onda magnetosónica

En un fluido ideal conductor de electricidad con un campo magnético homogéneo B , el conjunto cerrado de ecuaciones MHD que consta de la ecuación de movimiento, la ecuación de continuidad, la ecuación de estado y la ecuación de inducción ideal (véase Magnetohidrodinámica §  Ecuaciones ) linealizadas alrededor de un equilibrio estacionario donde la presión p y la densidad ρ son uniformes y constantes son: $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{0}{\frac {\partial \mathbf {v} _{1}}{\partial t}}&={\frac {(\nabla \times \mathbf {B} _{1})\times \mathbf {B} _{0}}{\mu _{0}}}-\nabla p_{1},\\{\frac {\partial \rho _{1}}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} _{1}&=0,\\{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {p_{1}}{p_{0}}}-{\frac {\gamma \rho _{1}}{\rho _{0}}}\right)&=0,\\{\frac {\partial \mathbf {B} _{1}}{\partial t}}&=\nabla \times (\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {B} _{0}),\end{aligned}}}$$ donde las cantidades de equilibrio tienen subíndices 0, las perturbaciones tienen subíndices 1, γ es el índice adiabático y μ ₀ es la permeabilidad del vacío . Buscando una solución en forma de superposición de ondas planas que varían como exp[ i ( k ⋅ x − ω t )] con vector de onda k y frecuencia angular ω , la ecuación de movimiento linealizada se puede reescribir como $${\displaystyle -\omega \rho _{0}\mathbf {v} _{1}={\frac {(\mathbf {k} \times \mathbf {B} _{1})\times \mathbf {B} _{0}}{\mu _{0}}}-\mathbf {k} p_{1}.}$$ Y suponiendo que ω ≠ 0 , las ecuaciones restantes se pueden resolver para cantidades perturbadas en términos de v ₁ : $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{1}&=\rho _{0}{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} _{1}}{\omega }},\\p_{1}&=\gamma p_{0}{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} _{1}}{\omega }},\\\mathbf {B} _{1}&={\frac {(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} _{1})\mathbf {B} _{0}-(\mathbf {k} \cdot \mathbf {B} _{0})\mathbf {v} _{1}}{\omega }}.\end{aligned}}}$$ Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el eje z está orientado a lo largo de B ₀ y que el vector de onda k se encuentra en el plano xz con componentes k _∥ y k _⊥ paralelas y perpendiculares a B ₀ , respectivamente. La ecuación de movimiento, después de sustituir las cantidades perturbadas, se reduce a la ecuación de autovalores. $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\omega ^{2}-v_{A}^{2}k^{2}-c_{s}^{2}k_{\perp }^{2}&0&-c_{s}^{2}k_{\parallel }k_{\perp }\\0&\omega ^{2}-v_{A}^{2}k_{\parallel }^{2}&0\\-c_{s}^{2}k_{\parallel }k_{\perp }&0&\omega ^{2}-c_{s}^{2}k_{\parallel }^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{x1}\\v_{y1}\\v_{z1}\end{pmatrix}}=\mathbf {0} }$$ donde c _s = √ γ p ₀ / ρ ₀ es la velocidad del sonido y v _A = B ₀ / √ μ ₀ ρ ₀ es la velocidad de Alfvén . Igualando el determinante a cero se obtiene la relación de dispersión. $${\displaystyle \left(\omega ^{2}-v_{A}^{2}k_{\parallel }^{2}\right)\left(\omega ^{4}-\omega ^{2}k^{2}c_{ms}^{2}+k^{2}k_{\parallel }^{2}v_{A}^{2}c_{s}^{2}\right)=0}$$ dónde $${\displaystyle \textstyle c_{ms}={\sqrt {v_{A}^{2}+c_{s}^{2}}}}$$ es la velocidad magnetosónica . Esta relación de dispersión tiene tres raíces independientes: una correspondiente a la onda de Alfvén y las otras dos correspondientes a los modos magnetosónicos. A partir de la ecuación de autovalores, la componente y de la perturbación de velocidad se desacopla de las otras dos componentes, dando la relación de dispersión ω ² _A = v ² _A k ² _∥ para la onda de Alfvén. La ecuación bicuadrática restante $${\displaystyle \omega ^{4}-\omega ^{2}k^{2}c_{ms}^{2}+k^{2}k_{\parallel }^{2}v_{A}^{2}c_{s}^{2}=0}$$ es la relación de dispersión para los modos magnetosónicos rápidos y lentos. Tiene raíces $${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k^{2}}{2}}\left(c_{ms}^{2}\pm {\sqrt {c_{ms}^{4}-4k_{\parallel }^{2}v_{A}^{2}c_{s}^{2}/k^{2}}}\right)}$$ donde el signo superior indica el modo magnetosónico rápido y el signo inferior indica el modo magnetosónico lento.