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Madelung equations

In theoretical physics , the Madelung equations , or the equations of quantum hydrodynamics , are Erwin Madelung 's alternative formulation of the Schrödinger equation for a spi...

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In theoretical physics, the Madelung equations, or the equations of quantum hydrodynamics, are Erwin Madelung's alternative formulation of the Schrödinger equation for a spinless non-relativistic particle, written in terms of hydrodynamical variables, similar to the Navier–Stokes equations of fluid dynamics.[1] The derivation of the Madelung equations is similar to the de Broglie–Bohm formulation, which represents the Schrödinger equation as a quantum Hamilton–Jacobi equation. In both cases the hydrodynamic interpretations are not equivalent to Schrödinger's equation without the addition of a quantization condition.

Recently, the extension to the relativistic case with spin was done by having the Dirac equation written with hydrodynamic variables. In the relativistic case, the Hamilton–Jacobi equation is also the guidance equation,[2] which therefore does not have to be postulated.

History

In the fall of 1926, Erwin Madelung reformulated Schrödinger's quantum equation in a more classical and visualizable form resembling hydrodynamics.[3][4] His paper was one of numerous early attempts at different approaches to quantum mechanics, including those of Louis de Broglie and Earle Hesse Kennard.[5] The most influential of these theories was ultimately de Broglie's through the 1952 work of David Bohm[6] now called Bohmian mechanics.

In 1994 Timothy C. Wallstrom showed that an additional ad hoc quantization condition must be added to the Madelung equations to reproduce Schrödinger's work.[7] His analysis paralleled earlier work by Takehiko Takabayashi on the hydrodynamic interpretation of Bohmian mechanics.[8] The mathematical foundations of the Madelung equations continue to be a topic of research.[9]

Equations

The Madelung equations are the quantum mechanical counterpart of the Euler equations:

∂ρm(x,t)∂t+∇⋅(ρm(x,t)v(x,t))=0,Dv(x,t)Dt=∂v(x,t)∂t+v(x,t)⋅∇v(x,t)=−1m∇(Q(x,t)+V(x,t)),{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t))=0,\\[4pt]&{\frac {D\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\cdot \nabla \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=-{\frac {1}{m}}\nabla (Q(\mathbf {x} ,t)+V(\mathbf {x} ,t)),\end{aligned}}}

where

  • x{\displaystyle \mathbf {x} } is the position vector,
  • v(x,t){\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)} is the flow velocity, defined in terms of the phase of the Schrödinger wave functionψ(x,t){\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)} below,
  • ρm(x,t)=mρ(x,t)=m|ψ(x,t)|2{\displaystyle \rho _{m}(\mathbf {x} ,t)=m\rho (\mathbf {x} ,t)=m|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}}es la densidad de masa ,
  • Q=−ℏ22metro∇2ρ(incógnita,t)ρ(incógnita,t)=−ℏ22metro∇2ρmetro(incógnita,t)ρmetro(incógnita,t){\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}}{\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}}}{\sqrt {\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}}}}es el potencial cuántico de Bohm y
  • V(incógnita,t){\displaystyle V(\mathbf {x} ,t)}es el potencial de la ecuación de Schrödinger .

Las ecuaciones de Madelung responden a la pregunta de siv(incógnita,t){\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}obedece las ecuaciones de continuidad de la hidrodinámica y, de ser así, ¿qué papel desempeña el tensor de esfuerzos ? [ 10 ]

La circulación del campo de velocidad del flujo a lo largo de cualquier trayectoria cerrada obedece a la condición de cuantización auxiliar.Γ≐∮metrov⋅dl=2πnorteℏ{\textstyle \Gamma \doteq \oint {m\mathbf {v} \cdot d\mathbf {l} }=2\pi n\hbar }para todos los enteros n . [ 11 ] [ 12 ] 

Derivación

La derivación de las ecuaciones de Madelung comienza con la función de onda escrita en forma polar [ 13 ].

ψ(incógnita,t)=R(incógnita,t)miiS(incógnita,t)/ℏ,{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=R(\mathbf {x} ,t)e^{iS(\mathbf {x} ,t)/\hbar },}

dóndeR(incógnita,t){\displaystyle R(\mathbf {x} ,t)}, la amplitud yS(incógnita,t){\displaystyle S(\mathbf {x} ,t)}, la función de acción , son ambas funciones de valor real y

ρ(incógnita,t)=ψ(incógnita,t)∗ψ(incógnita,t)=R2(incógnita,t),{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\psi (\mathbf {x} ,t)^{*}\psi (\mathbf {x} ,t)=R^{2}(\mathbf {x} ,t),}

es la densidad de probabilidad asociada. [ 14 ] Sustituyendo la forma polar de la función de onda en la definición de la corriente de probabilidad se obtiene

J=ℏ2metroi(ψ∗∇ψ−ψ∇ψ∗)=1metroρ(incógnita,t)∇S(incógnita,t)=ρ(incógnita,t)v(incógnita,t),{\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\hbar }{2mi}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {1}{m}}\rho (\mathbf {x} ,t)\nabla S(\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t),}

donde la velocidad del fluido de probabilidad se expresa como

v(incógnita,t)=1metro∇S(incógnita,t).{\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{m}}\nabla S(\mathbf {x} ,t).}

La interpretación dev(incógnita,t){\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}como "velocidad" no debe tomarse demasiado literalmente porque una medición exacta simultánea de posición y momento (expresada como una función dev(incógnita,t){\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}) violaría el principio de incertidumbre . [ 15 ]

A continuación, sustituyendo la forma polar en la ecuación de Schrödinger

iℏ∂ψ(incógnita,t)∂t=V(incógnita,t)ψ(incógnita,t)−ℏ22metro∇2ψ(incógnita,t),{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=V(\mathbf {x} ,t)\psi (\mathbf {x} ,t)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {x} ,t),}

realizando las derivaciones apropiadas, dividiendo la ecuación pormiiS(incógnita,t)/ℏ{\displaystyle e^{iS(\mathbf {x} ,t)/\hbar }}y separando las partes real e imaginaria, se obtiene un sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales (EDP) acopladas:

∂R(incógnita,t)∂t+1metro∇R(incógnita,t)⋅∇S(incógnita,t)+12metroR(incógnita,t)ΔS(incógnita,t)=0,∂S(incógnita,t)∂t+12metro[∇S(incógnita,t)]2+V(incógnita,t)=ℏ22metroΔR(incógnita,t)R(incógnita,t).{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial R(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\nabla R(\mathbf {x} ,t)\cdot \nabla S(\mathbf {x} ,t)+{\frac {1}{2m}}R(\mathbf {x} ,t)\Delta S(\mathbf {x} ,t)=0,\\&{\frac {\partial S(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\frac {1}{2m}}\left[\nabla S(\mathbf {x} ,t)\right]^{2}+V(\mathbf {x} ,t)={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta R(\mathbf {x} ,t)}{R(\mathbf {x} ,t)}}.\end{aligned}}}

La primera EDP, correspondiente a la parte imaginaria de la ecuación de Schrödinger, puede interpretarse como la ecuación de continuidad . La segunda EDP, correspondiente a la parte real de la ecuación de Schrödinger, también se conoce como la ecuación cuántica de Hamilton-Jacobi . [ 16 ] Multiplicando la ecuación de continuidad por2R{\displaystyle 2R}y el cálculo del gradiente de la ecuación cuántica de Hamilton-Jacobi da como resultado las ecuaciones de Madelung.

∂ρ(incógnita,t)∂t+∇⋅[ρ(incógnita,t)v(incógnita,t)]=0,Dv(incógnita,t)Dt=∂v(incógnita,t)∂t+[v(incógnita,t)⋅∇]v(incógnita,t)=−1metro∇[V(incógnita,t)−ℏ22metroΔρ(incógnita,t)ρ(incógnita,t)]=−1metro∇[V(incógnita,t)+Q(incógnita,t)],{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\rho (\mathbf {x} ,t)v(\mathbf {x} ,t)\right]=0,\\&{\frac {D\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\cdot \nabla \right]\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=-{\frac {1}{m}}\nabla \left[V(\mathbf {x} ,t)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta {\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}}{\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}}\right]=-{\frac {1}{m}}\nabla \left[V(\mathbf {x} ,t)+Q(\mathbf {x} ,t)\right],\end{aligned}}}

con potencial cuántico

Q(incógnita,t)=−ℏ22metroΔρ(incógnita,t)ρ(incógnita,t).{\displaystyle Q(\mathbf {x} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta {\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}}{\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}}.}

De forma equivalente, la ecuación cuántica de Hamilton-Jacobi también puede escribirse de una forma similar a la ecuación de momento de Cauchy :

Dv(incógnita,t)Dt=F(incógnita,t)−1ρ(incógnita,t)∇⋅pagQ(incógnita,t),{\displaystyle {\frac {D\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}{Dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)-{\frac {1}{\rho (\mathbf {x} ,t)}}\nabla \cdot \mathbf {p} _{Q}(\mathbf {x} ,t),}

con una fuerza externa definida como

F(incógnita,t)=−1metro∇V(incógnita,t),{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)=-{\frac {1}{m}}\nabla V(\mathbf {x} ,t),}

y un tensor de presión cuántica [ 17 ]

pagQ(incógnita,t)=−ℏ24metro2ρmetro(incógnita,t)∇⊗∇ln⁡ρmetro(incógnita,t).{\displaystyle \mathbf {p} _{Q}(\mathbf {x} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{4m^{2}}}\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)\nabla \otimes \nabla \ln \rho _{m}(\mathbf {x} ,t).}

La energía integral almacenada en el tensor de presión cuántica es proporcional a la información de Fisher , que da cuenta de la calidad de las mediciones. Por lo tanto, según la cota de Cramér-Rao , el principio de incertidumbre es equivalente a una desigualdad estándar para la eficiencia de las mediciones. [ 18 ] [ 19 ]

Energías cuánticas

La definición termodinámica del potencial químico cuántico

μ(incógnita,t)=Q(incógnita,t)+V(incógnita,t)=H^ρmetro(incógnita,t)ρmetro(incógnita,t){\displaystyle \mu (\mathbf {x} ,t)=Q(\mathbf {x} ,t)+V(\mathbf {x} ,t)={\frac {{\widehat {H}}{\sqrt {\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}}}{\sqrt {\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}}}}

De ello se deduce del equilibrio de fuerzas hidrostáticas anterior:

∇μ(incógnita,t)=metro∇⋅pagQ(incógnita,t)ρmetro(incógnita,t)+∇V(incógnita,t).{\displaystyle \nabla \mu (\mathbf {x} ,t)={\frac {m\nabla \cdot \mathbf {p} _{Q}(\mathbf {x} ,t)}{\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}}+\nabla V(\mathbf {x} ,t).}

Según la termodinámica, en equilibrio el potencial químico es constante en todas partes, lo que corresponde directamente a la ecuación de Schrödinger estacionaria. Por lo tanto, los autovalores de la ecuación de Schrödinger son energías libres, que difieren de las energías internas del sistema. La energía interna de la partícula se calcula como

ε(incógnita,t)=μ(incógnita,t)−tr⁡(pagQ(incógnita,t))metroρmetro(incógnita,t)=−ℏ28metro(∇ln⁡ρmetro(incógnita,t))2+U(incógnita,t),{\displaystyle \varepsilon (\mathbf {x} ,t)=\mu (\mathbf {x} ,t)-\operatorname {tr} (\mathbf {p} _{Q}(\mathbf {x} ,t)){\frac {m}{\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{8m}}(\nabla \ln \rho _{m}(\mathbf {x} ,t))^{2}+U(\mathbf {x} ,t),}

y está relacionada con la corrección de von Weizsäcker de la teoría del funcional de la densidad. [ 20 ] [ 21 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Schönberg 1954 , pág. 103.
  2. ↑ Fabbri, Luca (2025). "Estructura de Madelung de la ecuación de Dirac". J. Phys. A: Math. Theor . 58 : 195301. arXiv : 2505.05861 . doi : 10.1088/1751-8121/add2b0 .
  3. ↑ Madelung 1926 .
  4. ↑ Madelung 1927 .
  5. ^ Kragh y Carazza 2000 , pág. 52.
  6. ^ Kragh y Carazza 2000 , pág. 53.
  7. ↑ Wallstrom, Timothy C. (1994). "Inequivalencia entre la ecuación de Schrödinger y las ecuaciones hidrodinámicas de Madelung" . Physical Review A. 49 ( 3): 1613– 1617. doi : 10.1103/PhysRevA.49.1613 .
  8. ↑ Takabayasi, Takehiko (1952). "Sobre la formulación de la mecánica cuántica asociada con imágenes clásicas*" . Progress of Theoretical Physics . 8 (2): 143– 182. doi : 10.1143/ptp/8.2.143 . ISSN 0033-068X . 
  9. ↑ Reddiger, Maik; Poirier, Bill (2023). "Hacia una teoría matemática de las ecuaciones de Madelung: condición de cuantización de Takabayasi, cuasi-irrotacionalidad cuántica, formulaciones débiles y el fenómeno de Wallstrom". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 56 (19): 193001. arXiv : 2207.11367 . doi : 10.1088/1751-8121/acc7db . ISSN 1751-8113 . 
  10. ↑ Białynicki-Birula, Cieplak y Kaminski 1992 , p. 88.
  11. ^ Białynicki-Birula, Cieplak y Kaminski 1992 , págs. 90–91.
  12. ↑ Wyatt 2005 , §13.5.
  13. ^ Białynicki-Birula, Cieplak y Kaminski 1992 , págs. 88–89.
  14. ↑ Wyatt 2005 , §2.2.
  15. ↑ Sakurai y Napolitano 2020 , pág. 95.
  16. ↑ Wyatt 2005 , pág. 48.
  17. ↑ Tsekov 2011 .
  18. ↑ Reginatto 1998 .
  19. ↑ Heifetz y Cohen 2015 .
  20. ↑ de Weizsäcker 1935 .
  21. ↑ Tsekov 2009 .

Referencias

  • Białynicki-Birula, Iwo; Ciplak, Marek; Kaminski, Jerzy (1992). Teoría de los cuantos . Nueva York: Oxford University Press, Estados Unidos. ISBN 0-19-507157-3.
  • Heifetz, Eyal; Cohen, Eliahu (2015). "Hacia una descripción termohidrodinámica de la ecuación de Schrödinger mediante la formulación de Madelung y la información de Fisher". Foundations of Physics . 45 (11): 1514– 1525. arXiv : 1501.00944 . doi : 10.1007/s10701-015-9926-1 . ISSN 0015-9018 . 
  • Kragh, Helge; Carazza, Bruno (2000). "Comportamiento clásico de cuerpos macroscópicos a partir de principios cuánticos: primeras discusiones". Archivo para la Historia de las Ciencias Exactas . 55 (1): 43– 56. doi : 10.1007/s004070000018 . ISSN 0003-9519 . 
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