M-spline

En el subcampo matemático del análisis numérico , una M-spline ^{[ 1 ] [ 2 ]} es una función spline no negativa .

Una familia de funciones M-spline de orden k con n parámetros libres se define mediante un conjunto de nodos t ₁  ≤ t ₂ ≤ ... ≤ t _{n + k} tales que     

• t ₁  =  ...  = t _k 
• t _{n +1}  =  ...  = t _{n + k} 
• t _i  < t _{i + k} para todo i 

La familia incluye n miembros indexados por i  =  1,..., n .

Una M-spline M _i ( x | k , t ) tiene las siguientes propiedades matemáticas 

• M _i ( x | k , t ) es no negativo 
• M _i ( x | k , t ) es cero a menos que t _i ≤ x < t _{i + k}     
• M _i ( x | k , t ) tiene k − 2 derivadas continuas en los nodos interiores t _{k +1} , ..., t _{n − 1}   
• M _i ( x | k , t ) se integra a 1 

Las M-splines se pueden calcular de manera eficiente y estable utilizando las siguientes recursiones:

Para k  =  1,

${\displaystyle M_{i}(x|1,t)={\frac {1}{t_{i+1}-t_{i}}}}$

si t _i  ≤ x < t _{i +1} , y M _i ( x |1, t ) = 0 en caso contrario.     

Para k  >  1,

${\displaystyle M_{i}(x|k,t)={\frac {k\left[(x-t_{i})M_{i}(x|k-1,t)+(t_{i+k}-x)M_{i+1}(x|k-1,t)\right]}{(k-1)(t_{i+k}-t_{i})}}.}$

Las funciones M-spline se pueden integrar para producir una familia de funciones spline monótonas llamadas funciones I-spline . Las funciones M-spline también se pueden usar directamente como funciones base para el análisis de regresión con datos de respuesta positiva (restringiendo los coeficientes de regresión a valores no negativos).