Magnetostática

Partiendo de las ecuaciones de Maxwell y suponiendo que las cargas son fijas o se mueven como una corriente constante.${\displaystyle \mathbf {J} }$Las ecuaciones se dividen en dos ecuaciones para el campo eléctrico (véase electrostática ) y dos para el campo magnético . ^{[ 2 ]} Los campos son independientes del tiempo y entre sí. Las ecuaciones magnetostáticas, tanto en forma diferencial como integral, se muestran en la tabla siguiente.

Donde ∇ con el punto denota divergencia , y B es la densidad de flujo magnético , la primera integral es sobre una superficie${\displaystyle S}$con elemento de superficie orientado${\displaystyle d\mathbf {S} }$Donde ∇ con la cruz denota rotacional , J es la densidad de corriente y H es la intensidad del campo magnético , la segunda integral es una integral de línea alrededor de un bucle cerrado.${\displaystyle C}$con elemento de línea${\displaystyle \mathbf {l} }$. La corriente que circula por el circuito es${\displaystyle I_{\text{enc}}}$.

La calidad de esta aproximación se puede estimar comparando las ecuaciones anteriores con la versión completa de las ecuaciones de Maxwell y considerando la importancia de los términos que se han eliminado. De particular importancia es la comparación de las${\displaystyle \mathbf {J} }$término contra el${\displaystyle \partial \mathbf {D} /\partial t}$término. Si el${\displaystyle \mathbf {J} }$Si el término es sustancialmente mayor, entonces el término menor puede ignorarse sin una pérdida significativa de precisión.

Una técnica común consiste en resolver una serie de problemas magnetostáticos en pasos de tiempo incrementales y luego utilizar estas soluciones para aproximar el término${\displaystyle \partial \mathbf {B} /\partial t}$. Sustituyendo este resultado en la Ley de Faraday se obtiene un valor para${\displaystyle \mathbf {E} }$(que anteriormente se habían ignorado). Este método no es una solución exacta de las ecuaciones de Maxwell , pero puede proporcionar una buena aproximación para campos que cambian lentamente.

Si se conocen todas las corrientes en un sistema (es decir, si se dispone de una descripción completa de la densidad de corriente)${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} )}$(si está disponible) entonces el campo magnético se puede determinar, en una posición r , a partir de las corrientes mediante la ecuación de Biot-Savart : ^{[ 3 ] : 174}$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}}$$

Esta técnica funciona bien para problemas donde el medio es vacío , aire o algún material similar con una permeabilidad relativa de 1. Esto incluye inductores y transformadores con núcleo de aire . Una ventaja de esta técnica es que, si una bobina tiene una geometría compleja, se puede dividir en secciones y evaluar la integral para cada una. Dado que esta ecuación se utiliza principalmente para resolver problemas lineales , se pueden sumar las contribuciones. Para geometrías muy complejas, se puede utilizar la integración numérica .

Para problemas donde el material magnético dominante es un núcleo magnético altamente permeable con entrehierros relativamente pequeños, un enfoque de circuito magnético es útil. Cuando los entrehierros son grandes en comparación con la longitud del circuito magnético , el efecto de borde se vuelve significativo y generalmente requiere un cálculo de elementos finitos . El cálculo de elementos finitos utiliza una forma modificada de las ecuaciones magnetostáticas anteriores para calcular el potencial magnético . El valor de${\displaystyle \mathbf {B} }$se puede obtener a partir del potencial magnético.

El campo magnético se puede derivar del potencial vectorial . Dado que la divergencia de la densidad de flujo magnético es siempre cero, $${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A},}$$ y la relación del potencial vectorial con la corriente es: ^{[ 3 ] : 176}$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J(\mathbf {r} ')} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}.}$$

Los materiales fuertemente magnéticos (es decir, ferromagnéticos , ferrimagnéticos o paramagnéticos ) tienen una magnetización que se debe principalmente al espín del electrón . En tales materiales, la magnetización debe incluirse explícitamente utilizando la relación $${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _ {0}(\mathbf {M} +\mathbf {H} ).}$$

Excepto en el caso de conductores, las corrientes eléctricas pueden ignorarse. Entonces la ley de Ampère es simplemente $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =0.}$$

Esta tiene la solución general. $${\displaystyle \mathbf {H} =-\nabla \Phi _ {M},}$$ dónde${\displaystyle \Phi _{M}}$es un potencial escalar . ^{[ 3 ] : 192} Sustituyendo esto en la ley de Gauss se obtiene $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi _ {M}=\nabla \cdot \mathbf {M} .}$$

Por lo tanto, la divergencia de la magnetización,${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {M},}$tiene un papel análogo a la carga eléctrica en electrostática ^{[ 4 ]} y a menudo se la denomina densidad de carga efectiva.${\displaystyle \rho _{M}}$.

El método del potencial vectorial también puede emplearse con una densidad de corriente efectiva. $${\displaystyle \mathbf {J_{M}} =\nabla \times \mathbf {M}.}$$