densidad de Schnirelmann

En la teoría aditiva de números , la densidad de Schnirelmann de una secuencia numérica es una forma de medir cuán "densa" es dicha secuencia. Recibe su nombre del matemático soviético Lev Schnirelmann , quien fue el primero en estudiarla. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La densidad de Schnirelmann de un conjunto de números naturales A se define como

${\displaystyle \sigma A=\inf _{n\geq 1}{\frac {A(n)}{n}},}$

donde A ( n ) denota el número de elementos de A que no exceden n e inf es el ínfimo . ^{[ 3 ]}

La densidad de Schnirelmann está bien definida incluso si el límite de A ( n )/ n cuando n → ∞ no existe (ver densidad asintótica superior e inferior ).

Por definición, 0 ≤ A ( n ) ≤ n y n σ A ≤ A ( n ) para todo n , y por lo tanto 0 ≤ σ A ≤ 1 , y σ A = 1 si y solo si A = N . Además,

${\displaystyle \sigma A=0\Rightarrow \forall \epsilon >0\ \exists n\ A(n)<\epsilon n.}$

Si establecemos${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }}$, entonces el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange se puede reformular como${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=1}$. (Aquí el símbolo${\displaystyle A\oplus B}$denota el conjunto suma de${\displaystyle A\cup \{0\}}$y${\displaystyle B\cup \{0\}}$.) Está claro que${\displaystyle \sigma {\mathfrak {G}}^{2}=0}$De hecho, todavía tenemos${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=0}$y uno podría preguntarse en qué punto el conjunto suma alcanza la densidad de Schnirelmann 1 y cómo aumenta. En realidad, sucede que${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=5/6}$y uno ve que sumando${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}}$una vez más produce un conjunto más poblado, a saber, todo${\displaystyle \mathbb {N} }$Schnirelmann logró desarrollar aún más estas ideas en los siguientes teoremas, orientados hacia la Teoría Aditiva de Números, y demostrando que son un recurso novedoso (aunque no sumamente poderoso) para abordar problemas importantes, como el problema de Waring y la conjetura de Goldbach .

Teorema. Sea${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$ser subconjuntos de${\displaystyle \mathbb {N} }$. Entonces

${\displaystyle \sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B.}$

Tenga en cuenta que${\displaystyle \sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B=1-(1-\sigma A)(1-\sigma B)}$. Inductivamente, tenemos la siguiente generalización.

Corolario. Dejemos${\displaystyle A_{i}\subseteq \mathbb {N} }$ser una familia finita de subconjuntos de${\displaystyle \mathbb {N} }$. Entonces

${\displaystyle \sigma \left(\bigoplus _{i}A_{i}\right)\geq 1-\prod _{i}\left(1-\sigma A_{i}\right).}$

El teorema proporciona las primeras ideas sobre cómo se acumulan los conjuntos suma. Parece desafortunado que su conclusión no llegue a demostrarlo.${\displaystyle \sigma }$siendo superaditivo . Sin embargo, Schnirelmann nos proporcionó los siguientes resultados, que fueron suficientes para la mayor parte de su propósito.

Teorema. Sea${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$ser subconjuntos de${\displaystyle \mathbb {N} }$. Si${\displaystyle \sigma A+\sigma B\geq 1}$, entonces

${\displaystyle A\oplus B=\mathbb {N} .}$

Teorema. ( Schnirelmann ) Sea${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$. Si${\displaystyle \sigma A>0}$entonces existe${\displaystyle k}$de tal manera que

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{k}A=\mathbb {N} .}$

Un subconjunto${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$con la propiedad que${\displaystyle A\oplus A\oplus \cdots \oplus A=\mathbb {N} }$Para una suma finita, se denomina base aditiva , y el número mínimo de sumandos requeridos se denomina grado (a veces orden ) de la base. Por lo tanto, el último teorema establece que cualquier conjunto con densidad de Schnirelmann positiva es una base aditiva. En esta terminología, el conjunto de cuadrados${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }}$es una base aditiva de grado 4. (Sobre un problema abierto para bases aditivas, véase la conjetura de Erdős-Turán sobre bases aditivas ).

Históricamente, los teoremas anteriores apuntaban al siguiente resultado, conocido en un momento dado como el${\displaystyle \alpha +\beta }$Hipótesis. Fue utilizada por Edmund Landau y finalmente demostrada por Henry Mann en 1942.

Teorema. ( Mann 1942 ) Sea${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$ser subconjuntos de${\displaystyle \mathbb {N} }$. En caso de que${\displaystyle A\oplus B\neq \mathbb {N} }$, todavía tenemos

${\displaystyle \sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B.}$

Kneser obtuvo un análogo de este teorema para una densidad asintótica menor. ^{[ 4 ]} Posteriormente, E. Artin y P. Scherk simplificaron la demostración del teorema de Mann. ^{[ 5 ]}

Dejar${\displaystyle k}$y${\displaystyle N}$sean números naturales.${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{k}=\{i^{k}\}_{i=1}^{\infty }}$. Definir${\displaystyle r_{N}^{k}(n)}$ser el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación

${\displaystyle x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}=n}$

y${\displaystyle R_{N}^{k}(n)}$ser el número de soluciones enteras no negativas de la desigualdad

${\displaystyle 0\leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n,}$

en las variables${\displaystyle x_{i}}$, respectivamente. Por lo tanto${\displaystyle R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)}$. Tenemos

• ${\displaystyle r_{N}^{k}(n)>0\leftrightarrow n\in N{\mathfrak {G}}^{k},}$
• ${\displaystyle R_{N}^{k}(n)\geq \left({\frac {n}{N}}\right)^{\frac {N}{k}}.}$

El volumen del${\displaystyle N}$-cuerpo dimensional definido por${\displaystyle 0\leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n}$, está delimitado por el volumen del hipercubo de tamaño${\displaystyle n^{1/k}}$, por eso${\displaystyle R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)\leq n^{N/k}}$. La parte difícil es demostrar que esta cota sigue funcionando en promedio, es decir,

Lema. ( Linnik ) Para todo${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$existe${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$y una constante${\displaystyle c=c(k)}$, dependiendo únicamente de${\displaystyle k}$, de tal manera que para todo${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$,

${\displaystyle r_{N}^{k}(m)<cn^{{\frac {N}{k}}-1}}$

a pesar de${\displaystyle 0\leq m\leq n.}$

Con esto en mente, el siguiente teorema puede demostrarse elegantemente.

Teorema. Para todo${\displaystyle k}$existe${\displaystyle N}$para qué${\displaystyle \sigma (N{\mathfrak {G}}^{k})>0}$.

Hemos establecido así la solución general al problema de Waring:

Corolario. ( Hilbert 1909 ) Para todos${\displaystyle k}$existe${\displaystyle N}$, dependiendo únicamente de${\displaystyle k}$, de tal manera que cada entero positivo${\displaystyle n}$puede expresarse como la suma de como máximo${\displaystyle N}$muchos${\displaystyle k}$-poderes.

En 1930, Schnirelmann utilizó estas ideas junto con la criba de Brun para demostrar el teorema de Schnirelmann , ^{[ 1 ] [ 2 ]} que cualquier número natural mayor que 1 puede escribirse como la suma de no más de C números primos , donde C es una constante efectivamente computable: ^{[ 6 ]} Schnirelmann obtuvo C < 800000. ^{[ 7 ]} La constante de Schnirelmann es el número más pequeño C con esta propiedad. ^{[ 6 ]}

Olivier Ramaré demostró en ( Ramaré 1995 ) que la constante de Schnirelmann es como máximo 7, ^{[ 6 ]} mejorando el límite superior anterior de 19 obtenido por Hans Riesel y RC Vaughan .

La constante de Schnirelmann es al menos 3; la conjetura de Goldbach implica que este es el valor real de la constante. ^{[ 6 ]}

En 2013, Harald Helfgott demostró la conjetura débil de Goldbach para todos los números impares. Por lo tanto, la constante de Schnirelmann es como máximo 4. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

Khintchin demostró que la secuencia de cuadrados, aunque de densidad de Schnirelmann cero, cuando se agrega a una secuencia de densidad de Schnirelmann entre 0 y 1, aumenta la densidad:

${\displaystyle \sigma (A+{\mathfrak {G}}^{2})>\sigma (A){\text{ for }}0<\sigma (A)<1.}$

Esto fue pronto simplificado y extendido por Erdős , quien demostró que si A es cualquier secuencia con densidad de Schnirelmann α y B es una base aditiva de orden k, entonces

${\displaystyle \sigma (A+B)\geq \alpha +{\frac {\alpha (1-\alpha )}{2k}}\,,}$^{[ 12 ]}

y esto fue mejorado por Plünnecke para

${\displaystyle \sigma (A+B)\geq \alpha ^{1-{\frac {1}{k}}}\ .}$^{[ 13 ]}

Las secuencias con esta propiedad, de densidad creciente menor que uno por adición, fueron denominadas componentes esenciales por Khintchin. Linnik demostró que un componente esencial no necesita ser una base aditiva ^{[ 14 ]} ya que construyó un componente esencial que tiene x ^o(1) elementos menores que x . Más precisamente, la secuencia tiene 

${\displaystyle e^{(\log x)^{c}}}$

elementos menores que x para algún c  <  1. Esto fue mejorado por E. Cableado a

${\displaystyle e^{{\sqrt {\log x}}\log \log x}.}$

Durante un tiempo, siguió siendo un problema abierto cuántos elementos debe tener un componente esencial. Finalmente, Ruzsa determinó que para cada ε  >  0 hay un componente esencial que tiene como máximo c (log x ) ^{1+ ε} elementos hasta x , pero no hay ningún componente esencial que tenga c (log x ) ^{1+ o (1)} elementos hasta x . ^{[ 15 ] [ 16 ]}    

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