2L_{n-1},}$mientras que cuando${\displaystyle k=n,}$la identidad anterior para${\displaystyle L_{2n}}$se obtiene.

Su fórmula cerrada se da como:

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n},}$

dónde${\displaystyle \varphi }$es la proporción áurea . Para${\displaystyle n>1}$la magnitud del término${\textstyle (1-\varphi )^{n}}$es menor que 1/2, por lo tanto${\displaystyle L_{n}}$es el entero más cercano a${\displaystyle \varphi ^{n}}$o, equivalentemente, la parte entera de${\displaystyle \varphi ^{n}+1/2}$, también escrito como${\displaystyle \lfloor \varphi ^{n}+1/2\rfloor }$.

Combinando lo anterior con la fórmula de Binet ,

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}\,,}$

una fórmula para${\displaystyle \varphi ^{n}}$se obtiene:

${\displaystyle \varphi ^{n}={L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}} \over 2}\,.}$

Para enteros n ≥ 2, también obtenemos:

${\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(1-\varphi )^{n}=L_{n}-(-1)^{n}L_{n}^{-1}-L_{n}^{-3}+R}$

con el resto R satisfaciendo

${\displaystyle \vert R\vert <3L_{n}^{-5}.}$

Muchas de las identidades de Fibonacci tienen paralelismos en los números de Lucas. Por ejemplo, la identidad de Cassini se convierte en

${\displaystyle L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=(-1)^{n}5}$

También

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}=L_{n+2}-1}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}^{2}=L_{n}L_{n+1}+2}$

${\displaystyle 2L_{n-1}^{2}+L_{n}^{2}=L_{2n+1}+5F_{n-2}^{2}}$

dónde${\displaystyle \textstyle F_{n}={\frac {L_{n-1}+L_{n+1}}{5}}}$.

${\displaystyle L_{n}^{k}=\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {k}{2}}\rfloor }(-1)^{nj}{\binom {k}{j}}L'_{(k-2j)n}}$

dónde${\displaystyle L'_{n}=L_{n}}$excepto${\displaystyle L'_{0}=1}$.

Por ejemplo, si n es impar ,${\displaystyle L_{n}^{3}=L'_{3n}-3L'_{n}}$y${\displaystyle L_{n}^{4}=L'_{4n}-4L'_{2n}+6L'_{0}}$

De cheques,${\displaystyle L_{3}=4,4^{3}=64=76-3(4)}$, y${\displaystyle 256=322-4(18)+6}$

La función generadora ordinaria de la secuencia de números de Lucas es la serie de potencias.

$${\displaystyle \Phi (x)=\sum _{k=0}^{\infty }L_{k}x^{k}=2+x+3x^{2}+4x^{3}+7x^{4}+11x^{5}+\cdots .}$$

Esta serie es convergente para cualquier número complejo.${\displaystyle x}$satisfactorio${\displaystyle |x|<1/\varphi \approx 0.618,}$y su suma tiene una forma cerrada simple: $${\displaystyle \Phi (x)={\frac {2-x}{1-x-x^{2}}}.}$$

Esto se puede demostrar multiplicando por${\textstyle (1-x-x^{2})}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}(1-x-x^{2})\Phi (x)&=\sum _{k=0}^{\infty }L_{k}x^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }L_{k}x^{k+1}-\sum _{k=0}^{\infty }L_{k}x^{k+2}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }L_{k}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }L_{k-1}x^{k}-\sum _{k=2}^{\infty }L_{k-2}x^{k}\\&=2x^{0}+1x^{1}-2x^{1}+\sum _{k=2}^{\infty }(L_{k}-L_{k-1}-L_{k-2})x^{k}\\&=2-x,\end{aligned}}}$$ donde todos los términos que involucran${\displaystyle x^{k}}$para${\displaystyle k\geq 2}$se cancelan debido a la relación de recurrencia definitoria de los números de Lucas.

${\displaystyle \Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)}$proporciona la función generadora para los números de Lucas con índice negativo ,${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}L_{n}x^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }L_{-n}x^{-n}}$, y

${\displaystyle \Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)={\frac {x+2x^{2}}{1-x-x^{2}}}}$

${\displaystyle \Phi (x)}$satisface la ecuación funcional

${\displaystyle \Phi (x)-\Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)=2}$

Como la función generadora para los números de Fibonacci viene dada por

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

tenemos

${\displaystyle s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{1-x-x^{2}}}}$

lo cual prueba que

${\displaystyle F_{n}+L_{n}=2F_{n+1},}$

y

${\displaystyle 5s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{x}}\Phi (-{\frac {1}{x}})=2{\frac {1}{1-x-x^{2}}}+4{\frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

demuestra que

${\displaystyle 5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}}$

La descomposición en fracciones parciales viene dada por

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}}$

dónde${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$es la proporción áurea y${\displaystyle \psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$es su conjugado .

Esto se puede utilizar para demostrar la función generadora, ya que

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(\phi ^{n}+\psi ^{n})x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\phi ^{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{n}x^{n}={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}=\Phi (x)}$

Usando${\displaystyle x}$igual a cualquiera de 0.01, 0.001, 0.0001, etc., establece los primeros números de Lucas en la expansión decimal de${\displaystyle \Phi (x)}$. Por ejemplo,${\displaystyle \Phi (0.001)={\frac {1.999}{0.998999}}={\frac {1999000}{998999}}=2.001003004007011018029047\ldots .}$

Si${\displaystyle F_{n}\geq 5}$Si es un número de Fibonacci, entonces ningún número de Lucas es divisible por${\displaystyle F_{n}}$.

Los números de Lucas satisfacen la congruencia de Gauss . Esto implica que${\displaystyle L_{n}}$es congruente con 1 módulo${\displaystyle n}$si${\displaystyle n}$es primo . Los valores compuestos de${\displaystyle n}$Los números que satisfacen esta propiedad se conocen como pseudoprimos de Fibonacci .

${\displaystyle L_{n}-L_{n-4}}$es congruente con 0 módulo 5.

Un número primo de Lucas es un número primo de Lucas . Los primeros números primos de Lucas son:

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... (secuencia A005479 en el OEIS ) .

Los índices de estos primos son (por ejemplo, L ₄ = 7)

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... (secuencia A001606 en el OEIS ) .

A septiembre de 2015 El primo de Lucas más grande confirmado es L ₁₄₈₀₉₁ , que tiene 30950 dígitos decimales. ^{[ 4 ]} A partir de agosto de 2022 , el primo probable de Lucas más grande conocido es L _5466311 , con 1.142.392 dígitos decimales. ^{[ 5 ]}

Si L _n es primo, entonces n es 0, primo o una potencia de 2. [ ^{6 ] L} 2 _{m ^es} primo para m  = 1,  2,  3  y  4 y ningún otro valor conocido de m . 

De la misma manera que los polinomios de Fibonacci se derivan de los números de Fibonacci , los polinomios de Lucas${\displaystyle L_{n}(x)}$son una secuencia polinómica derivada de los números de Lucas.

Para todos los valores de n , excepto los más pequeños , el entero L _n se aproxima muy estrechamente a la n -ésima potencia de la proporción áurea ,  ${\displaystyle \varphi ^{n}}$⁠ . Además,se pueden obtener aproximaciones racionales cercanas para potencias de la proporción áurea a partir de sus fracciones continuas .

Para enteros positivos n , las fracciones continuas son:

${\displaystyle \varphi ^{2n-1}=[L_{2n-1};L_{2n-1},L_{2n-1},L_{2n-1},\ldots ]}$

${\displaystyle \varphi ^{2n}=[L_{2n}-1;1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,\ldots ]}$.

Por ejemplo:

${\displaystyle \varphi ^{5}=[11;11,11,11,\ldots ]}$

es el límite de

${\displaystyle {\frac {11}{1}},{\frac {122}{11}},{\frac {1353}{122}},{\frac {15005}{1353}},\ldots }$

con un error en cada término de aproximadamente el 1% del error en el término anterior; y

${\displaystyle \varphi ^{6}=[18-1;1,18-2,1,18-2,1,18-2,1,\ldots ]=[17;1,16,1,16,1,16,1,\ldots ]}$

es el límite de

${\displaystyle {\frac {17}{1}},{\frac {18}{1}},{\frac {305}{17}},{\frac {323}{18}},{\frac {5473}{305}},{\frac {5796}{323}},{\frac {98209}{5473}},{\frac {104005}{5796}},\ldots }$

con un error en cada término de aproximadamente el 0,3% del segundo término anterior.

Los números de Lucas son el segundo patrón más común en los girasoles después de los números de Fibonacci, cuando se cuentan las espirales en sentido horario y antihorario, según un análisis de 657 girasoles en 2016. ^{[ 7 ]}

• Generalizaciones de los números de Fibonacci

• "Polinomios de Lucas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Número de Lucas" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Polinomio de Lucas" . MundoMatemático .
• " Los números de Lucas ", Dr. Ron Knott
• Los números de Lucas y la sección áurea.
• Aquí encontrará una calculadora de números de Lucas.
• Secuencia OEIS A000032 (números de Lucas que comienzan en 2)