cuadrado mágico

Aunque en el I Ching aparecen referencias antiguas al patrón de números pares e impares en el cuadrado mágico de 3×3 , la primera instancia inequívoca de este cuadrado mágico aparece en el capítulo llamado Mingtang (Salón Brillante) de un libro del siglo I, Da Dai Liji (Registro de Ritos del Viejo Dai), que pretendía describir los antiguos ritos chinos de la dinastía Zhou. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} Estos números también aparecen en un texto matemático posiblemente anterior llamado Shushu jiyi (Memoria sobre algunas tradiciones del arte matemático), que se dice que fue escrito en el 190 a. C. Esta es la aparición más antigua de un cuadrado mágico registrada; y se usaba principalmente para la adivinación y la astrología. ^{[ 5 ]} El cuadrado mágico de 3×3 fue denominado "Nueve Salones" por los primeros matemáticos chinos. ^{[ 7 ]} La identificación del cuadrado mágico de 3×3 con el legendario diagrama de Luoshu se realizó recién en el siglo XII, después de lo cual se le denominó cuadrado de Luoshu. ^{[ 5 ] [ 7 ]} El tratado chino más antiguo que se conserva y que muestra cuadrados mágicos de orden mayor que 3 es el Xugu zheqi suanfa (Continuación de los antiguos métodos matemáticos para dilucidar lo extraño) de Yang Hui, escrito en 1275. ^{[ 5 ] [ 7 ]} El contenido del tratado de Yang Hui se recopiló de obras más antiguas, tanto nativas como extranjeras; y él solo explica la construcción de cuadrados mágicos de tercer y cuarto orden, limitándose a transmitir los diagramas terminados de cuadrados más grandes. ^{[ 7 ]} Da un cuadrado mágico de orden 3, dos cuadrados para cada orden del 4 al 8, uno de orden nueve y un cuadrado semimágico de orden 10. También da seis círculos mágicos de complejidad variable. ^{[ 9 ]}

Los cuadrados mágicos de órdenes 3 a 9 mencionados anteriormente provienen del tratado de Yang Hui, en el cual el principio Luo Shu es claramente evidente. ^{[ 7 ] [ 8 ]} El cuadrado de orden 5 es un cuadrado mágico con borde, con un cuadrado central de 3×3 formado según el principio Luo Shu. El cuadrado de orden 9 es un cuadrado mágico compuesto, en el cual los nueve subcuadrados de 3×3 también son mágicos. ^{[ 7 ]} Después de Yang Hui, los cuadrados mágicos aparecen con frecuencia en las matemáticas chinas , como en el Dayan suoyin de Ding Yidong ( c. 1300 ), el Suanfa tongzong de Cheng Dawei (1593), el Shuduyan de Fang Zhongtong (1661) que contiene círculos, cubos y esferas mágicas, el Xinzhai zazu de Zhang Chao ( c. 1650 ), quien publicó el primer cuadrado mágico de orden diez de China, y por último el Binaishanfang ji de Bao Qishou ( c. 1880 ), quien dio varias configuraciones mágicas tridimensionales. ^{[ 5 ] [ 8 ]} Sin embargo, a pesar de ser los primeros en descubrir los cuadrados mágicos y tener una ventaja de varios siglos, el desarrollo chino de los cuadrados mágicos es muy inferior en comparación con los desarrollos indios, de Oriente Medio o europeos. El punto más alto de las matemáticas chinas que tratan sobre los cuadrados mágicos parece estar contenido en la obra de Yang Hui; Pero incluso como recopilación de métodos antiguos, esta obra es mucho más primitiva, careciendo de métodos generales para construir cuadrados mágicos de cualquier orden, en comparación con una colección similar escrita por la misma época por el erudito bizantino Manuel Moschopoulos . ^{[ 7 ]} Esto se debe posiblemente a la fascinación de los eruditos chinos por el principio de Lo Shu, que intentaron adaptar para resolver cuadrados de orden superior; y, tras Yang Hui y la caída de la dinastía Yuan , a su purga sistemática de las influencias extranjeras en las matemáticas chinas. ^{[ 7 ]}

Japón y China tienen tradiciones matemáticas similares y se han influenciado mutuamente en repetidas ocasiones en la historia de los cuadrados mágicos. ^{[ 10 ]} El interés japonés por los cuadrados mágicos comenzó después de la difusión de obras chinas —el Suanfa de Yang Hui y el Suanfa tongzong de Cheng Dawei— en el siglo XVII, y como resultado, casi todos los wasans dedicaron su tiempo a su estudio.

En la edición de 1660 de Ketsugi-sho , Isomura Kittoku presentó cuadrados mágicos con borde, tanto de orden par como impar, así como círculos mágicos; mientras que la edición de 1684 del mismo libro contenía una sección extensa sobre cuadrados mágicos, demostrando que poseía un método general para la construcción de cuadrados mágicos con borde. ^{[ 11 ]} En Jinko-ki (1665) de Muramatsu Kudayu Mosei, se muestran tanto cuadrados mágicos como círculos mágicos. El cuadrado más grande que construye Mosei es de orden 19. Varios cuadrados mágicos y círculos mágicos también fueron publicados por Nozawa Teicho en Dokai-sho (1666), Sato Seiko en Kongenki (1666) y Hosino Sanenobu en Ko-ko-gen Sho (1673). ^{[ 12 ]} Uno de los Siete Libros ( Hojin Yensan ) (1683) de Seki Takakazu está dedicado por completo a los cuadrados y círculos mágicos. Este es el primer libro japonés que ofrece un tratamiento general de los cuadrados mágicos en el que se describen claramente los algoritmos para construir cuadrados mágicos con borde impar, par simple y par doble. ^{[ 13 ]} En 1694 y 1695, Yueki Ando dio diferentes métodos para crear los cuadrados mágicos y mostró cuadrados de orden 3 a 30. Un cubo mágico de cuarto orden fue construido por Yoshizane Tanaka (1651–1719) en Rakusho-kikan (1683). El estudio de los cuadrados mágicos fue continuado por los alumnos de Seki, en particular por Katahiro Takebe, cuyos cuadrados fueron mostrados en el cuarto volumen de Ichigen Kappo por Shukei Irie, Yoshisuke Matsunaga en Hojin-Shin-jutsu , Yoshihiro Kurushima en Kyushi Iko, quien redescubrió un método para producir los cuadrados impares dados por Agrippa, ^{[ 14 ]} y Naonobu Ajima . ^{[ 15 ] [ 16 ]} Así, a principios del siglo XVIII, los matemáticos japoneses poseían métodos para construir cuadrados mágicos de orden arbitrario. Posteriormente, Nushizumi Yamaji inició los intentos de enumerar los cuadrados mágicos. ^{[ 16 ]}

El cuadrado mágico 3×3 aparece por primera vez en la India en el Gargasamhita de Garga, quien recomienda su uso para apaciguar a los nueve planetas ( navagraha ). La versión más antigua de este texto data del año 100 d. C., pero el pasaje sobre los planetas no pudo haber sido escrito antes del año 400 d. C. El primer ejemplo fechable del cuadrado mágico 3×3 en la India se encuentra en un texto médico, el Siddhayog ( c. 966 d. C. ) de Vrnda, que se prescribía a las mujeres en trabajo de parto para facilitar el alumbramiento. ^{[ 17 ]}

El cuadrado mágico de cuarto orden más antiguo del mundo del que se tiene constancia se encuentra en una obra enciclopédica escrita por Varahamihira alrededor del año 550 d. C. llamada Brhat Samhita . El cuadrado mágico se construyó con el propósito de elaborar perfumes utilizando 4 sustancias seleccionadas de entre 16 sustancias diferentes. Cada celda del cuadrado representa un ingrediente particular, mientras que el número en la celda representa la proporción del ingrediente asociado, de modo que la mezcla de cualquier combinación de cuatro ingredientes a lo largo de las columnas, filas, diagonales, etc., da como resultado un volumen total de la mezcla de 18. Aunque el libro trata principalmente sobre adivinación, el cuadrado mágico se presenta como un diseño combinatorio y no se le atribuyen propiedades mágicas. Las características especiales de este cuadrado mágico fueron comentadas por Bhattotpala ( c. 900 d. C. ) ^{[ 18 ] [ 17 ].}

El cuadrado de Varahamihira, como se muestra arriba, tiene una suma de 18. En este cuadrado, los números del 1 al 8 aparecen dos veces. Se trata de un cuadrado mágico pandiagonal . Se pueden obtener cuatro cuadrados mágicos diferentes sumando 8 a uno de los dos conjuntos de la secuencia del 1 al 8. La secuencia se selecciona de tal manera que el número 8 se suma exactamente dos veces en cada fila, cada columna y cada una de las diagonales principales. Uno de los posibles cuadrados mágicos se muestra en el lado derecho. Este cuadrado mágico es notable porque es una rotación de 90 grados de un cuadrado mágico que apareció en el mundo islámico del siglo XIII como uno de los cuadrados mágicos más populares. ^{[ 19 ]}

La construcción del cuadrado mágico de cuarto orden se detalla en una obra titulada Kaksaputa , compuesta por el alquimista Nagarjuna alrededor del siglo X d. C. Todos los cuadrados que Nagarjuna presenta son cuadrados mágicos de 4×4, y uno de ellos se llama Nagarjuniya en su honor. Nagarjuna proporcionó un método para construir un cuadrado mágico de 4×4 utilizando un cuadrado esqueleto primario, dado un número mágico par o impar. ^{[ 18 ]} El cuadrado Nagarjuniya se muestra a continuación y tiene una suma total de 100.

El cuadrado Nagarjuniya es un cuadrado mágico pandiagonal . Está formado por dos progresiones aritméticas que parten de 6 y 16, cada una con ocho términos, y cuya diferencia común entre términos sucesivos es de 4. Al reducir estas dos progresiones a la progresión normal de 1 a 8, se obtiene el cuadrado adyacente.

Hacia el siglo XII, se grabó un cuadrado mágico de 4×4 en la pared del templo Parshvanath en Khajuraho , India. Varios himnos jainistas enseñan cómo crear cuadrados mágicos, aunque no se puede datar su origen. ^{[ 17 ]}

Hasta donde se sabe, el primer estudio sistemático de cuadrados mágicos en la India fue realizado por Thakkar Pheru , un erudito jainista, en su Ganitasara Kaumudi (c. 1315). Esta obra contiene una pequeña sección sobre cuadrados mágicos que consta de nueve versos. En ella, Pheru presenta un cuadrado de orden cuatro y alude a su reordenamiento; clasifica los cuadrados mágicos en tres (impares, pares e impares) según su orden; presenta un cuadrado de orden seis; y prescribe un método para construir cuadrados pares e impares. Para los cuadrados pares, Pheru divide el cuadrado en cuadrados componentes de orden cuatro y coloca los números en las celdas según el patrón de un cuadrado estándar de orden cuatro. Para los cuadrados impares, Pheru presenta el método utilizando el movimiento del caballo . Aunque algorítmicamente diferente, produce el mismo cuadrado que el método de De la Loubere. ^{[ 17 ]}

La siguiente obra exhaustiva sobre cuadrados mágicos fue abordada por Narayana Pandit , quien en el decimocuarto capítulo de su Ganita Kaumudi (1356) ofrece métodos generales para su construcción, junto con los principios que la rigen. Consta de 55 versos con reglas y 17 con ejemplos. Narayana proporciona un método para construir todos los cuadrados mágicos de cuarto orden mediante el movimiento del caballo; enumera el número de cuadrados mágicos pandiagonales de cuarto orden, 384, incluyendo todas las variaciones producidas por rotación y reflexión; tres métodos generales para cuadrados de cualquier orden y suma constante cuando se conoce un cuadrado estándar del mismo orden; y dos métodos para construir cuadrados pares, impares e impares cuando se conoce la suma. Si bien Narayana describe un método antiguo para cada tipo de cuadrado, afirma que el método de superposición para cuadrados pares e impares y el método de intercambio para cuadrados pares e impares son de su propia invención. El método de superposición fue redescubierto posteriormente por De la Hire en Europa. En la última sección, concibe otras figuras, como círculos, rectángulos y hexágonos, en las que los números pueden disponerse para poseer propiedades similares a las de los cuadrados mágicos. ^{[ 18 ] [ 17 ]} A continuación se muestran algunos de los cuadrados mágicos construidos por Narayana: ^{[ 18 ]}

El cuadrado de orden 8 es interesante en sí mismo, ya que es un ejemplo del cuadrado mágico más perfecto. Cabe mencionar que Narayana afirma que el propósito del estudio de los cuadrados mágicos es construir yantras , destruir el ego de los malos matemáticos y para el placer de los buenos matemáticos. El tema de los cuadrados mágicos se conoce como bhadraganita , y Narayana afirma que fue enseñado por primera vez a los hombres por el dios Shiva . ^{[ 17 ]}

Aunque no se conoce la historia temprana de los cuadrados mágicos en Persia y Arabia, se ha sugerido que eran conocidos en tiempos preislámicos. ^{[ 20 ]} Sin embargo, está claro que el estudio de los cuadrados mágicos era común en el Islam medieval , y se cree que comenzó después de la introducción del ajedrez en la región. ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]} La primera aparición fechable de un cuadrado mágico de orden 3 se encuentra en el Kitab al-mawazin al-Saghir (El pequeño libro de balanzas) de Jābir ibn Hayyān ( activo c. 721 – c. 815) , donde el cuadrado mágico y su numerología relacionada se asocian con la alquimia. ^{[ 8 ]} Si bien se sabe que se escribieron tratados sobre cuadrados mágicos en el siglo IX, los tratados más antiguos que se conservan datan del siglo X: uno de Abu'l-Wafa al-Buzjani ( c. 998 ) y otro de Ali b. Ahmad al-Antaki ( c. 987 ). ^{[ 22 ] [ 24 ] [ 25 ]} Estos primeros tratados eran puramente matemáticos, y la designación árabe para los cuadrados mágicos utilizada es wafq al-a'dad , que se traduce como disposición armoniosa de los números . ^{[ 23 ]} A finales del siglo X, los dos tratados de Buzjani y Antaki dejan claro que los matemáticos de Oriente Medio habían comprendido cómo construir cuadrados con borde de cualquier orden, así como cuadrados mágicos simples de órdenes pequeños ( n ≤ 6) que se utilizaban para hacer cuadrados mágicos compuestos. ^{[ 22 ] [ 24 ]} Un ejemplo de cuadrados mágicos de órdenes 3 a 9 ideados por matemáticos de Oriente Medio aparece en una enciclopedia de Bagdad c. 983 , la Rasa'il Ikhwan al-Safa (la Enciclopedia de los Hermanos de la Pureza ). ^{[ 26 ]} Los cuadrados de orden 3 a 7 de Rasa'il se dan a continuación: ^{[ 26 ]}

El siglo XI vio el descubrimiento de varias formas de construir cuadrados mágicos simples para órdenes impares y pares; el caso más difícil del caso par impar ( n = 4k + 2 ) fue resuelto por Ibn al-Haytham con k par (c. 1040), y completamente a principios del siglo XII, si no ya en la segunda mitad del siglo XI. ^{[ 22 ]} Casi al mismo tiempo, se estaban construyendo cuadrados pandiagonales. Los tratados sobre cuadrados mágicos fueron numerosos en los siglos XI y XII. Estos desarrollos posteriores tendieron a ser mejoras o simplificaciones de los métodos existentes. A partir del siglo XIII, los cuadrados mágicos se utilizaron cada vez más con fines ocultos. ^{[ 22 ]} Sin embargo, muchos de estos textos posteriores escritos con fines ocultos simplemente representan ciertos cuadrados mágicos y mencionan sus atributos, sin describir su principio de construcción, y solo algunos autores mantuvieron viva la teoría general. ^{[ 22 ]} Uno de esos ocultistas fue el argelino Ahmad al-Buni (c. 1225), quien dio métodos generales para construir cuadrados mágicos con borde; otros fueron el egipcio Shabramallisi del siglo XVII y el nigeriano al-Kishnawi del siglo XVIII. ^{[ 27 ]}

El cuadrado mágico de orden tres fue descrito como un amuleto para la maternidad ^{[ 28 ] [ 29 ]} desde sus primeras apariciones literarias en las obras alquímicas de Jābir ibn Hayyān (fl. c. 721 – c. 815) ^{[ 29 ] [ 30 ]} y al-Ghazālī (1058–1111) ^{[ 31 ]} y se conservó en la tradición de las tablas planetarias. La primera aparición de la asociación de siete cuadrados mágicos con las virtudes de los siete cuerpos celestes aparece en el Kitāb tadbīrāt al-kawākib ( Libro sobre las influencias de los planetas ) del erudito andalusí Ibn Zarkali (conocido como Azarquiel en Europa) (1029–1087) . ^{[ 32 ]} Un siglo después, el erudito argelino Ahmad al-Buni atribuyó propiedades místicas a los cuadrados mágicos en su influyente libro Shams al-Ma'arif ( El Libro del Sol de la Gnosis y las Sutilezas de las Cosas Elevadas ), que también describe su construcción. Esta tradición sobre una serie de cuadrados mágicos del tercer al noveno orden, asociados con los siete planetas, sobrevive en versiones griegas, árabes y latinas. ^{[ 33 ]} También hay referencias al uso de cuadrados mágicos en cálculos astrológicos, una práctica que parece haberse originado con los árabes. ^{[ 34 ] [ 35 ]}

A diferencia de Persia y Arabia, existe mejor documentación sobre cómo se transmitieron los cuadrados mágicos a Europa. Alrededor de 1315, influenciado por fuentes árabes, el erudito bizantino griego Manuel Moschopoulos escribió un tratado matemático sobre el tema de los cuadrados mágicos, omitiendo el misticismo de sus predecesores de Oriente Medio, donde proporcionó dos métodos para cuadrados impares y dos métodos para cuadrados pares. Moschopoulos fue prácticamente desconocido en la Europa latina hasta finales del siglo XVII, cuando Philippe de la Hire redescubrió su tratado en la Biblioteca Real de París. ^{[ 36 ]} Sin embargo, no fue el primer europeo en escribir sobre cuadrados mágicos; y estos se difundieron por el resto de Europa a través de España e Italia como objetos ocultos. Los primeros tratados ocultistas que mostraban los cuadrados no describían cómo se construían. Por lo tanto, toda la teoría tuvo que ser redescubierta.

Los cuadrados mágicos aparecieron por primera vez en Europa en el Kitāb tadbīrāt al-kawākib ( Libro sobre las influencias de los planetas ), escrito por Ibn Zarkali de Toledo, Al-Ándalus, como cuadrados planetarios en el siglo XI. ^{[ 32 ]} El cuadrado mágico de tres fue tratado desde una perspectiva numerológica a principios del siglo XII por el erudito judío Abraham ibn Ezra de Toledo, lo que influyó en cabalistas posteriores. ^{[ 37 ]} La obra de Ibn Zarkali fue traducida como Libro de Astromagia en la década de 1280, ^{[ 38 ]} gracias a Alfonso X de Castilla. ^{[ 39 ] [ 32 ]} En el texto alfonsino, se asignan cuadrados mágicos de diferentes órdenes a los planetas respectivos, como en la literatura islámica; desafortunadamente, de todos los cuadrados tratados, el cuadrado mágico de Marte de orden cinco es el único que se muestra en el manuscrito. ^{[ 40 ] [ 32 ]}

Los cuadrados mágicos reaparecen en Florencia, Italia, en el siglo XIV. Un cuadrado de 6×6 y otro de 9×9 se muestran en un manuscrito del Trattato d'Abbaco (Tratado del Ábaco) de Paolo Dagomari . ^{[ 41 ] [ 42 ]} Es interesante observar que Paolo Dagomari, al igual que Pacioli después de él, se refiere a los cuadrados como una base útil para inventar problemas y juegos matemáticos, y no menciona ningún uso mágico. Sin embargo, incidentalmente, también se refiere a ellos como los cuadrados del Sol y de la Luna, respectivamente, y menciona que intervienen en cálculos astrológicos que no se especifican mejor. Como se ha dicho, el mismo punto de vista parece motivar al también florentino Luca Pacioli , quien describe cuadrados de 3×3 a 9×9 en su obra De Viribus Quantitatis a finales del siglo XV. ^{[ 43 ] [ 44 ]}

Los cuadrados planetarios se habían difundido por el norte de Europa a finales del siglo XV. Por ejemplo, el manuscrito de Cracovia de Picatrix, procedente de Polonia, muestra cuadrados mágicos de órdenes 3 a 9. El mismo conjunto de cuadrados que aparece en el manuscrito de Cracovia aparece más tarde en los escritos de Paracelso en Archidoxa Magica (1567), aunque de forma muy distorsionada. En 1514, Albrecht Dürer inmortalizó un cuadrado de 4×4 en su famoso grabado Melancolía I. Heinrich Cornelius Agrippa von Nettesheim, contemporáneo de Paracelso, publicó su célebre obra en tres volúmenes De occulta philosophia en 1531, donde dedicó el capítulo 22 del libro II a los cuadrados planetarios que se muestran a continuación. ^{[ 37 ]} El mismo conjunto de cuadrados dado por Agrippa reaparece en 1539 en Practica Arithmetice de Girolamo Cardano , donde explica la construcción de los cuadrados impares ordenados usando el "método del diamante", que posteriormente fue reproducido por Bachet. ^{[ 45 ]} La tradición de los cuadrados planetarios fue continuada en el siglo XVII por Athanasius Kircher en Oedipi Aegyptici (1653). En Alemania, los tratados matemáticos sobre cuadrados mágicos fueron escritos en 1544 por Michael Stifel en Arithmetica Integra , quien redescubrió los cuadrados con borde, y Adam Riese , quien redescubrió el método de numeración continua para construir cuadrados impares ordenados publicado por Agrippa. Sin embargo, debido a las convulsiones religiosas de la época, estas obras fueron desconocidas para el resto de Europa. ^{[ 37 ]}

En 1624, en Francia, Claude Gaspard Bachet describió el "método del diamante" para construir los cuadrados impares ordenados de Agrippa en su libro Problèmes Plaisants . Durante 1640, Bernard Frenicle de Bessy y Pierre Fermat intercambiaron cartas sobre cuadrados y cubos mágicos, y en una de ellas Fermat se jactaba de poder construir 1.004.144.995.344 cuadrados mágicos de orden 8 mediante su método. ^{[ 45 ]} Una de las primeras descripciones sobre la construcción de cuadrados con borde fue dada por Antoine Arnauld en su Nouveaux éléments de géométrie (1667). ^{[ 46 ]} En los dos tratados Des quarrez ou tables magiques y Table générale des quarrez magiques de quatre de côté , publicados póstumamente en 1693, veinte años después de su muerte, Bernard Frenicle de Bessy demostró que había exactamente 880 cuadrados mágicos distintos de orden cuatro. Frenicle dio métodos para construir cuadrados mágicos de cualquier orden impar y par, donde los cuadrados de orden par se construían usando bordes. También mostró que intercambiar filas y columnas de un cuadrado mágico producía nuevos cuadrados mágicos. ^{[ 45 ]} En 1691, Simon de la Loubère describió el método continuo indio de construcción de cuadrados mágicos de orden impar en su libro Du Royaume de Siam , que había aprendido al regresar de una misión diplomática a Siam, que era más rápido que el método de Bachet. En un intento de explicar su funcionamiento, de la Loubère usó los números primarios y los números raíz, y redescubrió el método de agregar dos cuadrados preliminares. Este método fue investigado posteriormente por el abad Poignard en Traité des quarrés sublimes (1704), por Philippe de La Hire en Mémoires de l'Académie des Sciences for the Royal Academy (1705) y por Joseph Sauveur en Construction des quarrés magiques (1710). Los cuadrados concéntricos con borde también fueron estudiados por De la Hire en 1705, mientras que Sauveur introdujo los cubos mágicos y los cuadrados con letras, que fueron retomados más tarde por Euler en 1776, a quien a menudo se le atribuye su invención. En 1750, d'Ons-le-Bray redescubrió el método de construcción de cuadrados doblemente pares y simples pares utilizando la técnica de borde; mientras que en 1767 Benjamin Franklin publicó un cuadrado semimágico que tenía las propiedades del cuadrado Franklin epónimo. ^{[ 47 ]} Para entonces, el misticismo anterior asociado a los cuadrados mágicos había desaparecido por completo, y el tema se trataba como parte de las matemáticas recreativas.^{[ 37 ] [ 48 ]}

En el siglo XIX, Bernard Violle ofreció un tratamiento exhaustivo de los cuadrados mágicos en su obra de tres volúmenes Traité complet des carrés magiques (1837-1838), que también describió cubos mágicos, paralelogramos, paralelepípedos y círculos. Los cuadrados pandiagonales fueron estudiados extensamente por Andrew Hollingworth Frost, quien los aprendió en la ciudad de Nasik, India (de ahí que los llamara cuadrados de Nasik), en una serie de artículos: On the knight's path (1877), On the General Properties of Nasik Squares (1878), On the General Properties of Nasik Cubes (1878) y On the construction of Nasik Squares of any order (1896). Demostró que es imposible tener un cuadrado mágico pandiagonal normal de un solo lado par. Frederick AP Barnard construyó cuadrados mágicos incrustados y otras figuras mágicas tridimensionales, como esferas mágicas y cilindros mágicos, en Theory of magic squares and of magic cubes (1888). ^{[ 48 ]} En 1897, Emroy McClintock publicó Sobre la forma más perfecta de los cuadrados mágicos , acuñando las palabras cuadrado pandiagonal y cuadrado más perfecto , que anteriormente se habían denominado perfecto, diabólico o Nasik.

Leyendas que datan de tan temprano como 650 a. C. cuentan la historia del Lo Shu (洛書) o "rollo del río Lo". ^{[ 8 ]} Según la leyenda, hubo una vez en la antigua China una gran inundación. Mientras el gran rey Yu intentaba canalizar el agua hacia el mar, una tortuga emergió de ella con un curioso patrón en su caparazón: una cuadrícula de 3×3 en la que se disponían puntos circulares de números, de tal manera que la suma de los números en cada fila, columna y diagonal era la misma: 15. Según la leyenda, a partir de entonces la gente pudo usar este patrón de cierta manera para controlar el río y protegerse de las inundaciones. El cuadrado Lo Shu , como se llama al cuadrado mágico en el caparazón de la tortuga, es el único cuadrado mágico normal de orden tres en el que el 1 está en la parte inferior y el 2 en la esquina superior derecha. Todo cuadrado mágico normal de orden tres se obtiene del Lo Shu mediante rotación o reflexión.

Hay un conocido cuadrado mágico normal de 4×4 del siglo XII inscrito en la pared del templo Parshvanath en Khajuraho , India. ^{[ 18 ] [ 17 ] [ 49 ]}

Se le conoce como el Chautisa Yantra ( Chautisa , 34; Yantra , literalmente "dispositivo"), ya que su suma mágica es 34. Es uno de los tres cuadrados mágicos pandiagonales de 4×4 y también un ejemplo del cuadrado mágico más perfecto . El estudio de este cuadrado propició el aprecio por los cuadrados pandiagonales entre los matemáticos europeos a finales del siglo XIX. En la literatura inglesa antigua, los cuadrados pandiagonales se denominaban cuadrados de Nasik o cuadrados jainistas.

Se cree que el cuadrado mágico normal de orden cuatro que Alberto Durero inmortalizó en su grabado de 1514 , Melancolía I (mencionado anteriormente), es el primero que se ve en el arte europeo. El cuadrado, asociado a Júpiter, aparece como un talismán para ahuyentar la melancolía. Es muy similar al cuadrado de Yang Hui , creado en China unos 250 años antes de la época de Durero. Como en todos los cuadrados mágicos normales de orden cuatro, la suma mágica es 34. Pero en el cuadrado de Durero, esta suma también se encuentra en cada uno de los cuadrantes, en los cuatro cuadrados centrales y en los cuadrados de las esquinas (tanto de la cuadrícula de 4×4 como de las cuatro cuadrículas de 3×3 que contiene). Esta suma también se puede encontrar en los cuatro números exteriores en el sentido de las agujas del reloj desde las esquinas (3+8+14+9) y de igual manera los cuatro en sentido contrario a las agujas del reloj (las ubicaciones de las cuatro reinas en las dos soluciones del rompecabezas de las 4 reinas ^{[ 50 ]} ), los dos conjuntos de cuatro números simétricos (2+8+9+15 y 3+5+12+14), la suma de las dos entradas centrales de las dos columnas y filas exteriores (5+9+8+12 y 3+2+15+14), y en cuatro cuartetos en forma de cometa o cruz (3+5+11+15, 2+10+8+14, 3+9+7+15 y 2+6+12+14). Los dos números en el medio de la fila inferior dan la fecha del grabado: 1514. Los números 1 y 4 a cada lado de la fecha corresponden respectivamente a las letras "A" y "D", las iniciales del artista.

El cuadrado mágico de Durero también puede extenderse a un cubo mágico. ^{[ 51 ]}

La fachada de la Pasión de la iglesia de la Sagrada Familia en Barcelona , ​​conceptualizada por Antoni Gaudí y diseñada por el escultor Josep Subirachs , presenta un cuadrado mágico trivial de orden 4: la constante mágica del cuadrado es 33, la edad de Jesús en el momento de la Pasión . ^{[ 52 ]} Estructuralmente, es muy similar al cuadrado mágico de la Melancolía , pero se han reducido en 1 los números de cuatro de las celdas.

Los cuadrados triviales como este generalmente no son matemáticamente interesantes y solo tienen importancia histórica. Lee Sallows ha señalado que, debido a la ignorancia de Subirachs sobre la teoría de los cuadrados mágicos, el renombrado escultor cometió un error innecesario, y respalda esta afirmación con varios ejemplos de cuadrados mágicos de 4×4 no triviales que muestran la constante mágica deseada de 33. ^{[ 53 ]}

De forma similar al cuadrado mágico de Durero, el cuadrado mágico de la Sagrada Familia también puede extenderse a un cubo mágico. ^{[ 54 ]}

La constante que es la suma de cualquier fila, columna o diagonal se llama constante mágica o suma mágica, M. Cada cuadrado mágico normal tiene una constante que depende del orden n , calculada mediante la fórmula${\displaystyle M=n(n^{2}+1)/2}$Esto se puede demostrar observando que la suma de${\displaystyle 1,2,...,n^{2}}$es${\displaystyle n^{2}(n^{2}+1)/2}$. Dado que la suma de cada fila es${\displaystyle M}$, la suma de${\displaystyle n}$filas es${\displaystyle nM=n^{2}(n^{2}+1)/2}$, que al dividirse por el orden n produce la constante mágica como${\displaystyle M=n(n^{2}+1)/2}$. Para cuadrados mágicos normales de órdenes n = 3, 4, 5, 6, 7 y 8, las constantes mágicas son, respectivamente: 15, 34, 65, 111, 175 y 260 (secuencia A006003 en la OEIS ).

El cuadrado mágico de 1×1, con solo una celda que contiene el número 1, se denomina trivial porque normalmente no se tiene en cuenta al hablar de cuadrados mágicos; pero, de hecho, es un cuadrado mágico por definición, si una sola celda se considera un cuadrado de orden uno.

Se pueden construir cuadrados mágicos normales de todos los tamaños excepto 2×2 (es decir, donde el orden n = 2). ^{[ 55 ]}

Si los números del cuadrado mágico se consideran masas ubicadas en distintas celdas, entonces el centro de masa de un cuadrado mágico coincide con su centro geométrico.

El momento de inercia de un cuadrado mágico se ha definido como la suma sobre todas las celdas del número en la celda multiplicado por la distancia al cuadrado desde el centro de la celda hasta el centro del cuadrado; aquí la unidad de medida es el ancho de una celda. ^{[ 56 ]} (Así, por ejemplo, una celda de esquina de un cuadrado de 3×3 tiene una distancia de${\displaystyle {\sqrt {2}},}$Una celda de borde que no es una esquina tiene una distancia de 1, y la celda central tiene una distancia de 0. Entonces, todos los cuadrados mágicos de un orden dado tienen el mismo momento de inercia entre sí. Para el caso de orden 3, el momento de inercia siempre es 60, mientras que para el caso de orden 4, el momento de inercia siempre es 340. En general, para el caso n × n, el momento de inercia es${\displaystyle n^{2}(n^{4}-1)/12.}$^{[ 56 ]}

Dividir cada número del cuadrado mágico por la constante mágica dará como resultado una matriz doblemente estocástica , cuyas sumas de filas y columnas son iguales a la unidad. Sin embargo, a diferencia de la matriz doblemente estocástica, las sumas diagonales de dichas matrices también serán iguales a la unidad. Por lo tanto, dichas matrices constituyen un subconjunto de la matriz doblemente estocástica. El teorema de Birkhoff-von Neumann establece que para cualquier matriz doblemente estocástica${\displaystyle A}$, existen números reales${\displaystyle \theta _ {1},\ldots,\theta _ {k}\geq 0}$, dónde${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\theta _{i}=1}$y matrices de permutación${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{k}}$de tal manera que

${\displaystyle A=\theta _{1}P_{1}+\cdots +\theta _{k}P_{k}.}$

Esta representación puede no ser única en general. Sin embargo, según el teorema de Marcus-Ree, no es necesario que haya más de${\displaystyle k\leq n^{2}-2n+2}$términos en cualquier descomposición. ^{[ 57 ]} Claramente, esta descomposición también se extiende a los cuadrados mágicos, ya que un cuadrado mágico se puede recuperar de una matriz doblemente estocástica multiplicándola por la constante mágica.

• Un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando sus números se multiplican por cualquier constante. ^{[ 61 ]}
• Un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando se le suma o se le resta una constante a sus números, o cuando se le resta una constante a sus números. En particular, si a cada elemento de un cuadrado mágico normal se le resta n² + ¹ , el cuadrado resultante es el complemento del cuadrado original. ^{[ 61 ]} En el ejemplo siguiente, a los elementos del cuadrado de 4×4 de la izquierda se les resta 17 para obtener el complemento del cuadrado de la derecha.

• Los números de un cuadrado mágico pueden sustituirse por números correspondientes de un conjunto de s progresiones aritméticas con la misma diferencia común entre r términos, de modo que r × s = n² , y cuyos términos iniciales también están en progresión aritmética, para obtener un cuadrado mágico no normal. Aquí, ^s o r deben ser múltiplos de n . Consideremos s progresiones aritméticas dadas por

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}a&a+c&a+2c&\cdots &a+(r-1)c\\a+d&a+c+d&a+2c+d&\cdots &a+(r-1)c+d\\a+2d&a+c+2d&a+2c+2d&\cdots &a+(r-1)c+2d\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a+(s-1)d&a+c+(s-1)d&a+2c+(s-1)d&\cdots &a+(r-1)c+(s-1)d\\\end{array}}}$

donde a es el término inicial, c es la diferencia común de las progresiones aritméticas y d es la diferencia común entre los términos iniciales de cada progresión. La nueva constante mágica será

${\displaystyle M=na+{\frac {n}{2}}{\big [}(r-1)c+(s-1)d{\big ]}.}$

Si s = r = n , entonces tenemos la simplificación

${\displaystyle M=na+{\frac {n}{2}}(n-1)(c+d).}$

Si además tenemos a = c = 1 y d = n , obtenemos el usual M = n ( n ² +1)/2. Para un M dado , podemos encontrar los a , c y d requeridos resolviendo la ecuación diofántica lineal . En los ejemplos siguientes, tenemos un cuadrado mágico normal de orden 4 en el lado izquierdo. El segundo cuadrado es un cuadrado mágico no normal correspondiente con r = 8, s = 2, a = 1, c = 1 y d = 10 tal que la nueva constante mágica es M = 38. El tercer cuadrado es un cuadrado mágico normal de orden 5, que es una versión rotada 90 grados en el sentido de las agujas del reloj del cuadrado generado por el método de De la Loubere. En el lado derecho hay un cuadrado mágico no normal correspondiente con a = 4, c = 1 y d = 6 tal que la nueva constante mágica es M = 90.

• Cualquier cuadrado mágico puede rotarse y reflejarse para producir 8 cuadrados trivialmente distintos. En la teoría de los cuadrados mágicos, generalmente se considera que todos estos cuadrados son equivalentes, y se dice que los ocho cuadrados de este tipo conforman una única clase de equivalencia . ^{[ 62 ] [ 61 ]} Al hablar de cuadrados mágicos, los cuadrados equivalentes no suelen considerarse distintos. Los 8 cuadrados equivalentes se muestran a continuación para el cuadrado mágico de 3×3:

• Dado cualquier cuadrado mágico, se puede formar otro cuadrado mágico del mismo orden intercambiando la fila y la columna que se intersecan en una celda en una diagonal con la fila y la columna que se intersecan en la celda complementaria (es decir, la celda simétricamente opuesta al centro) de la misma diagonal. ^{[ 61 ] [ 48 ]} Para un cuadrado par, hay n /2 pares de filas y columnas que se pueden intercambiar; por lo tanto, podemos obtener 2 ^{n /2} cuadrados mágicos equivalentes combinando dichos intercambios. Para un cuadrado impar, hay ( n −1)/2 pares de filas y columnas que se pueden intercambiar; y 2 ^{​​( n −1)/2} cuadrados mágicos equivalentes obtenidos combinando dichos intercambios. Intercambiar todas las filas y columnas rota el cuadrado 180 grados. En el ejemplo que utiliza un cuadrado mágico de 4×4, el cuadrado de la izquierda es el cuadrado original, mientras que el cuadrado de la derecha es el nuevo cuadrado que se obtiene al intercambiar la primera y la cuarta fila y columna.

• Dado cualquier cuadrado mágico, se puede formar otro cuadrado mágico del mismo orden intercambiando dos filas a un lado de la línea central y luego las dos filas correspondientes al otro lado de la línea central; y luego intercambiando columnas iguales. Para un cuadrado par, como hay n /2 filas y columnas del mismo lado, hay n ( n -2)/8 pares de dichas filas y columnas que se pueden intercambiar. Así, podemos obtener 2n ^{( n - 2)/8} cuadrados mágicos equivalentes combinando dichos intercambios. Para un cuadrado impar, como hay ( n -1)/2 filas y columnas del mismo lado, hay ( n -1)( n -3)/8 pares de dichas filas y columnas que se pueden intercambiar. Así, hay 2 ^{( n -1)( n -3)/8} cuadrados mágicos equivalentes obtenidos combinando dichos intercambios. Al intercambiar cualquier par posible de filas y columnas, cada cuadrante del cuadrado gira 180 grados. En el ejemplo con un cuadrado mágico de 4×4, el cuadrado de la izquierda es el original, mientras que el de la derecha es el nuevo cuadrado obtenido mediante esta transformación. En el cuadrado central, la fila 1 se ha intercambiado con la fila 2, y las filas 3 y 4 también. El cuadrado final de la derecha se obtiene intercambiando las columnas 1 y 2, y las columnas 3 y 4 del cuadrado central. En este ejemplo concreto, esta transformación equivale a girar los cuadrantes 180 grados. El cuadrado central también es un cuadrado mágico, ya que el cuadrado original es un cuadrado mágico asociativo.

• Un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando se intercambian cualquiera de sus filas no centrales x e y , junto con sus filas complementarias n − x + 1 y n − y + 1; y luego se intercambian las columnas iguales. Esta es una generalización de las dos transformaciones anteriores. Cuando y = n − x + 1, esta transformación se reduce a la primera de las dos transformaciones anteriores. Cuando x e y están del mismo lado de la línea central, esta transformación se reduce a la segunda de las dos transformaciones anteriores. En el ejemplo siguiente, el cuadrado original está a la izquierda, mientras que el cuadrado final está a la derecha. El cuadrado central se ha obtenido intercambiando las filas 1 y 3, y las filas 2 y 4 del cuadrado original. El cuadrado final de la derecha se obtiene intercambiando las columnas 1 y 3, y las columnas 2 y 4 del cuadrado central. En este ejemplo, esta transformación equivale a intercambiar los cuadrantes en diagonal. Dado que el cuadrado original es asociativo, el cuadrado del medio también resulta ser mágico.

• Un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando sus cuadrantes se intercambian diagonalmente porque esta es otra permutación simétrica de la forma descrita anteriormente. Para orden par${\displaystyle n}$, permutar las filas y columnas mediante permutación${\displaystyle p}$dónde${\displaystyle p(i)=i+{\frac {n}{2}}}$para${\displaystyle i\leq {\frac {n}{2}}}$, y${\displaystyle p(i)=i-{\frac {n}{2}}}$para${\displaystyle i>{\frac {n}{2}}}$Para números impares${\displaystyle n}$, permutar filas y columnas mediante permutación${\displaystyle p}$dónde${\displaystyle p(i)=i+{\frac {n+1}{2}}}$para${\displaystyle i<{\frac {n+1}{2}}}$, y${\displaystyle p(i)=i-{\frac {n+1}{2}}}$para${\displaystyle i>{\frac {n+1}{2}}}$. Para cuadrados de orden impar, las mitades de la fila y la columna centrales también se intercambian. ^{[ 61 ]} A continuación se muestran ejemplos de cuadrados mágicos de orden 4 y 5:

• Un cuadrado mágico asociativo sigue siendo asociativo cuando se intercambian dos filas o columnas equidistantes del centro. ^{[ 63 ] [ 64 ]} Para un cuadrado par, hay n /2 pares de filas o columnas que se pueden intercambiar; por lo tanto, se pueden obtener {{{1}}} cuadrados mágicos equivalentes combinando dichos intercambios. Para un cuadrado impar, hay ( n − 1)/2 pares de filas o columnas que se pueden intercambiar; y se obtienen 2 ^{n − 1} cuadrados mágicos equivalentes combinando dichos intercambios. Intercambiar todas las filas invierte el cuadrado verticalmente (es decir, reflejado a lo largo del eje horizontal), mientras que intercambiar todas las columnas invierte el cuadrado horizontalmente (es decir, reflejado a lo largo del eje vertical). En el ejemplo siguiente, un cuadrado mágico asociativo de 4×4 a la izquierda se transforma en un cuadrado a la derecha intercambiando la segunda y la tercera fila, dando como resultado el famoso cuadrado mágico de Durero.

• Un cuadrado mágico asociativo sigue siendo asociativo cuando se intercambian dos filas (o columnas) del mismo lado junto con las correspondientes filas (o columnas) del otro lado. ^{[ 63 ] [ 64 ]} Para un cuadrado par, dado que hay n /2 filas (o columnas) del mismo lado, hay n ( n − 2)/8 pares de tales filas (o columnas) que se pueden intercambiar. Por lo tanto, se pueden obtener 2 ^{n ( n − 2)/8} × 2 ^{n ( n − 2)/8} = 2 ^{n ( n − 2)/4} cuadrados mágicos equivalentes combinando tales intercambios. Para un cuadrado impar, dado que hay ( n − 1)/2 filas o columnas del mismo lado, hay ( n − 1)( n − 3)/8 pares de tales filas o columnas que se pueden intercambiar. Así, se obtienen 2 ^{( n − 1)( n − 3)/8} × 2 ^{( n − 1)( n − 3)/8} = 2 ^{( n − 1)( n − 3)/4} cuadrados mágicos equivalentes mediante la combinación de dichos intercambios. Al intercambiar todas las filas del mismo lado, cada cuadrante del cuadrado se invierte verticalmente, mientras que al intercambiar todas las columnas del mismo lado, cada cuadrante del cuadrado se invierte horizontalmente. En el ejemplo siguiente, el cuadrado original se encuentra a la izquierda, cuyas filas 1 y 2 se intercambian entre sí, junto con las filas 3 y 4, para obtener el cuadrado transformado de la derecha.

• Un cuadrado mágico pandiagonal sigue siendo un cuadrado mágico pandiagonal bajo un desplazamiento cíclico de filas o columnas o ambas. ^{[ 61 ]} Esto nos permite posicionar un número dado en cualquiera de las n ² celdas de un cuadrado de orden n . Por lo tanto, para un cuadrado panmágico dado, hay n ² cuadrados panmágicos equivalentes. En el ejemplo siguiente, el cuadrado original de la izquierda se transforma desplazando la primera fila hacia abajo para obtener un nuevo cuadrado panmágico en el centro. A continuación, la primera y la segunda columna del cuadrado panmágico central se desplazan circularmente hacia la derecha para obtener un nuevo cuadrado panmágico a la derecha.

• Un cuadrado mágico bordeado sigue siendo un cuadrado mágico bordeado después de permutar las celdas del borde en las filas o columnas, junto con sus términos complementarios correspondientes, manteniendo fijas las celdas de las esquinas. Dado que las celdas en cada fila y columna de cada borde concéntrico se pueden permutar independientemente, cuando el orden n ≥ 5 es impar, hay${\displaystyle ((n-2)!(n-4)!\dots \cdot 3!)^{2}}$cuadrados bordeados equivalentes. Cuando n ≥ 6 es par, hay${\displaystyle ((n-2)!(n-4)!\dots \cdot 4!)^{2}}$cuadrados bordeados equivalentes. En el ejemplo siguiente, se da un cuadrado de orden 5 cuya fila bordeada ha sido permutada y se pueden obtener (3!) ^{2 = 36 cuadrados equivalentes de este tipo.}

• Un cuadrado mágico con borde sigue siendo un cuadrado mágico con borde después de que cada uno de sus bordes concéntricos se rote o refleje independientemente con respecto al cuadrado mágico central. Si hay b bordes, esta transformación dará como resultado 8b ^cuadrados equivalentes. En el ejemplo siguiente del cuadrado mágico de 5×5, el borde se ha rotado 90 grados en sentido antihorario.

• Un cuadrado mágico compuesto sigue siendo un cuadrado mágico compuesto cuando los cuadrados mágicos incrustados sufren transformaciones que no alteran la propiedad mágica (por ejemplo, rotación, reflexión, desplazamiento de filas y columnas, etc.).

Se pueden imponer ciertas restricciones adicionales a los cuadrados mágicos.

Si al elevar cada número a la enésima potencia se obtiene otro cuadrado mágico, el resultado es un cuadrado bimágico (n  =  2), un cuadrado trimágico (n  =  3) o, en general, un cuadrado multimágico .

Un cuadrado mágico en el que la cantidad de letras en el nombre de cada número en el cuadrado genera otro cuadrado mágico se llama cuadrado alfamágico .

Existen cuadrados mágicos formados enteramente por números primos . Rudolf Ondrejka (1928–2001) descubrió el siguiente cuadrado mágico de 3×3 formado por números primos , en este caso nueve primos de Chen :

El teorema de Green-Tao implica que existen cuadrados mágicos arbitrariamente grandes formados por números primos.

El siguiente "cuadrado mágico reversible" tiene una constante mágica de 264 tanto boca abajo como boca arriba: ^{[ 65 ]}

Cuando la restricción adicional es mostrar alguna fecha, especialmente una fecha de nacimiento, entonces estos cuadrados mágicos se denominan cuadrados mágicos de cumpleaños. Un ejemplo temprano de este tipo de cuadrado mágico de cumpleaños fue creado por Srinivasa Ramanujan . Creó un cuadrado de 4×4 en el que ingresó su fecha de nacimiento en formato DD - MM - CC - AA en la fila superior, y la magia ocurrió con sumas y restas de números en los cuadrados. No solo las filas, columnas y diagonales suman el mismo número, sino que las cuatro esquinas, los cuatro cuadrados centrales (17, 9, 24, 89), los dos números centrales de la primera y la última fila (12, 18, 86, 23), y los dos números centrales de la primera y la última columna (88, 10, 25, 16) suman 139.

En lugar de sumar los números de cada fila, columna y diagonal, se puede aplicar alguna otra operación. Por ejemplo, un cuadrado mágico multiplicativo tiene un producto constante de números. Un cuadrado mágico multiplicativo se puede derivar de un cuadrado mágico aditivo elevando 2 (o cualquier otro entero) a la potencia de cada elemento, porque el logaritmo del producto de 2 números es la suma de los logaritmos de cada uno. Alternativamente, si tres números cualesquiera en una línea son 2a ^, 2b ^y 2c ^, su producto es 2a ^{+ b + c ,} que es constante si a + b + c es constante, como lo sería si a , b y c se tomaran de un cuadrado mágico ordinario (aditivo). ^{[ 66 ]} Por ejemplo, el cuadrado mágico Lo-Shu original se convierte en:

Otros ejemplos de cuadrados mágicos multiplicativos incluyen:

Siguiendo el método no iterativo de Ali Skalli , es posible producir una infinidad de cuadrados mágicos multiplicativos de números complejos ^{[ 67 ]} pertenecientes a${\displaystyle \mathbb {C} }$conjunto. En el ejemplo siguiente, las partes real e imaginaria son números enteros, pero también pueden pertenecer al conjunto completo de números reales.${\displaystyle \mathbb {R} }$. El producto es: −352,507,340,640 − 400,599,719,520 i .

Los cuadrados mágicos aditivos-multiplicativos y los cuadrados semimágicos satisfacen propiedades tanto de los cuadrados mágicos ordinarios como de los multiplicativos y los cuadrados semimágicos, respectivamente. ^{[ 68 ]}

Se desconoce si existen cuadrados mágicos aditivos-multiplicativos menores que 7×7, pero se ha demostrado que no existen cuadrados mágicos aditivos-multiplicativos de 3×3 o 4×4 ni cuadrados semimágicos aditivos-multiplicativos de 3×3. ^{[ 69 ]}

Se pueden construir cuadrados mágicos que contienen figuras geométricas en lugar de números. Dichos cuadrados, conocidos como cuadrados mágicos geométricos , fueron inventados y nombrados por Lee Sallows en 2001. ^{[ 70 ]}

En el ejemplo mostrado, las figuras que aparecen son bidimensionales. Es evidente que todos los cuadrados mágicos son geométricos, ya que los números que aparecen en los cuadrados mágicos numéricos pueden interpretarse como una notación abreviada que indica las longitudes de los segmentos de línea recta que constituyen las «figuras» geométricas presentes en el cuadrado. Es decir, los cuadrados mágicos numéricos son un caso especial de cuadrado mágico geométrico que utiliza figuras unidimensionales. ^{[ 71 ]}

En 2017, siguiendo las ideas iniciales de William Walkington e Inder Taneja, Walter Trump construyó el primer cuadrado mágico de área lineal (L-AMS) . ^{[ 72 ] [ 73 ]}

Se pueden considerar otras formas bidimensionales además de los cuadrados. El caso general es considerar un diseño con N partes como mágico si las N partes están etiquetadas con los números del 1 al N y una serie de subdiseños idénticos dan la misma suma. Ejemplos incluyen círculos mágicos , rectángulos mágicos, triángulos mágicos ^{[ 74 ]} , estrellas mágicas , hexágonos mágicos , diamantes mágicos. Al aumentar la dimensión se obtienen esferas mágicas, cilindros mágicos, cubos mágicos , paralelepípedos mágicos , sólidos mágicos y otros hipercubos mágicos .

Las posibles formas mágicas están limitadas por el número de subconjuntos de igual tamaño y suma igual del conjunto de etiquetas elegido. Por ejemplo, si se propone formar una forma mágica etiquetando las partes con {1, 2, 3, 4}, los subdiseños deberán estar etiquetados con {1,4} y {2,3}. ^{[ 74 ]}

En 1992, Demirörs, Rafraf y Tanik publicaron un método para convertir algunos cuadrados mágicos en soluciones de n -reinas , y viceversa. ^{[ 77 ]}