Clases del cubo mágico

En matemáticas , un cubo mágico de orden${\displaystyle n}$es un${\displaystyle n\times n\times n}$cuadrícula de números naturales que satisface la propiedad de que los números en la misma fila, la misma columna, el mismo pilar o la misma longitud-${\displaystyle n}$Las diagonales suman el mismo número. Es un${\displaystyle 3}$Generalización dimensional del cuadrado mágico . Un cubo mágico puede asignarse a una de seis clases de cubos mágicos , según sus características. Una ventaja de esta clasificación es que es consistente para todos los órdenes y todas las dimensiones de los hipercubos mágicos .

• Simple:

Los requisitos mínimos para un cubo mágico son: todas las filas, columnas, pilares y diagonales de 4 espacios deben sumar el mismo valor. Un cubo mágico simple no contiene cuadrados mágicos o no los suficientes para calificar para la siguiente clase. El cubo mágico simple normal más pequeño es de orden 3. Suma mínima correcta requerida = 3 m ² + 4

• Diagonal:

Cada una de las 3 m matrices planas debe ser un cuadrado mágico simple . Los 6 cuadrados oblicuos también son mágicos simples. El cubo mágico diagonal normal más pequeño es de orden 5. Estos cuadrados fueron denominados "Perfectos" por Gardner y otros. Al mismo tiempo, se refirió al cubo pandiagonal de Langman de 1962 también como "Perfecto". Christian Boyer y Walter Trump ahora consideran que esta y las dos clases siguientes son Perfectas . (Véase Perfecto Alternativo más abajo). AH Frost se refirió a todos excepto a la clase simple como cubos de Nasik . El cubo mágico diagonal normal más pequeño es de orden 5; véase Cubo mágico diagonal . Sumatorias correctas mínimas requeridas = 3 m ² + 6 m + 4

• Pantriagonal:

Todos los 4 m ² pantriagonales deben sumar correctamente (es decir, 4 de un segmento, 12( m −1) de dos segmentos y 4( m −2)( m −1) de tres segmentos). Puede haber algunos cuadrados mágicos pandiagonales simples AND/OR, pero no los suficientes para satisfacer ninguna otra clasificación. El cubo mágico pantriagonal normal más pequeño es de orden 4; véase Cubo mágico pantriagonal . Suma mínima correcta requerida = 7 m ² . Todos los pan- r- agonales suman correctamente para r  = 1 y 3.

• PantriagDiag:

Un cubo de esta clase fue construido por primera vez a finales de 2004 por Mitsutoshi Nakamura. Este cubo es una combinación de cubo mágico pantriagonal y cubo mágico diagonal . Por lo tanto, todas las diagonales principales y rotas del espacio se suman correctamente, y contiene 3 m cuadrados mágicos simples planares . Además, los 6 cuadrados oblicuos son cuadrados mágicos pandiagonales . El único cubo de este tipo construido hasta ahora es de orden 8. Se desconoce qué otros órdenes son posibles; véase el cubo mágico pantriagonaldiagonal . Suma mínima correcta requerida = 7 m² + ⁶ m

• Pandiagonal:

Todos los arreglos planares de 3 m deben ser cuadrados mágicos pandiagonales . Los 6 cuadrados oblicuos son siempre mágicos (generalmente mágicos simples). Varios de ellos pueden ser mágicos pandiagonales. Gardner también llamó a este (pandiagonal de Langman) un cubo "perfecto", presumiblemente sin darse cuenta de que era de una clase superior al cubo de Myer. Ver nota anterior sobre Boyer y Trump. El cubo mágico pandiagonal normal más pequeño es de orden 7; ver Cubo mágico pandiagonal . Suma mínima correcta requerida = 9 m ² + 4. Todos los pan- r -agonales suman correctamente para r  = 1 y 2.

• Perfecto:

Todos los arreglos planares de 3 m deben ser cuadrados mágicos pandiagonales . Además, todos los pantriagnoides deben sumar correctamente. Estas dos condiciones se combinan para proporcionar un total de 9 m cuadrados mágicos pandiagonales. El cubo mágico perfecto normal más pequeño es de orden 8; véase Cubo mágico perfecto .

Nasik; AH Frost (1866) se refería a todos excepto al cubo mágico simple como Nasik. C. Planck (1905) redefinió Nasik para referirse a los hipercubos mágicos de cualquier orden o dimensión en los que todas las líneas posibles se sumaban correctamente. Es decir, ^Nasik es un término alternativo preferido y menos ambiguo para la clase perfecta . Se requieren sumas correctas mínimas = 13 m² . Todas las pan- r -agonales se suman correctamente para r = 1, 2 y 3. 

Alternativa Perfecta Nota que la anterior es una definición relativamente nueva de perfecto . Hasta aproximadamente 1995 hubo mucha confusión acerca de lo que constituía un cubo mágico perfecto (ver la discusión en Diagonal ). A continuación se incluyen referencias y enlaces a discusiones de la antigua definición Con la popularidad de las computadoras personales se hizo más fácil examinar los detalles más finos de los cubos mágicos. También se estaba haciendo cada vez más trabajo con hipercubos mágicos de dimensiones superiores . Por ejemplo, John Hendricks construyó el primer teseracto mágico de Nasik del mundo en 2000. Clasificado como un teseracto mágico perfecto según la definición de Hendricks.

Un hipercubo mágico de dimensión n es perfecto si todas las pan -n- agonales suman correctamente. Entonces, todos los hipercubos de menor dimensión contenidos en él también son perfectos. Para la dimensión 2, el cuadrado mágico pandiagonal se ha considerado perfecto durante muchos años. Esto es consistente con las definiciones perfectas (de Nasik) dadas anteriormente para el cubo. En esta dimensión, no hay ambigüedad porque solo existen dos clases de cuadrados mágicos: simples y perfectos. En el caso de 4 dimensiones, el teseracto mágico, Mitsutoshi Nakamura ha determinado que existen 18 clases. Ha determinado sus características y construido ejemplos de cada una. Y también en esta dimensión, el teseracto mágico perfecto ( de Nasik ) tiene todas las líneas posibles sumando correctamente y todos los cubos y cuadrados contenidos en él también son mágicos de Nasik.

Cubo mágico propio: Un cubo mágico propio pertenece a una de las seis clases de cubos mágicos, pero cumple exactamente con los requisitos mínimos para esa clase. Por ejemplo, un cubo mágico simple o pantriangular propio no contiene cuadrados mágicos, un cubo mágico diagonal propio contiene exactamente 3 m + 6 cuadrados mágicos simples, etc. Este término fue acuñado por Mitsutoshi Nakamura en abril de 2004.

Notas para la tabla

1. Para las clases diagonales o pandiagonales, uno o posiblemente dos de los seis cuadrados mágicos oblicuos pueden ser pandiagonales. Todos los cuadrados oblicuos, excepto seis, están "rotos". Esto es análogo a las diagonales rotas en un cuadrado mágico pandiagonal. Es decir, las diagonales rotas son unidimensionales en un cuadrado bidimensional; los cuadrados oblicuos rotos son bidimensionales en un cubo tridimensional.
2. La tabla muestra el número mínimo de líneas o cuadrados necesarios para cada clase (es decir, propiamente dicha). Normalmente hay más, pero no suficientes de un tipo para calificar para la siguiente clase.

• Juan R. Hendricks
• Hipercubo mágico
• Hipercubo mágico de Nasik
• Cuadrado panmágico
• Espacio diagonal

• Frost, Dr. AH, Sobre las propiedades generales de los cubos de Nasik, QJM 15, 1878, págs. 93–123
• Planck, C., La teoría de las trayectorias. Nasik, Impreso para circulación privada, AJ Lawrence, Impresor, Rugby (Inglaterra), 1905.
• Heinz, HD y Hendricks, JR, Léxico del cuadrado mágico: Ilustrado. Publicado por el propio autor, 2000, 0-9687985-0-0.
• Hendricks, John R., El teseracto mágico pan-4-agonal, The American Mathematical Monthly, vol. 75, n.º 4, abril de 1968, pág.  384.
• Hendricks, John R., El cubo mágico pan-3-agonal, Journal of Recreational Mathematics, 5:1, 1972, pp. 51-52
• Hendricks, John R., El cubo mágico pan-3-agonal de orden 5, JRM, 5:3, 1972, pp. 205–206
• Hendricks, John R., Cuadrados mágicos a teseractos por computadora, autopublicado en 1999. 0-9684700-0-9
• Hendricks, John R., Hipercubos mágicos n-dimensionales perfectos de orden 2n, autopublicado en 1999. 0-9684700-4-1
• Clifford A. Pickover (2002). El zen de los cuadrados mágicos, círculos y estrellas . Princeton Univ. Press, 2002, 0-691-07041-5. pp. 101–121

Clases de cubo

• Christian Boyer: Cubos mágicos perfectos
• Harvey Heinz: Hipercubos mágicos perfectos
• Harvey Heinz: 6 clases de cubos
• Walter Trump: Búsqueda del más pequeño
• cubo más perfecto

Cubo perfecto

• Aale de Winkel: Enciclopedia mágica
• Una larga cita de C. Plank (1917) sobre el tema de nasik como término sustituto de perfecto .

Clases de Teseracto

• Las clases Cuadrado, Cubo y Teseracto