Teorema de Müntz-Szász

El teorema de Müntz-Szász es un resultado fundamental de la teoría de la aproximación , demostrado por Herman Müntz en 1914 y Otto Szász en 1916. En términos generales, el teorema muestra hasta qué punto se puede extender el teorema de Weierstrass sobre la aproximación polinómica restringiendo ciertos coeficientes de los polinomios a cero. La forma del resultado había sido conjeturada por Sergei Bernstein antes de su demostración.

El teorema, en un caso especial, establece que una condición necesaria y suficiente para los monomios

${\displaystyle x^{n},\quad n\in S\subset \mathbb {N} }$

para abarcar un subconjunto denso del espacio de Banach C [ a , b ] de todas las funciones continuas con valores de números complejos en el intervalo cerrado [ a , b ] con a > 0, con la norma uniforme , es que la suma

${\displaystyle \sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}\ }$

de los recíprocos, tomados sobre S , deben divergir , es decir, S es un conjunto grande . Para un intervalo [0, b ], las funciones constantes son necesarias: suponiendo por lo tanto que 0 está en S , la condición sobre los demás exponentes es la misma que antes.

De manera más general, se pueden tomar exponentes de cualquier secuencia estrictamente creciente de números reales positivos, y se obtiene el mismo resultado. Szász demostró que para exponentes de números complejos, se aplica la misma condición a la secuencia de partes reales .

También existen versiones para los espacios L _p .

• La conjetura de Erdős sobre las progresiones aritméticas

• Müntz, cap. H. (1914). "Über den Approximationssatz von Weierstrass". Festschrift de HA Schwarz . Berlina. págs. 303-312 . {{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de la ubicación ( enlace ) Escaneado en la Universidad de Michigan
• Szász, O. (1916). "Über die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen" . Matemáticas. Ana . 77 (4): 482– 496. doi : 10.1007/BF01456964 . S2CID 123893394 . Escaneado en digizeitschriften.de
• Shen, Jie; Wang, Yingwei (2016). "Métodos de Müntz-Galerkin y aplicaciones a problemas de contorno mixtos de Dirichlet-Neumann". SIAM Journal on Scientific Computing . 38 (4): A2357– A2381. Bibcode : 2016SJSC...38A2357S . doi : 10.1137/15M1052391 .