Triángulo de Schwarz

Los triángulos de Schwarz con números enteros, también llamados triángulos de Möbius , incluyen una familia de un parámetro y tres casos excepcionales :

1. [ p ,2] o ( p 2 2) – Simetría diedral ,
2. [3,3] o (3 3 2) – Simetría tetraédrica ,
3. [4,3] o (4 3 2) – Simetría octaédrica ,
4. [5,3] o (5 3 2) – Simetría icosaédrica ,

Los triángulos de Schwarz ( p q r ), agrupados por densidad :

Densidad 1:

1. (3 3 3) – 60-60-60 ( equilátero ),
2. (4 4 2) – 45-45-90 (isósceles a la derecha),
3. (6 3 2) – 30-60-90 ,

Densidad 2:

1. (6 6 3/2) - Triángulo 120-30-30

Densidad ∞:

1. (4 4/3 ∞)
2. (3 3/2 ∞)
3. (6 6/5 ∞)

Densidad 1:

• (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞)
• (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
• (2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
• (2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
• (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞)
• (3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
• (3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
• (3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
• ...
• (∞ ∞ ∞)

Densidad 2:

• (3/2 7 7), (3/2 8 8), (3/2 9 9) ... (3/2 ∞ ∞)
• (5/2 4 4), (5/2 5 5), (5/2 6 6) ... (5/2 ∞ ∞)
• (7/2 3 3), (7/2 4 4), (7/2 5 5) ... (7/2 ∞ ∞)
• (9/2 3 3), (9/2 4 4), (9/2 5 5) ... (9/2 ∞ ∞)
• ...

Densidad 3:

• (2 7/2 7), (2 9/2 9), (2 11/2 11) ...

Densidad 4:

• (7/3 3 7), (8/3 3 8), (3 10/3 10), (3 11/3 11) ...

Densidad 6:

• (7/4 7 7), (9/4 9 9), (11/4 11 11) ...
• (7/2 7/2 7/2), (9/2 9/2 9/2), ...

Densidad 10:

• (3 7/2 7)

El triángulo de Schwarz (2 3 7) es el triángulo de Schwarz hiperbólico más pequeño y, como tal, es de particular interés. Su grupo triangular (o más precisamente el grupo de von Dyck de índice 2 de isometrías que preservan la orientación) es el grupo triangular (2,3,7) , que es el grupo universal para todos los grupos de Hurwitz : grupos maximales de isometrías de superficies de Riemann . Todos los grupos de Hurwitz son cocientes del grupo triangular (2,3,7), y todas las superficies de Hurwitz están teseladas por el triángulo de Schwarz (2,3,7). El grupo de Hurwitz más pequeño es el grupo simple de orden 168, el segundo grupo simple no abeliano más pequeño , que es isomorfo a PSL(2,7) , y la superficie de Hurwitz asociada (de género 3) es la cuártica de Klein .

Los triángulos (2 3 8) recubren la superficie de Bolza , una superficie altamente simétrica (pero no de Hurwitz) de género 2.

Los triángulos con un ángulo no entero, enumerados anteriormente, fueron clasificados por primera vez por Anthony W. Knapp en ^{[ 1 ]} . Una lista de triángulos con múltiples ángulos no enteros se presenta en ^{[ 2 ] .}

Supongamos que el triángulo hiperbólico Δ ​​tiene ángulos π / a , π / b y π / c con a , b , c enteros mayores que 1. El área hiperbólica de Δ es igual a π − π / a − π / b − π / c , de modo que

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}<1.}$

La construcción de una teselación se llevará a cabo primero para el caso en que a , b y c sean mayores que 2. ^{[ 3 ]}

El triángulo original Δ da un polígono convexo P ₁ con 3 vértices. En cada uno de los tres vértices, el triángulo se puede reflejar sucesivamente a través de aristas que emanan de los vértices para producir 2 m copias del triángulo donde el ángulo en el vértice es π / m . Los triángulos no se superponen excepto en las aristas, la mitad de ellos tienen su orientación invertida y encajan para teselar un vecindario del punto. La unión de estos nuevos triángulos junto con el triángulo original forma una figura conectada P _2. Está compuesta por triángulos que solo se intersecan en aristas o vértices, forma un polígono convexo con todos los ángulos menores o iguales a π y cada lado es la arista de un triángulo reflejado. En el caso de que un ángulo de Δ sea igual a π /3, un vértice de P ₂ tendrá un ángulo interior de π , pero esto no afecta la convexidad de P ₂ . Incluso en este caso degenerado en el que surge un ángulo de π , los dos bordes colineales todavía se consideran distintos a efectos de la construcción.

La construcción de P ₂ se puede comprender mejor al observar que algunos triángulos o teselas se añaden dos veces, los tres que tienen un lado en común con el triángulo original. El resto solo tienen un vértice en común. Una forma más sistemática de realizar el recubrimiento es añadir primero una tesela a cada lado (la reflexión del triángulo en esa arista) y luego rellenar los huecos en cada vértice. Esto da como resultado un total de 3 + (2 a − 3) + (2 b − 3) + (2 c − 3) = 2( a + b + c ) − 6 nuevos triángulos. Los nuevos vértices son de dos tipos. Aquellos que son vértices de los triángulos unidos a lados del triángulo original, que están conectados a 2 vértices de Δ. Cada uno de estos se encuentra en tres nuevos triángulos que se intersecan en ese vértice. El resto está conectado a un único vértice de Δ y pertenece a dos nuevos triángulos que tienen una arista común. Así, hay 3 + (2 a − 4) + (2 b − 4) + (2 c − 4) = 2( a + b + c ) − 9 nuevos vértices. Por construcción, no hay superposición. Para ver que P ₂ es convexo, basta con observar que el ángulo entre los lados que se unen en un nuevo vértice es menor o igual a π . Pero el nuevo vértice se encuentra en dos o tres nuevos triángulos que se unen en ese vértice, por lo que el ángulo en ese vértice no es mayor que 2 π /3 o π , como se requiere.

Este proceso puede repetirse para P2 para obtener P3 agregando primero teselas a cada arista de P2 y luego rellenando las teselas alrededor de cada vértice de _{P2 .} Luego _{, el} proceso puede repetirse desde P3 para obtener P4 y así sucesivamente, produciendo sucesivamente Pn a partir de Pn − 1. Se puede comprobar inductivamente que todos estos son polígonos convexos, con teselas que no se superponen. De hecho, como en el primer paso del proceso, hay dos tipos de teselas en la construcción de Pn a partir de Pn _{− 1} : _las que _están unidas _{a una arista} de Pn _{− 1 y las que están unidas a un solo vértice. De manera similar ,} hay dos tipos de vértices: uno en el que se encuentran dos teselas nuevas y otro en el que se encuentran tres. Por lo tanto, siempre que no haya superposición de teselas, el argumento anterior muestra que los ángulos en los vértices no son mayores que π y, por lo tanto _, que Pn es un polígono convexo. ^{[ a ]}

Por lo tanto, debe verificarse que al construir P _​​n a partir de P _{n − 1} : ^{[ 4 ]}

Para demostrar (a), observe que, por convexidad, el polígono P _{n − 1} es la intersección de los semiplanos convexos definidos por los arcos circulares completos que delimitan su frontera. Así, en un vértice dado de P _{n − 1} existen dos arcos circulares que definen dos sectores: uno contiene el interior de P _{n − 1} , y el otro, los interiores de los nuevos triángulos añadidos alrededor de dicho vértice. Esto se puede visualizar mediante una transformación de Möbius que mapea el semiplano superior al disco unitario y el vértice al origen; el interior del polígono y cada uno de los nuevos triángulos se encuentran en sectores diferentes del disco unitario. De este modo, se demuestra (a).

Antes de demostrar (c) y (b), se puede aplicar una transformación de Möbius para mapear el semiplano superior al disco unitario y un punto fijo en el interior de Δ al origen.

La demostración de (c) procede por inducción. Nótese que el radio que une el origen con un vértice del polígono P _{n − 1} forma un ángulo menor que 2π / 3 con cada una de las aristas del polígono en ese vértice si exactamente dos triángulos de P _{n − 1} se encuentran en dicho vértice, ya que cada uno tiene un ángulo menor o igual a π /3 en ese vértice. Para comprobar que esto es cierto cuando tres triángulos de P _{n − 1} se encuentran en el vértice C , supongamos que el triángulo central tiene su base en un lado AB de P _{n − 2.} Por inducción, los radios OA y OB forman ángulos menores o iguales a 2π / 3 con la arista AB . En este caso, la región en el sector comprendido entre los radios OA y OB fuera de la arista AB es convexa, ya que es la intersección de tres regiones convexas. Por inducción, los ángulos en A y B son mayores o iguales a π /3. Así, las geodésicas a C desde A y B parten de la región; por convexidad, el triángulo ABC se encuentra completamente dentro de la región. El cuadrilátero OACB tiene todos sus ángulos menores que π (ya que OAB es un triángulo geodésico), por lo que es convexo. Por lo tanto, el radio OC se encuentra dentro del ángulo del triángulo ABC cerca de C. Así, los ángulos entre OC y los dos lados de P _{n − 1} que se encuentran en C son menores o iguales a π /3 + π /3 = 2 π /3, como se afirma.

Para demostrar (b), hay que comprobar cómo se intersecan los nuevos triángulos en P _{n .}

Primero consideremos las teselas añadidas a las aristas de P _{n − 1} . Adoptando una notación similar a la de (c), sea AB la base de la tesela y C el tercer vértice. Entonces, los radios OA y OB forman ángulos menores o iguales a 2 π /3 con la arista AB y el razonamiento de la demostración de (c) se aplica para probar que el triángulo ABC se encuentra dentro del sector definido por los radios OA y OB . Esto es cierto para cada arista de P _{n − 1} . Dado que los interiores de los sectores definidos por aristas distintas son disjuntos, los nuevos triángulos de este tipo solo se intersecan como se afirma.

A continuación, consideremos las baldosas adicionales añadidas a cada vértice de P _{n − 1.} Tomando el vértice A , hay dos aristas AB ₁ y AB ₂ de P _{n − 1} que se encuentran en A. Sean C ₁ y C ₂ los vértices adicionales de las baldosas añadidas a estas aristas. Ahora bien, las baldosas adicionales añadidas en A se encuentran en el sector definido por los radios OB ₁ y OB _2. El polígono con vértices C ₂ O , C ₁ y los vértices de las baldosas adicionales tiene todos sus ángulos internos menores que π y, por lo tanto, es convexo. Por consiguiente, está completamente contenido en el sector definido por los radios OC ₁ y OC _2. Dado que los interiores de estos sectores son todos disjuntos, esto implica todas las afirmaciones sobre cómo se intersecan las baldosas añadidas.

Finalmente, queda por demostrar que el teselado formado por la unión de los triángulos cubre todo el semiplano superior. Cualquier punto z cubierto por el teselado se encuentra en un polígono P _n y, por lo tanto, en un polígono P _{n + 1.} Por consiguiente, se encuentra en una copia del triángulo original Δ, así como en una copia de P ₂ completamente contenida en P _{n + 1.} La distancia hiperbólica entre Δ y el exterior de P ₂ es igual a r > 0. Por lo tanto, la distancia hiperbólica entre z y los puntos no cubiertos por el teselado es al menos r . Dado que esto se aplica a todos los puntos del teselado, el conjunto cubierto por el teselado es cerrado. Por otro lado, el teselado es abierto, ya que coincide con la unión de los interiores de los polígonos P _n . Por conectividad, el teselado debe cubrir todo el semiplano superior.

Para ver cómo manejar el caso en que un ángulo de Δ es un ángulo recto, observe que la desigualdad

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}<1}$.

Esto implica que si uno de los ángulos es un ángulo recto, digamos a = 2, entonces tanto b como c son mayores que 2 y uno de ellos, digamos b , debe ser mayor que 3. En este caso, al reflejar el triángulo a través del lado AB se obtiene un triángulo hiperbólico isósceles con ángulos π / c , π / c y 2 π / b . Si 2 π / b ≤ π /3, es decir, b es mayor que 5, entonces todos los ángulos del triángulo duplicado son menores o iguales a π /3. En ese caso, la construcción de la teselación anterior a través de polígonos convexos crecientes se adapta palabra por palabra a este caso excepto que alrededor del vértice con ángulo 2 π / b , solo se requieren b —y no 2 b— copias del triángulo para cubrir un vecindario del vértice. Esto es posible porque el triángulo duplicado es isósceles. La teselación del triángulo duplicado produce la del triángulo original al cortar todos los triángulos más grandes por la mitad. ^{[ 5 ]}

Resta tratar el caso en que b sea igual a 4 o 5. Si b = 4, entonces c ≥ 5: en este caso, si c ≥ 6, entonces b y c se pueden intercambiar y se aplica el argumento anterior, dejando el caso b = 4 y c = 5. Si b = 5, entonces c ≥ 4. El caso c ≥ 6 se puede manejar intercambiando b y c , de modo que el único caso adicional es b = 5 y c = 5. Este último triángulo isósceles es la versión duplicada del primer triángulo excepcional, por lo que solo ese triángulo Δ ₁ —con ángulos π /2, π /4 y π /5 y área hiperbólica π /20— necesita ser considerado (ver más abajo). Carathéodory (1954) maneja este caso por un método general que funciona para todos los triángulos rectángulos para los cuales los otros dos ángulos son menores o iguales a π /4. El método anterior para construir P _​​2 , P ₃ , ... se modifica añadiendo un triángulo extra cada vez que aparece un ángulo de 3 π /2 en un vértice. El mismo razonamiento se aplica para demostrar que no hay superposición y que el recubrimiento cubre el semiplano superior hiperbólico. ^{[ 5 ]}

Por otro lado, la configuración dada da lugar a un grupo triangular aritmético. Estos fueron estudiados por primera vez en Fricke y Klein (1897) y han dado lugar a una extensa literatura. En 1977, Takeuchi obtuvo una clasificación completa de los grupos triangulares aritméticos (solo hay un número finito) y determinó cuándo dos de ellos son conmensurables. El ejemplo particular está relacionado con la curva de Bring y la teoría aritmética implica que el grupo triangular para Δ ₁ contiene el grupo triangular para el triángulo Δ ₂ con ángulos π /4, π /4 y π /5 como un subgrupo no normal de índice 6. ^{[ 6 ]}

Duplicando los triángulos Δ ₁ y Δ ₂ , esto implica que debe existir una relación entre 6 triángulos Δ ₃ con ángulos π /2, π /5 y π /5 y área hiperbólica π /10 y un triángulo Δ ₄ con ángulos π /5, π /5 y π /10 y área hiperbólica 3 π /5. Threlfall (1932) estableció dicha relación directamente por medios geométricos completamente elementales, sin referencia a la teoría aritmética: de hecho, como se ilustra en la quinta figura a continuación, el cuadrilátero obtenido al reflejar a través de un lado de un triángulo de tipo Δ ₄ puede ser teselado por 12 triángulos de tipo Δ _3. La teselación por triángulos de tipo Δ ₄ puede manejarse con el método principal en esta sección; esto, por lo tanto, prueba la existencia de la teselación por triángulos de tipo Δ ₃ y Δ ₁ . ^{[ 7 ]}

En el caso de un triángulo de Schwarz con una o dos cúspides, el proceso de teselado se simplifica; pero es más fácil utilizar un método diferente que se remonta a Hecke para demostrar que estos agotan el semiplano superior hiperbólico.

En el caso de una cúspide y ángulos distintos de cero π / a , π / b con a , b enteros mayores que uno, el teselado puede visualizarse en el disco unitario con el vértice que tiene un ángulo π / a en el origen. El teselado comienza agregando 2 a − 1 copias del triángulo en el origen mediante reflexiones sucesivas. Esto da como resultado un polígono P ₁ con 2 a cúspides y entre cada dos 2 a vértices cada uno con un ángulo π / b . El polígono es, por lo tanto, convexo. Para cada vértice no ideal de P ₁ , el triángulo único con ese vértice puede reflejarse de manera similar alrededor de ese vértice, agregando así 2 b − 1 nuevos triángulos, 2 b − 1 nuevos puntos ideales y 2 b − 1 nuevos vértices con ángulo π / a . El polígono resultante P₂ está formado por 2a ( 2b - 1) cúspides y el mismo número de vértices, cada uno con un ángulo de _π / a , por lo que es convexo. El proceso puede continuarse de esta manera para obtener los polígonos convexos _P₃ , P₄ , y así sucesivamente. El polígono Pₙ tendrá vértices con ángulos que alternan entre 0 y π / _a para n par y entre 0 y π / b para n impar. Por construcción _, los triángulos solo se superponen en los bordes o vértices, formando así un teselado . ^{[ 8 ]}

El caso en que el triángulo tiene dos cúspides y un ángulo distinto de cero π / a se puede reducir al caso de una cúspide al observar que el trinale es el doble de un triángulo con una cúspide y ángulos distintos de cero π / a y π / b con b = 2. El teselado procede entonces como antes. ^{[ 9 ]}

Para demostrar que estos dan teselaciones, es más conveniente trabajar en el semiplano superior. Ambos casos pueden tratarse simultáneamente, ya que el caso de dos cúspides se obtiene al duplicar un triángulo con una cúspide y ángulos no nulos π / a y π /2. Así pues, consideremos el triángulo geodésico en el semiplano superior con ángulos 0, π / a , π / b con a , b enteros mayores que uno. El interior de dicho triángulo puede realizarse como la región X en el semiplano superior que se encuentra fuera del disco unitario | z | ≤ 1 y entre dos líneas paralelas al eje imaginario que pasan por los puntos u y v en el círculo unitario. Sea Γ el grupo triangular generado por las tres reflexiones en los lados del triángulo.

Para demostrar que las reflexiones sucesivas del triángulo cubren el semiplano superior, basta con mostrar que para cualquier z en el semiplano superior existe un g en Γ tal que g ( z ) se encuentra en X. Esto se deduce de un argumento de Evans (1973) , simplificado a partir de la teoría de los grupos de Hecke . Sea λ = Re a y μ = Re b de modo que, sin pérdida de generalidad, λ < 0 ≤ μ. Las tres reflexiones en los lados están dadas por

${\displaystyle R_{1}(z)={\frac {1}{\overline {z}}},\ R_{2}(z)=-{\overline {z}}+\lambda ,\ R_{3}(z)=-{\overline {z}}+\mu .}$

Por lo tanto, T = R ₃ ∘ R ₂ es una traslación por μ − λ. Se deduce que para cualquier z ₁ en el semiplano superior, hay un elemento g ₁ en el subgrupo Γ ₁ de Γ generado por T tal que w ₁ = g ₁ ( z ₁ ) satisface λ ≤ Re w ₁ ≤ μ, es decir, esta franja es un dominio fundamental para el grupo de traslación Γ ₁ . Si | w ₁ | ≥ 1, entonces w ₁ está en X y el resultado está demostrado. De lo contrario, sea z ₂ = R ₁ ( w ₁ ) y encuentre g ₂ Γ ₁ tal que w ₂ = g ₂ ( z ₂ ) satisface λ ≤ Re w ₂ ≤ μ. Si | w ₂ | ≥ 1, entonces el resultado está demostrado. Continuando de esta manera, o bien algún w _n satisface | w _n | ≥ 1, en cuyo caso se demuestra el resultado; o | w _n | < 1 para todo n . Ahora bien, dado que g _{n + 1} está en Γ ₁ y | w _n | < 1,

${\displaystyle \operatorname {Estoy} g_{n+1}(z_{n+1})=\operatorname {Estoy} z_{n+1}=\operatorname {Estoy} {\frac {w_{n}}{|w_{n}|{}^{2}}}={\frac {\operatorname {Estoy} w_{n}}{|w_{n}|{}^{2}}}.}$

En particular

${\displaystyle \operatorname {Estoy} w_ {n+1}\geq \operatorname {Estoy} w_ {n}}$

y

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Im} w_{n+1}}{\operatorname {Im} w_{n}}}=|w_{n}|^{-2}\geq 1.}$

Así, a partir de la desigualdad anterior, los puntos ( w _n ) se encuentran en el conjunto compacto | z | ≤ 1, λ ≤ Re z ≤ μ e Im z ≥ Im w ₁ . Se deduce que | w _n | tiende a 1; porque si no, entonces habría un r < 1 tal que | w _m | ≤ r para infinitos m y entonces la última ecuación anterior implicaría que Im w _n tiende a infinito, una contradicción.

Sea w un punto límite de w _n , de modo que | w | = 1. Por lo tanto, w se encuentra en el arco del círculo unitario entre u y v . Si w ≠ u , v , entonces R ₁ w _n se encontraría en X para n suficientemente grande, contrario a la suposición. Por lo tanto, w = u o v . Por lo tanto, para n suficientemente grande w _n se encuentra cerca de u o v y, por consiguiente, debe encontrarse en una de las reflexiones del triángulo alrededor del vértice u o v , ya que estas llenan los entornos de u y v . Así pues, existe un elemento g en Γ tal que g ( w _n ) se encuentra en X . Dado que por construcción w _n está en la órbita Γ de z ₁ , se deduce que existe un punto en esta órbita que se encuentra en X , como se requiere. ^{[ 10 ]}

La teselación de un triángulo ideal con todos sus vértices sobre el círculo unitario y todos sus ángulos iguales a 0 puede considerarse un caso especial de la teselación de un triángulo con una cúspide y dos ángulos distintos de cero, π /3 y π /2. En efecto, el triángulo ideal está formado por seis copias de un triángulo con una cúspide, obtenidas al reflejar el triángulo más pequeño respecto al vértice con ángulo π /3.

Cada paso del teselado, sin embargo, está determinado de forma única por las posiciones de las nuevas cúspides en el círculo, o equivalentemente en el eje real; y estos puntos pueden entenderse directamente en términos de series de Farey siguiendo Series (2015) , Hatcher (2013 , pp. 20–32) y Hardy & Wright (2008 , pp. 23–31) . Esto comienza con el paso básico que genera la teselación, la reflexión de un triángulo ideal en uno de sus lados. La reflexión corresponde al proceso de inversión en geometría proyectiva y toma del conjugado armónico proyectivo , que puede definirse en términos de la razón cruzada . De hecho, si p , q , r , s son puntos distintos en la esfera de Riemann, entonces hay una única transformación de Möbius compleja g que envía p , q y s a 0, ∞ y 1 respectivamente. La razón cruzada ( p , q ; r , s ) se define como g ( r ) y viene dada por la fórmula  

${\displaystyle (p,q;r,s)={\frac {(pr)(qs)}{(ps)(qr)}}.}$

Por definición, es invariante bajo transformaciones de Möbius. Si a y b están en el eje real, el conjugado armónico de c con respecto a a y b se define como el único número real d tal que ( a , b ; c , d ) = −1. Así, por ejemplo, si a = 1 y b = −1, el conjugado de r es 1/ r . En general, la invariancia de Möbius se puede usar para obtener una fórmula explícita para d en términos de a , b y c . De hecho, trasladando el centro t = ( a + b )/2 del círculo con diámetro cuyos extremos son a y b a 0, d − t es el conjugado armónico de c − t con respecto a a − t y b − t . El radio del círculo es ρ = ( b − a )/2, por lo que ( d − t )/ρ es el conjugado armónico de ( c − t )/ρ con respecto a 1 y −1. Por lo tanto,

${\displaystyle {\frac {dt}{\rho }}={\frac {\rho }{ct}}}$

de modo que

${\displaystyle d={\frac {\rho ^{2}}{rt}}+t={\frac {(ca)b+(cb)a}{(ca)+(cb)}}.}$

Ahora se demostrará que existe una parametrización de dichos triángulos ideales dada por racionales en forma reducida.

${\displaystyle a={\frac {p_{1}}{q_{1}}},\ b={\frac {p_{1}+p_{2}}{q_{1}+q_{2}}},\ c={\frac {p_{2}}{q_{2}}}}$

con a y c satisfaciendo la "condición de vecindad" p ₂ q ₁ − q ₂ p ₁ = 1.

El término medio b se llama suma de Farey o mediana de los términos externos y se escribe

${\displaystyle b=a\oplus c.}$

La fórmula para el triángulo reflejado da

${\displaystyle d={\frac {p_{1}+2p_{2}}{q_{1}+2q_{2}}}=a\oplus b.}$

De manera similar, el triángulo reflejado en el segundo semicírculo da un nuevo vértice b ⊕ c . Se verifica inmediatamente que a y b satisfacen la condición de vecindad, al igual que b y c .

Ahora bien, este procedimiento puede utilizarse para rastrear los triángulos obtenidos al reflejar sucesivamente el triángulo básico Δ ​​con vértices 0, 1 e ∞. Basta con considerar la franja con 0 ≤ Re z ≤ 1, ya que la misma imagen se reproduce en franjas paralelas aplicando reflexiones en las líneas Re z = 0 y 1. El triángulo ideal con vértices 0, 1, ∞ se refleja en el semicírculo con base [0,1] en el triángulo con vértices a = 0, b = 1/2, c = 1. Así, a = 0/1 y c = 1/1 son vecinos y b = a ⊕ c . El semicírculo se divide en dos semicírculos más pequeños con bases [ a , b ] y [ b , c ]. Cada uno de estos intervalos se divide en dos intervalos mediante el mismo proceso, resultando en 4 intervalos. Siguiendo este procedimiento, se obtienen subdivisiones en intervalos de 8, 16, 32, y así sucesivamente. En la etapa n , hay ²ⁿ intervalos adyacentes con ²ⁿ + 1 extremos. La construcción anterior muestra que los extremos sucesivos satisfacen la condición de vecindad, de modo que los nuevos extremos resultantes de la reflexión se obtienen mediante la fórmula de suma de Farey.

Para demostrar que el teselado cubre todo el plano hiperbólico, basta con mostrar que todo racional en [0,1] aparece finalmente como un extremo. Hay varias maneras de ver esto. Uno de los métodos más elementales se describe en Graham, Knuth y Patashnik (1994) en su desarrollo —sin el uso de fracciones continuas— de la teoría del árbol de Stern-Brocot , que codifica los nuevos extremos racionales que aparecen en la n -ésima etapa. Dan una prueba directa de que todo racional aparece. De hecho, comenzando con {0/1,1/1}, los extremos sucesivos se introducen en el nivel n +1 añadiendo sumas de Farey o mediantes ( p + r )/( q + s ) entre todos los términos consecutivos p / q , r / s en el n -ésimo nivel (como se describió anteriormente). Sea x = a / b un racional que se encuentra entre 0 y 1 con a y b coprimos. Supongamos que en algún nivel x está intercalado entre términos sucesivos p / q < x < r / s . Estas desigualdades obligan a aq – bp ≥ 1 y br – as ≥ 1 y por lo tanto, dado que rp – qs = 1 ,

${\displaystyle a+b=(r+s)(ap-bq)+(p+q)(br-as)\geq p+q+r+s.}$

Esto impone un límite superior a la suma de los numeradores y denominadores. Por otro lado, se puede introducir la mediana ( p + r )/( q + s ) , que es igual a x , en cuyo caso el racional x aparece en este nivel; o bien, la mediana proporciona un nuevo intervalo que contiene x con una suma de numeradores y denominadores estrictamente mayor. Por lo tanto, el proceso debe terminar después de como máximo a + b pasos, lo que demuestra que aparece x . ^{[ 11 ]}

Un segundo enfoque se basa en el grupo modular G = SL(2, Z ). ^{[ 12 ]} El algoritmo euclidiano implica que este grupo es generado por las matrices

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\,\,\,T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

De hecho, sea H el subgrupo de G generado por S y T.

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

Sea un elemento de SL(2, Z ). Por lo tanto , ad − cb = 1, de modo que a y c son coprimos. Sea

${\displaystyle v={\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}},\,\,\,u={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Aplicando S si es necesario, se puede suponer que | a | > | c | (la igualdad no es posible por coprimaz). Escribimos a = mc + r con 0 ≤ r ≤ | c |. Pero entonces

${\displaystyle T^{-m}{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\\c\end{pmatrix}}.}$

Este proceso puede continuarse hasta que una de las entradas sea 0, en cuyo caso la otra será necesariamente ±1. Aplicando una potencia de S si es necesario, se deduce que v = h u para algún h en H. Por lo tanto,

${\displaystyle h^{-1}g={\begin{pmatrix}1&p\\0&q\end{pmatrix}}}$

con p , q enteros. Claramente p = 1, de modo que h ⁻¹ g = T ^q . Por lo tanto , g = h T ^q está en H como se requería.

Para demostrar que todos los racionales en [0,1] aparecen, basta con mostrar que G lleva Δ a los triángulos de la teselación. Esto se deduce observando primero que S y T llevan Δ a dicho triángulo: en efecto, como transformaciones de Möbius, S ( z ) = −1/ z y T ( z ) = z + 1, por lo que dan reflexiones de Δ en dos de sus lados. Pero entonces S y T conjugan las reflexiones en los lados de Δ en reflexiones en los lados de SΔ y TΔ , que se encuentran en Γ. Así pues, G normaliza Γ. Dado que los triángulos de la teselación son precisamente aquellos de la forma gΔ con g en Γ, se deduce que S y T , y por lo tanto todos los elementos de G , permutan triángulos en la teselación. Dado que todo número racional es de la forma g (0) para g en G , todo número racional en [0,1] es el vértice de un triángulo en la teselación.

El grupo de reflexión y la teselación para un triángulo ideal también pueden considerarse un caso límite del grupo de Schottky para tres círculos disjuntos no anidados en la esfera de Riemann. Nuevamente, este grupo se genera mediante reflexiones hiperbólicas en los tres círculos. En ambos casos, los tres círculos tienen un círculo común que los corta ortogonalmente. Mediante una transformación de Möbius, se puede suponer que este es el círculo unitario o, equivalentemente, el eje real en el semiplano superior. ^{[ 13 ]}

En esta subsección se describe el enfoque de Carl Ludwig Siegel al teorema de teselación para triángulos. El enfoque menos elemental de Siegel no utiliza la convexidad, sino que se basa en la teoría de superficies de Riemann , espacios de recubrimiento y una versión del teorema de monodromía para recubrimientos. Se ha generalizado para proporcionar demostraciones del teorema del polígono de Poincaré, más general. (Nótese que el caso especial del recubrimiento con n -gonos regulares con ángulos interiores 2π / n es una consecuencia inmediata del recubrimiento con triángulos de Schwarz con ángulos π / n , π / n y π /2). ^{[ 14 ] [ 15 ]}

Sea Γ el producto libre Z ₂ ∗ Z ₂ ∗ Z ₂ . Si Δ = ABC es un triángulo de Schwarz con ángulos π / a , π / b y π / c , donde a , b , c ≥ 2, entonces hay un mapeo natural de Γ sobre el grupo generado por reflexiones en los lados de Δ. Los elementos de Γ se describen por un producto de los tres generadores donde no hay dos generadores adyacentes iguales. En los vértices A , B y C el producto de reflexiones en los lados que se encuentran en el vértice define rotaciones por ángulos 2 π / a , 2 π / b y 2 π / c ; Sean g _A , g _B y g _C los productos correspondientes de generadores de Γ = Z ₂ ∗ Z ₂ ∗ Z ₂ . Sea Γ ₀ el subgrupo normal de índice 2 de Γ, que consta de elementos que son el producto de un número par de generadores; y sea Γ ₁ el subgrupo normal de Γ generado por ( g _A ) ^a , ( g _B ) ^b y ( g _C ) ^c . Estos actúan trivialmente sobre Δ. Sea Γ = Γ/Γ ₁ y Γ ₀ = Γ ₀ /Γ ₁ .

La unión disjunta de copias de Δ indexadas por elementos de Γ con identificaciones de aristas tiene la estructura natural de una superficie de Riemann Σ. En un punto interior de un triángulo hay una carta evidente. Como punto del interior de una arista, la carta se obtiene reflejando el triángulo a través de la arista. En un vértice de un triángulo con ángulo interior π / n , la carta se obtiene a partir de las 2 n copias del triángulo obtenidas al reflejarlo sucesivamente alrededor de ese vértice. El grupo Γ actúa mediante transformaciones de capas de Σ, donde los elementos en Γ ₀ actúan como aplicaciones holomorfas y los elementos que no están en Γ ₀ actúan como aplicaciones antiholomorfas.

Existe una aplicación natural P de Σ en el plano hiperbólico. El interior del triángulo con etiqueta g en Γ se transforma en g (Δ), las aristas se transforman en aristas y los vértices en vértices. También es fácil verificar que un entorno de un punto interior de una arista se transforma en un entorno de la imagen; y lo mismo ocurre con los vértices. Por lo tanto, P es localmente un homeomorfismo y transforma conjuntos abiertos en conjuntos abiertos. La imagen P (Σ), es decir, la unión de las traslaciones g ( Δ ), es, por consiguiente, un subconjunto abierto del semiplano superior. Por otro lado, este conjunto también es cerrado. De hecho, si un punto está suficientemente cerca de Δ, debe estar en una traslación de Δ . En efecto, un entorno de cada vértice está formado por las reflexiones de Δ , y si un punto se encuentra fuera de estos tres entornos pero aún está cerca de Δ , debe estar en las tres reflexiones de Δ en sus lados. Por lo tanto, existe δ > 0 tal que si z se encuentra a una distancia menor que δ de Δ , entonces z se encuentra en una traslación Γ de Δ . Dado que la distancia hiperbólica es Γ -invariante, se deduce que si z se encuentra a una distancia menor que δ de Γ( Δ ), en realidad se encuentra en Γ( Δ ), por lo que esta unión es cerrada. Por conectividad se deduce que P (Σ) es todo el semiplano superior.

Por otro lado, P es un homeomorfismo local, por lo tanto, una aplicación de recubrimiento. Dado que el semiplano superior es simplemente conexo, se deduce que P es inyectiva y, por lo tanto, las traslaciones de Δ teselan el semiplano superior. Esto es una consecuencia de la siguiente versión del teorema de monodromía para recubrimientos de superficies de Riemann: si Q es una aplicación de recubrimiento entre superficies de Riemann Σ ₁ y Σ ₂ , entonces cualquier camino en Σ ₂ puede elevarse a un camino en Σ ₁ y cualesquiera dos caminos homotópicos con los mismos puntos finales se elevan a caminos homotópicos con los mismos puntos finales; un corolario inmediato es que si Σ ₂ es simplemente conexo, Q debe ser un homeomorfismo. ^{[ 16 ]} Para aplicar esto, sea Σ ₁ = Σ, sea Σ ₂ el semiplano superior y sea Q = P . Por el corolario del teorema de monodromía, P debe ser inyectiva.

También se deduce que g (Δ) = Δ si y solo si g está en Γ ₁ , de modo que el homomorfismo de Γ ₀ en el grupo de Möbius es fiel.

La teselación de los triángulos de Schwarz puede considerarse una generalización de la teoría de los grupos de Coxeter infinitos , siguiendo la teoría de los grupos de reflexión hiperbólica desarrollada algebraicamente por Jacques Tits ^{[ 17 ]} y geométricamente por Ernest Vinberg . ^{[ 18 ]} En el caso del plano hiperbólico o de Lobachevsky , las ideas se originan en la obra del siglo XIX de Henri Poincaré y Walther von Dyck . Sin embargo, como ha señalado Joseph Lehner en Mathematical Reviews , las demostraciones rigurosas de que las reflexiones de un triángulo de Schwarz generan una teselación a menudo han sido incompletas, siendo su propio libro de 1964, "Grupos discontinuos y funciones automórficas" , un ejemplo de ello. ^{[ 19 ] [ 20 ]} El tratamiento elemental de Carathéodory en su libro de texto de 1950 , Funktiontheorie , traducido al inglés en 1954, y la explicación de Siegel de 1954 utilizando el principio de monodromía son demostraciones rigurosas. Aquí se resumirá el enfoque que utiliza grupos de Coxeter, dentro del marco general de clasificación de grupos de reflexión hiperbólica. ^{[ 21 ]}

Sean r, s, t símbolos y sean a , b , c ≥ 2 enteros, posiblemente ∞ , con

$${\displaystyle {1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}<1.}$$

Definimos Γ como el grupo con presentación que tiene generadores r, s, t que son todos involuciones y satisfacen $${\displaystyle {\begin{aligned}(st)^{a}&=1,\\[2pt](tr)^{b}&=1,\\[2pt](rs)^{c}&=1.\end{aligned}}}$$ Si uno de los enteros es infinito, entonces el producto tiene orden infinito. Los generadores r, s, t se denominan reflexiones simples .

Conjunto ^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{a}}&{\text{if }}a\geq 2{\text{ is finite,}}\\[2pt]\cosh x,\ x>0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\\[8pt]B&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{b}}&{\text{if }}b\geq 2{\text{ is finite,}}\\[2pt]\cosh y,\ y>0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\\[8pt]C&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{c}}&{\text{if }}c\geq 2{\text{ is finite,}}\\[2pt]\cosh z,\ z>0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$ Sea e _r , e _s , e _t una base para un espacio vectorial real tridimensional V con forma bilineal simétrica Λ tal que $${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda (\mathbf {e} _{s},\mathbf {e} _{t})&=-A,\\[2pt]\Lambda (\mathbf {e} _{t},\mathbf {e} _{r})&=-B,\\[2pt]\Lambda (\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{s})&=-C,\end{aligned}}}$$ con las tres entradas diagonales iguales a uno. La forma bilineal simétrica Λ no es degenerada con signatura (2, 1) . Definir: $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{r})\mathbf {e} _{r}\\[2pt]\sigma (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{s})\mathbf {e} _{s}\\[2pt]\tau (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{t})\mathbf {e} _{t}\end{aligned}}}$$

Teorema (representación geométrica). Los operadores ρ, σ, τ son involuciones en V , con respectivos autovectores e _r , e _s , e _t con autovalor simple −1. Los productos de los operadores tienen órdenes correspondientes a la presentación anterior (así que στ tiene orden a , etc.). Los operadores ρ, σ, τ inducen una representación de Γ en V que preserva Λ .

La forma bilineal Λ para la base tiene matriz

$${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&-C&-B\\-C&1&-A\\-B&-A&1\\\end{pmatrix}},}$$

así tiene determinante $${\displaystyle \det(M)=1-A^{2}-B^{2}-C^{2}-2ABC.}$$ Si c = 2 , por ejemplo, entonces los valores propios de la matriz son${\displaystyle 1,\ 1\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}.}$La condición${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}+{\tfrac {1}{b}}<{\tfrac {1}{2}}}$inmediatamente fuerza${\displaystyle A^{2}+B^{2}>1,}$de modo que Λ debe tener signatura (2, 1) . Por lo tanto, en general a , b , c ≥ 3. Claramente, el caso en que todos sean iguales a 3 es imposible. Pero entonces el determinante de la matriz es negativo mientras que su traza es positiva. Como resultado, dos autovalores son positivos y uno negativo, es decir, Λ tiene signatura (2, 1) . Evidentemente , ρ, σ, τ son involuciones, que preservan Λ con los autovectores −1 dados.

Para comprobar el orden de los productos como στ , basta con observar que:

1. Las reflexiones σ y τ generan un grupo diedral finito o infinito ;
2. El espacio lineal bidimensional U de e _s y e _t es invariante bajo σ y τ , con la restricción de que Λ sea definida positiva;
3. W , el complemento ortogonal de U , es definido negativo en Λ , y σ y τ actúan trivialmente sobre W.

(1) es claro ya que si γ = στ genera un subgrupo normal con σγσ ⁻¹ = γ ⁻¹ . Para (2), U es invariante por definición y la matriz es definida positiva ya que${\displaystyle 0<\cos {\tfrac {\pi }{a}}<1.}$Dado que Λ tiene signatura (2, 1) , un vector no nulo w en W debe satisfacer Λ( w , w ) < 0. Por definición, σ tiene autovalores 1 y −1 en U , por lo que w debe estar fijo por σ . De manera similar, w debe estar fijo por τ , por lo que (3) queda demostrado. Finalmente, en (1)

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\sigma (\mathbf {e} _{s})&=-{\mathbf {e} }_{s},&\quad \tau (\mathbf {e} _{s})&=2\cos({\tfrac {\pi }{a}})\,\mathbf {e} _{s}+\mathbf {e} _{t},\\[2pt]\sigma (\mathbf {e} _{t})&=2\cos({\tfrac {\pi }{a}})\,\mathbf {e} _{s}+\mathbf {e} _{t},&\quad \tau (\mathbf {e} _{t})&=-{\mathbf {e} }_{t},\end{alignedat}}}$$

de modo que, si a es finito, los autovalores de στ son −1, ς y ς ⁻¹ , donde ${\displaystyle \varsigma =e^{\frac {2\pi i}{a}};}$y si a es infinito, los autovalores son −1, X y X ⁻¹ , donde${\displaystyle X=e^{2x}.}$Además, un argumento de inducción sencillo muestra que si${\displaystyle \theta ={\tfrac {\pi }{a}}}$entonces ^{[ 23 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sin(2m+1)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sin 2m\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\tau (\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sin(2m+1)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sin(2m+2)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{t},\end{aligned}}}$$

y si x > 0 entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sinh(2m+1)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sinh 2mx}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\lim _{x\to 0}\ (\sigma \tau )^{m}(\mathbf {e} _{s})&=(2m+1)\mathbf {e} _{s}+2m\mathbf {e} _{t};\\[12pt]\tau (\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sinh(2m+1)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sinh(2m+2)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\lim _{x\to 0}\,\tau (\sigma \tau )^{m}(\mathbf {e} _{s})&=(2m+1)\mathbf {e} _{s}+(2m+2)\mathbf {e} _{t}.\end{aligned}}}$$

Sea Γ _a el subgrupo diedral de Γ generado por s y t , con definiciones análogas para Γ _b y Γ _c . De manera similar, definimos Γ _r como el subgrupo cíclico de Γ dado por el 2-grupo {1, r }, con definiciones análogas para Γ _s y Γ _t . A partir de las propiedades de la representación geométrica, estos seis grupos actúan fielmente sobre V. En particular, Γ _a puede identificarse con el grupo generado por σ y τ ; como se indicó anteriormente, se descompone explícitamente como una suma directa del subespacio irreducible bidimensional U y el subespacio unidimensional W con una acción trivial. Por lo tanto, existe un vector único $${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {e} _{r}+\lambda \mathbf {e} _{s}+\mu \mathbf {e} _{t}}$$ en W que satisfacen σ ( w ) = w y τ ( w ) = w . Explícitamente, $${\displaystyle \lambda ={\frac {C+AB}{1-A^{2}}},\quad \mu ={\frac {B+AC}{1-A^{2}}}.}$$

Nota sobre las representaciones de grupos diedrales. Es bien sabido que, para espacios con producto interno real de dimensión finita, dos involuciones ortogonales S y T pueden descomponerse como una suma directa ortogonal de espacios invariantes bidimensionales o unidimensionales; por ejemplo, esto puede deducirse de la observación de Paul Halmos y otros, de que el operador autoadjunto positivo ( S − T ) ^² conmuta con S y T. Sin embargo, en el caso anterior, donde la forma bilineal Λ ya no es un producto interno definido positivo, es necesario dar un razonamiento ad hoc diferente .

Teorema (Tits). La representación geométrica del grupo de Coxeter es fiel.

Este resultado fue demostrado por primera vez por Tits a principios de la década de 1960 y publicado inicialmente en el texto de Bourbaki (1968) con sus numerosos ejercicios. En dicho texto, la cámara fundamental se introdujo mediante un argumento inductivo; el ejercicio 8 del §4 del Capítulo V fue ampliado por Vinay Deodhar para desarrollar una teoría de raíces positivas y negativas y, por lo tanto, acortar el argumento original de Tits. ^{[ 24 ]}

Sea X el cono convexo de sumas κ e _r + λ e _s + μ e _t con coeficientes reales no negativos, no todos ellos cero. Para g en el grupo Γ , definimos ℓ( g ) , la longitud de palabra o longitud , como el número mínimo de reflexiones de r, s, t necesarias para escribir g como una composición ordenada de reflexiones simples. Definimos una raíz positiva como un vector g e _r , g e _s o g e _r que se encuentra en X , con g en Γ . ^{[ b ]}

Es rutinario comprobar a partir de las definiciones que ^{[ 25 ]}

• si | ℓ( gq ) – ℓ( g ) | = 1 para una reflexión simple q y, si g ≠ 1 , siempre hay una reflexión simple q tal que ℓ( g ) = ℓ( gq ) + 1 ;
• para g y h en Γ , ℓ( gh ) ≤ ℓ( g ) + ℓ( h ) .

Proposición. Si g está en Γ y ℓ( gq ) = ℓ( g ) ± 1 para una reflexión simple q , entonces g e _q está en ± X , y por lo tanto es una raíz positiva o negativa, según el signo.

Sustituyendo g por gq , solo es necesario considerar el signo positivo. La afirmación se probará por inducción sobre ℓ( g ) = m , siendo trivial para m = 0. Supongamos que ℓ( gs ) = ℓ( g ) + 1 . Si ℓ( g ) = m > 0 , sin menos generalidad se puede suponer que la expresión mínima para g termina con ...t . Dado que s y t generan el grupo diedral Γ _a , g puede escribirse como un producto g = hk , donde k = ( st ) ⁿ o t ( st ) ⁿ y h tiene una expresión mínima que termina con ...r , pero nunca con s o t . Esto implica que ℓ( hs ) = ℓ( h ) + 1 y ℓ( ht ) = ℓ( h ) + 1 . Dado que ℓ( h ) < m , la hipótesis de inducción muestra que tanto h e _s , h e _t están en X . Por lo tanto, basta con demostrar que k e _s tiene la forma λ e _s + μ e _t con λ , μ ≥ 0 , no ambos 0. Pero eso ya se ha verificado en las fórmulas anteriores. ^{[ 25 ]}

Corolario (demostración del teorema de Tits). La representación geométrica es fiel.

Basta con demostrar que si g fija e _r , e _s , e _t , entonces g = 1 . Considerando una expresión mínima para g ≠ 1 , las condiciones ℓ( gq ) = ℓ( g ) + 1 claramente no pueden ser satisfechas simultáneamente por las tres reflexiones simples q .

Nótese que, como consecuencia del teorema de Tits, los generadores (izquierda) satisfacen las condiciones (derecha): $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}(g&=st)\ \ {\text{ s.t. }}&g^{a}=1,\\[4pt](h&=tr)\ \ {\text{ s.t. }}&h^{b}=1,\\[4pt](k&=rs)\ \ {\text{ s.t. }}&k^{c}=1,\\[4pt]&&ghk=1.\end{alignedat}}}$$ Esto proporciona una presentación del subgrupo normal de índice 2 que preserva la orientación Γ ₁ de Γ . La presentación corresponde al dominio fundamental obtenido al reflejar dos lados del triángulo geodésico para formar un paralelogramo geodésico (un caso especial del teorema del polígono de Poincaré). ^{[ 26 ]}

Otras consecuencias. Las raíces son la unión disjunta de las raíces positivas y las raíces negativas. La reflexión simple q permuta todas las raíces positivas excepto e _q . Para g en Γ , ℓ( g ) es el número de raíces positivas que se vuelven negativas por g .

Dominio fundamental y cono de Tits. ^{[ 27 ]}

Sea G el subgrupo de Lie cerrado tridimensional de GL( V ) que preserva Λ . Como V puede identificarse con un espacio lorentziano o de Minkowski tridimensional con signatura (2,1) , el grupo G es isomorfo al grupo de Lorentz O(2,1) y, por lo tanto,${\displaystyle \mathrm {SL} _{\pm }(2,\mathbb {R} )\setminus \{\pm \,I\,\}.}$^{[ c ]} Eligiendoecomo un vector raíz positivo enX, el estabilizador deees un subgrupo compacto maximalKdeGisomorfo aO(2). Elespacio homogéneoX=G/Kes unespacio simétricohiperboloidebidimensionaloplano de Lobachevsky.${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}}$El grupo discreto Γ actúa discontinuamente sobre G / K : el espacio cociente Γ \ G / K es compacto si a, b, c son todos finitos, y de área finita en caso contrario. Los resultados sobre la cámara fundamental de Tits tienen una interpretación natural en términos del triángulo de Schwarz correspondiente, que se traduce directamente en las propiedades de la teselación del triángulo geodésico a través del grupo de reflexión hiperbólico Γ . El paso de los grupos de Coxeter a la teselación se puede encontrar por primera vez en los ejercicios del §4 del Capítulo V de Bourbaki (1968) , debido a Tits, y en Iwahori (1966) ; actualmente hay muchos otros tratamientos equivalentes disponibles, no siempre formulados directamente en términos de espacios simétricos.

Maskit (1971) dio una demostración general del teorema del polígono de Poincaré en el espacio hiperbólico; una demostración similar fue dada en de Rham (1971) . Especializándose en el plano hiperbólico y los triángulos de Schwarz, esto puede usarse para dar un enfoque moderno para establecer la existencia de teselaciones de triángulos de Schwarz, como se describe en Beardon (1983) y Maskit (1988) . Los matemáticos suizos de la Harpe (1991) y Haefliger han proporcionado una introducción, tomando la teoría geométrica de grupos como punto de partida. ^{[ 28 ]}