Colector

Después de una línea, un círculo es el ejemplo más simple de una variedad topológica. La topología ignora la curvatura, por lo que un pequeño segmento de círculo se trata igual que un pequeño segmento de línea. Consideremos, por ejemplo, la parte superior del círculo unitario , x² + y² = 1, donde la coordenada y es positiva (indicada por el arco amarillo en ^la Figura 1 ). Cualquier punto de este arco puede describirse de forma única mediante su ^coordenada x . Por lo tanto, la proyección sobre la primera coordenada es una aplicación continua e invertible del arco superior al intervalo abierto (−1, 1):     $${\displaystyle \chi _{\mathrm {top} }(x,y)=x.\,}$$

Estas funciones, junto con las regiones abiertas que representan, se denominan gráficos . Del mismo modo, existen gráficos para las partes inferior (roja), izquierda (azul) y derecha (verde) del círculo: $${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{\mathrm {bottom} }(x,y)&=x\\\chi _{\mathrm {left} }(x,y)&=y\\\chi _{\mathrm {right} }(x,y)&=y.\end{aligned}}}$$

En conjunto, estas partes cubren todo el círculo, y los cuatro gráficos forman un atlas del mismo.

Los gráficos superior y derecho,${\displaystyle \chi _{\mathrm {arriba} }}$y${\displaystyle \chi _{\mathrm {derecha} }}$respectivamente, se superponen en su dominio: su intersección se encuentra en el cuarto del círculo donde ambos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$-las coordenadas son positivas. Ambas mapean esta parte en el intervalo${\displaystyle (0,1)}$, aunque de manera diferente. Por lo tanto, una función${\displaystyle T:(0,1)\rightarrow (0,1)=\chi _{\mathrm {right} }\circ \chi _{\mathrm {top} }^{-1}}$se puede construir, que toma valores del codominio de${\displaystyle \chi _{\mathrm {arriba} }}$volver al círculo usando la inversa, seguido de${\displaystyle \chi _{\mathrm {derecha} }}$volver al intervalo. Si a es cualquier número en${\displaystyle (0,1)}$, entonces: $${\displaystyle {\begin{aligned}T(a)&=\chi _{\mathrm {right} }\left(\chi _{\mathrm {top} }^{-1}\left[a\right]\right)\\&=\chi _{\mathrm {right} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)\\&={\sqrt {1-a^{2}}}\end{aligned}}}$$

Dicha función se denomina mapa de transición .

Los gráficos superior, inferior, izquierdo y derecho no forman el único atlas posible. Los gráficos no tienen por qué ser proyecciones geométricas, y el número de gráficos es una cuestión de elección. Consideremos los gráficos $${\displaystyle \chi _{\mathrm {minus} }(x,y)=s={\frac {y}{1+x}}}$$ y $${\displaystyle \chi _{\mathrm {plus} }(x,y)=t={\frac {y}{1-x}}}$$

Aquí , s es la pendiente de la recta que pasa por el punto en las coordenadas ( x , y ) y el punto de pivote fijo (−1, 0); de manera similar, t es el opuesto de la pendiente de la recta que pasa por los puntos en las coordenadas ( x , y ) y (+1, 0). La transformación inversa de s a ( x , y ) viene dada por      $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}\\[5pt]y&={\frac {2s}{1+s^{2}}}\end{aligned}}}$$

Se puede confirmar que x² + y² = 1 para todos los valores de ^s y t . Estos dos gráficos proporcionan un segundo atlas para el círculo, con el mapa de transición ^.    $${\displaystyle t={\frac {1}{s}}}$$ (es decir, existe esta relación entre s y t para cada punto donde s y t son ambos distintos de cero).

Cada gráfico omite un único punto, ya sea (−1,  0) para s o (+1,  0) para t , por lo que ninguno de los gráficos por sí solo es suficiente para cubrir todo el círculo. Se puede demostrar que no es posible cubrir el círculo completo con un solo gráfico. Por ejemplo, aunque es posible construir un círculo a partir de un único intervalo de línea superponiendo y "pegando" los extremos, esto no produce un gráfico; una parte del círculo se mapeará a ambos extremos a la vez, perdiendo la invertibilidad.

La esfera es un ejemplo de superficie. La esfera unitaria de ecuación implícita

x² + y² + ^z² – ^{1 =} 0

Puede cubrirse con un atlas de seis cartas : el plano z = 0 divide la esfera en dos semiesferas ( z > 0 y z < 0 ), las cuales pueden representarse en el disco x² ⁺ y² ^< 1 mediante la proyección en el plano de coordenadas xy . Esto proporciona dos cartas; las otras cuatro se obtienen mediante una construcción similar con los otros dos planos de coordenadas.

Al igual que con el círculo, se puede definir un gráfico que cubra toda la esfera, excepto un punto. Por lo tanto, dos gráficos son suficientes, pero la esfera no puede cubrirse con un solo gráfico.

Este ejemplo es históricamente significativo, ya que ha motivado la terminología; se hizo evidente que toda la superficie de la Tierra no puede tener una representación plana que consista en un solo mapa (también llamado "carta", véase carta náutica ), y por lo tanto se necesitan atlas para cubrir toda la superficie terrestre.

Las variedades no tienen por qué estar conectadas (formar "una sola pieza"); un ejemplo de ello son dos círculos separados.

Las variedades no tienen por qué ser cerradas ; así, un segmento de recta sin sus extremos es una variedad. Nunca son numerables , a ^{menos que la dimensión de la variedad sea cero .} Combinando estas libertades, otros ejemplos de variedades son una parábola , una hipérbola y el lugar geométrico de los puntos en una curva cúbica y² = x³ − x (un segmento cerrado y un segmento abierto e infinito).

Sin embargo, se excluyen ejemplos como dos círculos que se tocan y comparten un punto para formar un ocho; en ese punto, no se puede crear un gráfico satisfactorio. Incluso con la curvatura permitida por la topología, la vecindad del punto compartido se asemeja a una cruz (+), no a una línea. Una cruz (+) no es homeomorfa a un segmento de línea, ya que al eliminar el punto central de la cruz se obtiene un espacio con cuatro componentes (es decir, piezas), mientras que al eliminar un punto de un segmento de línea se obtiene un espacio con, como máximo, dos piezas; las operaciones topológicas siempre conservan el número de piezas.

Un mapa de coordenadas , una carta de coordenadas o simplemente una carta , de una variedad es un mapa invertible entre un subconjunto de la variedad y un espacio simple tal que tanto el mapa como su inverso preservan la estructura deseada. ^{[ 2 ]} Para una variedad topológica, el espacio simple es un subconjunto de algún espacio euclidiano.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$El interés se centra en la estructura topológica. Esta estructura se conserva mediante homeomorfismos , aplicaciones invertibles que son continuas en ambas direcciones.

En el caso de una variedad diferenciable, un conjunto de cartas llamado atlas , cuyas funciones de transición (véase más abajo) son todas diferenciables, nos permite realizar cálculos sobre ella. Las coordenadas polares , por ejemplo, forman una carta para el plano${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$menos el eje x positivo y el origen. Otro ejemplo de gráfico es el mapa χ _top mencionado anteriormente, un gráfico para el círculo.

La descripción de la mayoría de las variedades requiere más de una carta. Una colección específica de cartas que abarca una variedad se denomina atlas . Un atlas no es único, ya que todas las variedades pueden cubrirse de múltiples maneras utilizando diferentes combinaciones de cartas. Se dice que dos atlas son equivalentes si su unión también constituye un atlas.

El atlas que contiene todas las cartas posibles compatibles con un atlas dado se denomina atlas maximal (es decir, una clase de equivalencia que contiene dicho atlas). A diferencia de un atlas ordinario, el atlas maximal de una variedad dada es único. Si bien es útil para definiciones, es un objeto abstracto y no se utiliza directamente (por ejemplo, en cálculos).

Una variedad puede definirse como un espacio topológico dotado de un atlas (y, en algunas definiciones, de un atlas maximal).

Los gráficos de un atlas pueden superponerse y un único punto de una variedad puede estar representado en varios gráficos. Si dos gráficos se superponen, partes de ellos representan la misma región de la variedad, al igual que un mapa de Europa y un mapa de Rusia pueden contener Moscú. Dados dos gráficos superpuestos, se puede definir una función de transición que va desde una bola abierta en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$al colector y luego de vuelta a otra (o quizás la misma) bola abierta en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. El mapa resultante, como el mapa T en el ejemplo del círculo anterior, se llama cambio de coordenadas , transformación de coordenadas , función de transición o mapa de transición .

También se puede utilizar un atlas para definir una estructura adicional en la variedad. Esta estructura se define primero en cada carta por separado. Si todos los mapas de transición son compatibles con esta estructura, esta se transfiere a la variedad.

Esta es la forma estándar en que se definen las variedades diferenciables. Si las funciones de transición de un atlas para una variedad topológica preservan la estructura diferencial natural de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(es decir, si son difeomorfismos ), la estructura diferencial se transfiere a la variedad y la convierte en una variedad diferenciable. Las variedades complejas se introducen de forma análoga al requerir que las funciones de transición de un atlas sean funciones holomorfas . Para las variedades simplécticas , las funciones de transición deben ser simplectomorfismos .

La estructura en la variedad depende del atlas, pero a veces se puede decir que diferentes atlas dan lugar a la misma estructura. Dichos atlas se denominan compatibles .

Estas nociones se precisan en general mediante el uso de pseudogrupos .

Dejar${\displaystyle M}$ser una variedad con frontera. El interior de${\displaystyle M}$, denotado${\displaystyle \operatorname {Int} M}$, es el conjunto de puntos en${\displaystyle M}$que tienen vecindarios homeomorfos a un subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. El límite de${\displaystyle M}$, denotado${\displaystyle \partial M}$, es el complemento de${\displaystyle \operatorname {Int} M}$en${\displaystyle M}$Los puntos límite pueden caracterizarse como aquellos puntos que se encuentran sobre el hiperplano límite.${\displaystyle (x_{n}=0)}$de${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$bajo algún mapa de coordenadas.

Si${\displaystyle M}$es una variedad con frontera de dimensión${\displaystyle n}$, entonces${\displaystyle \operatorname {Int} M}$es una variedad (sin frontera) de dimensión${\displaystyle n}$y${\displaystyle \partial M}$es una variedad (sin frontera) de dimensión${\displaystyle n-1}$.

Quizás la forma más sencilla de construir una variedad sea la utilizada en el ejemplo anterior del círculo. Primero, un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$Se identifica y luego se construye un atlas que cubre este subconjunto. El concepto de variedad surgió históricamente de construcciones como esta. He aquí otro ejemplo, aplicando este método a la construcción de una esfera:

Una variedad se puede construir uniendo piezas de forma consistente, formando así cartas superpuestas. Esta construcción es posible para cualquier variedad y, por lo tanto, se utiliza con frecuencia como caracterización, especialmente para variedades diferenciables y riemannianas. Se centra en un atlas, ya que las piezas proporcionan cartas de forma natural, y al no haber espacio exterior involucrado, conduce a una visión intrínseca de la variedad.

La variedad se construye especificando un atlas, que a su vez se define mediante mapas de transición. Un punto de la variedad es, por lo tanto, una clase de equivalencia de puntos que se relacionan entre sí mediante mapas de transición. Los diagramas asignan clases de equivalencia a puntos de una misma región. Generalmente, existen exigencias estrictas sobre la consistencia de los mapas de transición. Para las variedades topológicas, se requiere que sean homeomorfismos; si además son difeomorfismos, la variedad resultante es diferenciable.

Esto se puede ilustrar con el mapa de transición t = ¹ / _s del ejemplo de la segunda mitad del círculo. Comience con dos copias de la línea. Use la coordenada s para la primera copia y t para la segunda. Ahora, una ambas copias identificando el punto t de la segunda copia con el punto s = ¹ / _t de la primera copia (los puntos t = 0 y s = 0 no se identifican con ningún punto de la primera y la segunda copia, respectivamente). Esto da como resultado un círculo.

Es posible definir distintos puntos de una variedad como un mismo punto. Esto puede visualizarse como la unión de estos puntos en un único punto, formando un espacio cociente . Sin embargo, no hay razón para esperar que tales espacios cociente sean variedades. Entre los posibles espacios cociente que no son necesariamente variedades, los orbifolds y los complejos CW se consideran relativamente bien comportados . Un ejemplo de un espacio cociente de una variedad que también es una variedad es el espacio proyectivo real , identificado como un espacio cociente de la esfera correspondiente.

Un método para identificar puntos (unirlos) es mediante una acción derecha (o izquierda) de un grupo que actúa sobre la variedad. Dos puntos se identifican si uno se mueve sobre el otro mediante algún elemento del grupo . Si M es la variedad y G es el grupo, el espacio cociente resultante se denota por M / G (o G \ M ).

Entre las variedades que se pueden construir identificando puntos se incluyen los toros y los espacios proyectivos reales (partiendo de un plano y una esfera, respectivamente).

Dos variedades con fronteras pueden unirse mediante un enlace. Si se realiza correctamente, el resultado también es una variedad. De forma similar, dos fronteras de una misma variedad pueden unirse mediante un enlace.

Formalmente, la unión se define mediante una biyección entre los dos límites . Se identifican dos puntos cuando se mapean uno sobre el otro. Para una variedad topológica, esta biyección debe ser un homeomorfismo; de lo contrario, el resultado no será una variedad topológica. De manera similar, para una variedad diferenciable, debe ser un difeomorfismo. Para otras variedades, deben conservarse otras estructuras.

Un cilindro finito puede construirse como una variedad partiendo de una franja [0,1]  ×  [0,1] y uniendo un par de aristas opuestas en su contorno mediante un difeomorfismo adecuado. Un plano proyectivo puede obtenerse uniendo una esfera con un agujero a una cinta de Möbius a lo largo de sus respectivos límites circulares.

El producto cartesiano de variedades también es una variedad.

La dimensión de la variedad producto es la suma de las dimensiones de sus factores. Su topología es la topología del producto , y un producto cartesiano de cartas es una carta para la variedad producto. Por lo tanto, se puede construir un atlas para la variedad producto utilizando atlas para sus factores. Si estos atlas definen una estructura diferencial en los factores, el atlas correspondiente define una estructura diferencial en la variedad producto. Lo mismo ocurre con cualquier otra estructura definida en los factores. Si uno de los factores tiene un límite, la variedad producto también lo tiene. Los productos cartesianos se pueden usar para construir toros y cilindros finitos , por ejemplo, como S ¹  × S ¹ y S ¹ × [0,1], respectivamente.   

Antes de que existiera el concepto moderno de variedad, se obtuvieron varios resultados importantes.

La geometría no euclidiana estudia espacios donde el postulado de las paralelas de Euclides no se cumple. Saccheri fue el primero en estudiar estas geometrías en 1733, pero solo buscaba refutarlas. Gauss , Bolyai y Lobachevsky las descubrieron independientemente 100 años después. Su investigación reveló dos tipos de espacios cuyas estructuras geométricas difieren de las del espacio euclidiano clásico; estos dieron origen a la geometría hiperbólica y la geometría elíptica . En la teoría moderna de variedades, estas nociones corresponden a variedades riemannianas con curvatura constante negativa y positiva , respectivamente.

Es posible que Carl Friedrich Gauss haya sido el primero en considerar los espacios abstractos como objetos matemáticos por derecho propio. Su teorema egregium proporciona un método para calcular la curvatura de una superficie sin considerar el espacio ambiente en el que se encuentra. Dicha superficie se denominaría, en terminología moderna, variedad; y, en términos modernos, el teorema demostró que la curvatura de la superficie es una propiedad intrínseca . La teoría de variedades se ha centrado exclusivamente en estas propiedades intrínsecas (o invariantes), ignorando en gran medida las propiedades extrínsecas del espacio ambiente.

Otro ejemplo, más topológico, de una propiedad intrínseca de una variedad es su característica de Euler . Leonhard Euler demostró que para un politopo convexo en el espacio euclidiano tridimensional con V vértices (o esquinas), E aristas y F caras,$${\displaystyle V-E+F=2.\ }$$La misma fórmula se mantendrá si proyectamos los vértices y aristas del politopo sobre una esfera, creando un mapa topológico con V vértices, E aristas y F caras, y de hecho, seguirá siendo válida para cualquier mapa esférico, incluso si no surge de ningún politopo convexo. ^{[ 3 ]} Así, 2 es un invariante topológico de la esfera, llamado su característica de Euler . Por otro lado, un toro se puede cortar por sus círculos 'paralelo' y 'meridiano', creando un mapa con V  =  1 vértice, E  =  2 aristas y F  =  1 cara. Así, la característica de Euler del toro es 1  −  2  +  1  =  0. La característica de Euler de otras superficies es un invariante topológico útil , que se puede extender a dimensiones superiores usando números de Betti . A mediados del siglo XIX, el teorema de Gauss-Bonnet vinculó la característica de Euler con la curvatura gaussiana .

Las investigaciones de Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi sobre la inversión de integrales elípticas en la primera mitad del siglo XIX los llevaron a considerar tipos especiales de variedades complejas, ahora conocidas como jacobianas . Bernhard Riemann contribuyó aún más a su teoría, aclarando el significado geométrico del proceso de continuación analítica de funciones de variables complejas.

Otra fuente importante de variedades en las matemáticas del siglo XIX fue la mecánica analítica , desarrollada por Siméon Poisson , Jacobi y William Rowan Hamilton . Se considera que los posibles estados de un sistema mecánico son puntos de un espacio abstracto, el espacio de fases en los formalismos lagrangiano y hamiltoniano de la mecánica clásica. Este espacio es, de hecho, una variedad de alta dimensión, cuya dimensión corresponde a los grados de libertad del sistema y donde los puntos se especifican mediante sus coordenadas generalizadas . Para un movimiento sin restricciones de partículas libres, la variedad es equivalente al espacio euclidiano, pero diversas leyes de conservación la restringen a formaciones más complejas, por ejemplo, los toros de Liouville . La teoría de un cuerpo sólido en rotación, desarrollada en el siglo XVIII por Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange , ofrece otro ejemplo donde la variedad no es trivial. Henri Poincaré , uno de los fundadores de la topología, enfatizó los aspectos geométricos y topológicos de la mecánica clásica .

Riemann fue el primero en realizar un trabajo extenso generalizando la idea de superficie a dimensiones superiores. El nombre «variedad» proviene del término alemán original de Riemann, «Mannigfaltigkeit » , que William Kingdon Clifford tradujo como «propiedad de la variedad». En su conferencia inaugural en Gotinga, Riemann describió el conjunto de todos los valores posibles de una variable con ciertas restricciones como una «Mannigfaltigkeit » , porque la variable puede tener muchos valores. Distingue entre «mannigfaltigkeit continua» y «mannigfaltigkeit discontinua » ( propiedad de la variedad continua y discontinua ), dependiendo de si el valor cambia de forma continua o no. Como ejemplos continuos, Riemann se refiere no solo a los colores y las ubicaciones de los objetos en el espacio, sino también a las posibles formas de una figura espacial. Mediante inducción , Riemann construye una n-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit ( n veces extendida o n-dimensional manifoldness ) como una pila continua de (n-1) manifoldnesses dimensionales. La noción intuitiva de Riemann de una Mannigfaltigkeit evolucionó hasta convertirse en lo que hoy se formaliza como una variedad. Las variedades riemannianas y las superficies de Riemann reciben su nombre de Riemann.

En su influyente artículo, Analysis Situs , ^{[ 4 ]} Henri Poincaré dio una definición de variedad diferenciable ( variété ) que sirvió como precursora del concepto moderno de variedad. ^{[ 5 ]}

En la primera sección de Análisis Situs, Poincaré define una variedad como el conjunto de nivel de una función continuamente diferenciable entre espacios euclidianos que satisface la hipótesis de no degeneración del teorema de la función implícita . En la tercera sección, comienza señalando que la gráfica de una función continuamente diferenciable es una variedad en este último sentido. Luego propone una nueva definición de variedad, más general, basada en una «cadena de variedades » .

La noción de Poincaré de cadena de variedades es precursora de la noción moderna de atlas. En particular, considera dos variedades definidas respectivamente como gráficas de funciones.${\displaystyle \theta (y)}$y${\displaystyle \theta '\left(y'\right)}$. Si estas variedades se superponen ( a une partie commune ), entonces requiere que las coordenadas${\displaystyle y}$dependen de forma continuamente diferenciable de las coordenadas${\displaystyle y'}$y viceversa (' ...les${\displaystyle y}$son funciones analíticas de${\displaystyle y'}$y la inversión'). De esta forma introduce un precursor de la noción de diagrama y de mapa de transición .

Por ejemplo, el círculo unitario en el plano puede considerarse como la gráfica de la función${\textstyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$o bien la función${\textstyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}$en un entorno de cada punto excepto los puntos (1, 0) y (−1, 0); y en un entorno de esos puntos, puede pensarse como la gráfica de, respectivamente,${\textstyle x={\sqrt {1-y^{2}}}}$y${\textstyle x=-{\sqrt {1-y^{2}}}}$El círculo puede representarse mediante un gráfico en la vecindad de cada punto porque el lado izquierdo de su ecuación definitoria${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$tiene gradiente distinto de cero en cada punto del círculo. Por el teorema de la función implícita , toda subvariedad del espacio euclidiano es localmente la gráfica de una función.

Hermann Weyl ofreció una definición intrínseca de variedades diferenciables en su curso sobre superficies de Riemann entre 1911 y 1912, abriendo así el camino al concepto general de espacio topológico que surgió poco después. Durante la década de 1930, Hassler Whitney y otros aclararon los aspectos fundamentales del tema, precisando así las intuiciones que se remontaban a la segunda mitad del siglo XIX y desarrollándolas a través de la geometría diferencial y la teoría de grupos de Lie . Cabe destacar que el teorema de incrustación de Whitney ^{[ 6 ]} demostró que la definición intrínseca en términos de cartas era equivalente a la definición de Poincaré en términos de subconjuntos del espacio euclidiano.

Las variedades bidimensionales, también conocidas como superficies 2D incrustadas en nuestro espacio 3D común, fueron estudiadas por Riemann bajo la denominación de superficies de Riemann y clasificadas rigurosamente a principios del siglo XX por Poul Heegaard y Max Dehn . Poincaré fue pionero en el estudio de las variedades tridimensionales y planteó una cuestión fundamental sobre ellas, conocida hoy como la conjetura de Poincaré . Casi un siglo después, Grigori Perelman demostró la conjetura de Poincaré (véase la Solución de la conjetura de Poincaré ). El programa de geometrización de William Thurston , formulado en la década de 1970, proporcionó una extensión de gran alcance de la conjetura de Poincaré a las variedades tridimensionales generales. Las variedades de cuatro dimensiones alcanzaron gran relevancia en la investigación matemática en la década de 1980 gracias a Michael Freedman y, en un contexto diferente, a Simon Donaldson , motivado por los avances recientes en física teórica ( teoría de Yang-Mills ), donde sirven como sustituto del espaciotiempo "plano" ordinario . Andrey Markov Jr. demostró en 1960 que no existe ningún algoritmo para clasificar las variedades de cuatro dimensiones. René Thom , John Milnor , Stephen Smale y Sergei Novikov ya habían realizado trabajos importantes sobre variedades de dimensiones superiores, incluyendo análogos de la conjetura de Poincaré . Una técnica muy extendida y flexible que subyace a gran parte del trabajo sobre la topología de las variedades es la teoría de Morse .

El tipo más sencillo de variedad para definir es la variedad topológica , que localmente se parece a algún espacio euclidiano "ordinario".${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Por definición, todas las variedades son variedades topológicas, por lo que la expresión "variedad topológica" se usa generalmente para enfatizar que una variedad carece de estructura adicional, o que solo se consideran sus propiedades topológicas. Formalmente, una variedad topológica es un espacio topológico localmente homeomorfo a un espacio euclidiano. Esto significa que cada punto tiene un entorno para el cual existe un homeomorfismo (una función biyectiva continua cuya inversa también es continua) que mapea ese entorno a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Estos homeomorfismos son las cartas de la variedad.

Una variedad topológica se asemeja localmente a un espacio euclidiano de una manera bastante débil: si bien para cada carta individual es posible distinguir funciones diferenciables o medir distancias y ángulos, el mero hecho de ser una variedad topológica no implica que un espacio posea una elección particular y consistente de tales conceptos. ^{[ 7 ]} Para analizar estas propiedades de una variedad, es necesario especificar una estructura más detallada y considerar las variedades diferenciables y las variedades riemannianas que se describen más adelante. En particular, una misma variedad topológica subyacente puede tener varias clases de funciones diferenciables mutuamente incompatibles y un número infinito de maneras de especificar distancias y ángulos.

Por lo general, se hacen suposiciones técnicas adicionales sobre el espacio topológico para excluir casos patológicos. Es habitual exigir que el espacio sea de Hausdorff y segundo numerable .

La dimensión de la variedad en un punto determinado es la dimensión del espacio euclidiano al que se corresponden las cartas en ese punto (número n en la definición). Todos los puntos de una variedad conexa tienen la misma dimensión. Algunos autores exigen que todas las cartas de una variedad topológica se correspondan con espacios euclidianos de la misma dimensión. En ese caso, toda variedad topológica posee un invariante topológico: su dimensión.

Para la mayoría de las aplicaciones, se utiliza un tipo especial de variedad topológica, concretamente, una variedad diferenciable . Si las cartas locales de una variedad son compatibles en cierto sentido, se pueden definir direcciones, espacios tangentes y funciones diferenciables en dicha variedad. En particular, es posible utilizar el cálculo en una variedad diferenciable. Cada punto de una variedad diferenciable n -dimensional tiene un espacio tangente . Este es un espacio euclidiano n -dimensional formado por los vectores tangentes de las curvas que pasan por el punto.

Dos clases importantes de variedades diferenciables son las variedades lisas y las variedades analíticas . En las variedades lisas, las funciones de transición son suaves, es decir, infinitamente diferenciables. Las variedades analíticas son variedades lisas con la condición adicional de que las funciones de transición también son analíticas (pueden expresarse como series de potencias ). A la esfera se le puede dar una estructura analítica, al igual que a la mayoría de las curvas y superficies conocidas.

Un conjunto rectificable generaliza la idea de una curva suave por partes o rectificable a dimensiones superiores; sin embargo, los conjuntos rectificables no son, en general, variedades.

Para medir distancias y ángulos en variedades, la variedad debe ser riemanniana. Una variedad riemanniana es una variedad diferenciable en la que cada espacio tangente está equipado con un producto interno.${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$de una manera que varía suavemente de un punto a otro. Dados dos vectores tangentes${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$, el producto interno${\displaystyle \langle u,v\rangle }$da como resultado un número real. El producto escalar (o producto punto ) es un ejemplo típico de producto interno. Esto permite definir diversas nociones como longitud, ángulos , áreas (o volúmenes ), curvatura y divergencia de campos vectoriales .

Todas las variedades diferenciables (de dimensión constante) pueden adoptar la estructura de una variedad riemanniana. El espacio euclidiano posee una estructura natural de variedad riemanniana (los espacios tangentes se identifican naturalmente con el espacio euclidiano y poseen el producto escalar estándar de dicho espacio). Muchas curvas y superficies conocidas, como por ejemplo todas las n -esferas, se definen como subespacios de un espacio euclidiano y heredan una métrica de su incrustación en él.

Una variedad de Finsler permite la definición de distancia pero no requiere el concepto de ángulo; es una variedad analítica en la que cada espacio tangente está equipado con una norma ,${\displaystyle \|\cdot \|}$de una manera que varía suavemente de un punto a otro. Esta norma puede extenderse a una métrica que define la longitud de una curva; pero, en general, no puede utilizarse para definir un producto interno. Cualquier variedad riemanniana es una variedad de Finsler.

Los grupos de Lie , que reciben su nombre de Sophus Lie , son variedades diferenciables que también poseen la estructura de un grupo , de modo que las operaciones del grupo se definen mediante aplicaciones suaves.

Un espacio vectorial euclidiano con la operación de grupo de suma de vectores es un ejemplo de un grupo de Lie no compacto. Un ejemplo simple de un grupo de Lie compacto es el círculo: la operación de grupo es simplemente rotación. Este grupo, conocido como${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$, también puede caracterizarse como el grupo de números complejos de módulo 1 con la multiplicación como operación de grupo.

Otros ejemplos de grupos de Lie incluyen grupos especiales de matrices , que son todos subgrupos del grupo lineal general , el grupo de${\displaystyle n\times n}$matrices con determinante distinto de cero. Si las entradas de la matriz son números reales , esto será una${\displaystyle n^{2}}$Variedad desconectada de dimensión . Los grupos ortogonales , los grupos de simetría de la esfera y las hiperesferas , son${\displaystyle n(n-1)/2}$variedades dimensionales, donde${\displaystyle n-1}$es la dimensión de la esfera. Se pueden encontrar más ejemplos en la tabla de grupos de Lie .

• Una variedad compleja es una variedad cuyos gráficos toman valores en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$y cuyas funciones de transición son holomorfas en las superposiciones. Estas variedades son los objetos básicos de estudio en geometría compleja . Una variedad de dimensión compleja unidimensional se denomina superficie de Riemann .${\displaystyle n}$La variedad compleja de dimensión -dimensional tiene dimensión${\displaystyle 2n}$como una variedad diferenciable real.
• Una variedad CR es una variedad modelada en los límites de los dominios en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.
• 'Variedades de dimensión infinita': para permitir dimensiones infinitas, se pueden considerar las variedades de Banach , que son localmente homeomorfas a los espacios de Banach . De manera similar, las variedades de Fréchet son localmente homeomorfas a los espacios de Fréchet .
• Una variedad simpléctica es un tipo de variedad que se utiliza para representar los espacios de fase en la mecánica clásica . Están dotadas de una 2-forma que define el corchete de Poisson . Un tipo de variedad estrechamente relacionado es una variedad de contacto .
• Una variedad combinatoria es un tipo de variedad que es una discretización de una variedad. Generalmente se refiere a una variedad lineal por partes formada por complejos simpliciales .
• Una variedad digital es un tipo especial de variedad combinatoria que se define en el espacio digital. Véase topología digital .

En dimensiones dos y superiores, un criterio invariante simple pero importante es la cuestión de si una variedad admite una orientación significativa. Consideremos una variedad topológica con cartas que mapean a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Dado un orden de base para${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Una carta hace que su parte de la variedad adquiera un sentido de orden, que en 3 dimensiones puede considerarse diestro o zurdo. Las cartas superpuestas no tienen por qué coincidir en su sentido de orden, lo que otorga a las variedades una importante libertad. Para algunas variedades, como la esfera, las cartas pueden elegirse de modo que las regiones superpuestas coincidan en su "quiralidad"; estas son variedades orientables . Para otras, esto es imposible. Esta última posibilidad es fácil de pasar por alto, ya que cualquier superficie cerrada incrustada (sin autointersección) en el espacio tridimensional es orientable.

Algunos ejemplos ilustrativos de variedades no orientables incluyen: (1) la cinta de Möbius , que es una variedad con frontera, (2) la botella de Klein , que debe intersecarse a sí misma en su representación en el espacio tridimensional, y (3) el plano proyectivo real , que surge naturalmente en geometría.

cinta de Möbius

Comencemos con un cilindro circular infinito en posición vertical, una variedad sin límites. Realicemos cortes en ambos extremos para obtener dos límites circulares y la tira cilíndrica entre ellos. Esta es una variedad orientable con límites, sobre la cual se realizará una "cirugía". Cortemos la tira para que se desenrolle y forme un rectángulo, pero sujetando los extremos cortados. Giremos un extremo 180°, de modo que la superficie interior quede hacia afuera, y volvamos a unir los extremos sin dejar marcas. Esto da como resultado una tira con una media torsión permanente: la cinta de Möbius. Su límite ya no es un par de círculos, sino (topológicamente) un solo círculo; y lo que antes era su "interior" se ha fusionado con su "exterior", de modo que ahora tiene un solo lado. De forma similar a la botella de Klein que se muestra a continuación, esta superficie bidimensional necesitaría intersecarse a sí misma en dos dimensiones, pero puede construirse fácilmente en tres o más dimensiones.

Plano proyectivo real

Comencemos con una esfera centrada en el origen. Cada línea que pasa por el origen atraviesa la esfera en dos puntos opuestos llamados antípodas . Aunque no es posible hacerlo físicamente, es posible (considerando un espacio cociente ) fusionar matemáticamente cada par de antípodas en un solo punto. La superficie cerrada resultante es el plano proyectivo real, otra superficie no orientable. Existen varias descripciones y construcciones equivalentes, pero esta explicación justifica su nombre: todos los puntos de cualquier línea que pasa por el origen se proyectan al mismo "punto" en este "plano".

Para las variedades bidimensionales, una propiedad invariante clave es el género , o "número de asas" presentes en una superficie. Un toro es una esfera con un asa, un toro doble es una esfera con dos asas, y así sucesivamente. De hecho, es posible caracterizar completamente las variedades compactas bidimensionales en función del género y la orientabilidad. En variedades de dimensiones superiores, el género se reemplaza por la noción de característica de Euler y, más generalmente, por los números de Betti , la homología y la cohomología .

Un ejemplo básico de aplicaciones entre variedades son las funciones escalares definidas en una variedad, $${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$$ o $${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {C} ,}$$

A veces llamadas funciones regulares o funcionales , por analogía con la geometría algebraica o el álgebra lineal. Estas son de interés tanto por sí mismas como para estudiar la variedad subyacente.

En topología geométrica, las funciones de Morse son las más estudiadas , ya que dan lugar a descomposiciones de cuerpos y asas , mientras que en análisis matemático se estudian frecuentemente soluciones a ecuaciones diferenciales parciales , un ejemplo importante de las cuales es el análisis armónico , donde se estudian funciones armónicas : el núcleo del operador de Laplace . Esto conduce a funciones como los armónicos esféricos y a métodos de núcleo de calor para el estudio de variedades, como la percepción auditiva de la forma de un tambor y algunas demostraciones del teorema del índice de Atiyah-Singer .

• 3-variedad – Espacio matemático 
• 4-variedad – Espacio matemático 
• 5-variedad – Variedad de dimensión cinco 
• Variedades de aplicaciones