Álgebra de Lie de Malcev

En matemáticas, un álgebra de Lie de Malcev , o álgebra de Lie de Mal'tsev , es una generalización de un álgebra de Lie racional nilpotente , y los grupos de Malcev son similares. Ambos fueron introducidos por Quillen (1969 , Apéndice A3) , basándose en el trabajo de Mal'cev ( 1949 ) .

Definición

Según Papadima y Suciu (2004), un álgebra de Lie de Malcev es un álgebra de Lie racional. $L$ junto con un descenso completo ${\mathbb {Q} }$ Filtración del espacio vectorial $\{F_{r}L\}_{r\geq 1}$ , de tal manera que:

$F_{1}L=L$
$[F_{r}L,F_{s}L]\subset F_{r+s}L$
el álgebra de Lie graduada asociada $\oplus _{r\geq 1}F_{r}L/F_{r+1}L$ es generado por elementos de grado uno.

Aplicaciones

Relación con las álgebras de Hopf

Quillen (1969 , Apéndice A3) demostró que las álgebras de Lie de Malcev y los grupos de Malcev son equivalentes a álgebras de Hopf completas , es decir, álgebras de Hopf H dotadas de una filtración tal que H es isomorfa a $\varprojlim H/F_{n}H$ . Los functores involucrados en estas equivalencias son los siguientes: un grupo de Malcev G se mapea a la completación (con respecto al ideal de aumento ) de su anillo de grupo Q G , con inverso dado por el grupo de elementos tipo grupo de un álgebra de Hopf H , esencialmente aquellos elementos 1 + x tales que $\Delta (x)=x\otimes x$ . De las álgebras de Hopf completas a las álgebras de Lie de Malcev se obtiene tomando la (completación de) elementos primitivos , con functor inverso dado por la completación del álgebra envolvente universal .

Esta equivalencia de categorías fue utilizada por Goodwillie (1986) para demostrar que, después de tensorializar con Q , la K -teoría relativa K( A , I ), para un ideal nilpotente I , es isomorfa a la homología cíclica relativa HC( A , I ). Este teorema fue un resultado pionero en el área de los métodos de traza .

teoría de Hodge

Las álgebras de Lie de Malcev también surgen en la teoría de las estructuras de Hodge mixtas .

Referencias

Goodwillie, Thomas G. (1986), " Teoría K algebraica relativa y homología cíclica", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 124 (2): 347– 402, doi : 10.2307/1971283 , JSTOR 1971283 , MR 0855300
Mal'cev, A. I. (1949), "Nilpotent torsion-free groups", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya, 13: 201–212, ISSN 0373-2436, MR 0028843
Papadima, Stefan; Suciu, Alexander I. (2004), "Chen Lie algebras", International Mathematics Research Notices, 2004 (21): 1057–1086, arXiv:math/0307087, doi:10.1155/S1073792804132017, ISSN 1073-7928, MR 2037049
Quillen, Daniel (1969), "Rational homotopy theory", Annals of Mathematics, Second Series, 90 (2): 205–295, doi:10.2307/1970725, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970725, MR 0258031