Teorema de Maier

En teoría de números , el teorema de Maier es un teorema debido a Helmut Maier sobre la cantidad de números primos en intervalos cortos para los cuales el modelo probabilístico de primos de Cramér da una respuesta errónea.

El teorema establece ^{[ 1 ]} que si${\displaystyle \pi }$es la función de conteo de números primos y${\displaystyle \lambda >1}$, entonces

${\displaystyle {\frac {\pi (x+(\log x)^{\lambda })-\pi (x)}{(\log x)^{\lambda -1}}}}$

no tiene límite como${\displaystyle x}$tiende al infinito; más precisamente, el límite superior es mayor que 1, y el límite inferior es menor que 1. El modelo de Cramér de números primos predice incorrectamente que tiene límite 1 cuando${\displaystyle \lambda \geq 2}$(usando el lema de Borel-Cantelli ).

Maier demostró su teorema utilizando el equivalente de Buchstab para la función de conteo de cuasiprimos (conjunto de números sin factores primos inferiores a la cota).${\displaystyle z=x^{1/u}}$, con${\displaystyle u}$fijo). También utilizó un equivalente del número de primos en progresiones aritméticas de longitud suficiente debido a Gallagher .

János Pintz dio otra prueba, ^{[ 2 ]} y también demostró que la mayoría de los modelos probabilísticos de números primos predicen incorrectamente el error cuadrático medio.

${\displaystyle \int _{2}^{Y}\!{\bigg (}\sum _{2<p\leq x}\log p-\!\sum _{2<n\leq x}1{\bigg )}^{2}dx}$

de una versión del teorema de los números primos .

• Método matricial de Maier