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solitario de clavijas

La princesa de Soubise jugando al solitario de clavijas, 1697. El solitario de clavijas , solo noble , solo goli , solitario de canicas o simplemente solitario es un juego de me...

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La princesa de Soubise jugando al solitario de clavijas, 1697.

El solitario de clavijas , solo noble , solo goli , solitario de canicas o simplemente solitario es un juego de mesa para un jugador que consiste en mover clavijas en un tablero con agujeros. Algunos juegos utilizan canicas en un tablero con hendiduras. El juego se conoce como solitario en Gran Bretaña y como solitario de clavijas en Estados Unidos, donde «solitario» se refiere a la familia de juegos de cartas .

La primera evidencia del juego se remonta a la corte de Luis XIV , concretamente a 1697, con un grabado realizado diez años después por Claude Auguste Berey que representa a Ana de Rohan-Chabot , princesa de Soubise, con el rompecabezas a su lado. La edición de agosto de 1697 de la revista literaria francesa Mercure galant incluye una descripción del tablero, las reglas y ejemplos de problemas. Esta es la primera referencia impresa conocida del juego.

En el juego estándar, todo el tablero se llena de clavijas, excepto el agujero central. El objetivo es, mediante movimientos válidos, vaciar todo el tablero, dejando solo una clavija en el agujero central.

Junta

Tablero de solitario inglés con clavijas
Tablero de solitario europeo con clavijas

Hay dos tableros tradicionales ('⚫' como clavija inicial, '⚪' como agujero inicial):

Jugar

Jugando al solitario Peg
Hombre jugando al solitario de clavijas triangulares

Un movimiento válido consiste en saltar una clavija ortogonalmente por encima de una clavija adyacente hacia un agujero situado a dos posiciones de distancia y, a continuación, retirar la clavija saltada.

En los diagramas que siguen, ⚪ indica un agujero vacío y ⚫ indica una clavija en un agujero, que aparece rodeada por un círculo negro cuando está a punto de moverse y por uno rojo cuando acaba de moverse. El agujero del que se acaba de mover aparece en azul claro, y un agujero rojo con una X roja indica el agujero de la clavija que se ha movido y retirado.

Por lo tanto, los movimientos válidos en cada una de las cuatro direcciones ortogonales son:

  • Antes
    →
    Saltar a la derecha
  • Antes
    →
    Saltar a la izquierda
  • Antes
    →
    Saltar a tierra
  • Antes
    →
    Ponerse de pie de un salto

En un tablero inglés, los tres primeros movimientos podrían ser:

Comenzar
→
Después del movimiento 1
→
Después del movimiento 2
→
Después del movimiento 3

Estrategia

Existen muchas soluciones diferentes para el problema estándar, y una notación utilizada para describirlas asigna letras a los agujeros (aunque también se pueden usar números):

Esta notación de imagen especular se utiliza, entre otras razones, porque en el tablero europeo, una variante consiste en empezar con un agujero en una posición determinada y terminar con una sola ficha en su posición simétrica. En el tablero inglés, la variante equivalente consiste en empezar con un agujero y terminar con una ficha en la misma posición.

No existe solución para el tablero europeo con el agujero inicial situado en el centro si solo se permiten movimientos ortogonales. Esto se puede comprobar fácilmente mediante el siguiente argumento de Hans Zantema . Dividamos las posiciones del tablero en posiciones A, B y C de la siguiente manera (a cada diagonal se le asigna la misma letra y se repite la secuencia ABC):

Clasificación del consejo europeo en posiciones A, B y C.

Inicialmente, con solo la posición central libre, el número de posiciones A cubiertas es 12, el número de posiciones B cubiertas es 12, y también el número de posiciones C cubiertas es 12. Después de cada movimiento, el número de posiciones A cubiertas aumenta o disminuye en uno, y lo mismo ocurre con el número de posiciones B cubiertas y el número de posiciones C cubiertas. Por lo tanto, después de un número par de movimientos, estos tres números son pares, y después de un número impar de movimientos, estos tres números son impares. En consecuencia, no se puede alcanzar una posición final con una sola clavija, ya que esto requeriría que uno de estos números sea uno (la posición de la clavija, que es impar), mientras que los otros dos números sean cero, es decir, pares.

Sin embargo, existen otras configuraciones en las que un único orificio inicial puede reducirse a una sola clavija.

Una táctica que se puede utilizar consiste en dividir el tablero en grupos de tres y eliminarlos por completo usando una ficha adicional, el catalizador, que salta hacia afuera y luego vuelve a saltar hacia atrás . En el ejemplo siguiente, el * es el catalizador:

Comenzar
→
El catalizador salta
→
Purga media
→
Catalyst vuelve a la carga

Esta técnica se puede utilizar con una línea de 3, un bloque de 2·3 y una forma de L de 6 clavijas con una base de longitud 3 y un vertical de longitud 4.

Otros juegos alternativos incluyen comenzar con dos agujeros vacíos y terminar con dos clavijas en esos agujeros. También comenzar con un agujero aquí y terminar con una clavija allá . En un tablero inglés, el agujero puede estar en cualquier lugar y la clavija final solo puede terminar donde lo permitan los múltiplos de tres. Por lo tanto, un agujero en a solo puede dejar una sola clavija en a , p , O o C.

Estudios sobre el solitario de clavijas

Se conoce un análisis exhaustivo del juego. [ 1 ] Este análisis introdujo una noción llamada función pagoda , que es una herramienta poderosa para mostrar la inviabilidad de un problema generalizado de solitario de clavijas dado.

Una solución para encontrar una función pagoda, que demuestra la inviabilidad de un problema dado, se formula como un problema de programación lineal y se puede resolver en tiempo polinomial. [ 2 ]

Un artículo de 1990 trató los problemas Hi-Q generalizados que son equivalentes a los problemas de solitario de clavijas y demostró su NP-completitud . [ 3 ]

Un artículo de 1996 formuló un problema de solitario de clavijas como un problema de optimización combinatoria y analizó las propiedades de la región factible llamada "cono de solitario". [ 4 ]

En 1999, el solitario de clavijas se resolvió completamente en una computadora mediante una búsqueda exhaustiva de todas las variantes posibles. Esto se logró aprovechando las simetrías, el almacenamiento eficiente de las configuraciones del tablero y el hashing. [ 5 ]

En 2001 se desarrolló un método eficiente para resolver problemas de solitario de clavijas. [ 2 ]

Un estudio inédito de 1989 sobre una versión generalizada del juego en el tablero inglés demostró que cada problema posible en el juego generalizado tiene 2⁹ posibles soluciones distintas, excluyendo las simetrías, ya que el tablero inglés contiene 9 subcuadrados distintos de 3×3. Una consecuencia de este análisis es establecer un límite inferior para el tamaño de los posibles problemas de "posición invertida", en los que las celdas inicialmente ocupadas quedan vacías y viceversa. Cualquier solución a un problema de este tipo debe contener un mínimo de 11 movimientos, independientemente de los detalles exactos del problema.

Se puede demostrar mediante álgebra abstracta que solo hay 5 posiciones fijas del tablero donde el juego puede terminar con éxito con una sola ficha. [ 6 ]

Soluciones al juego inglés

Guía interactiva de soluciones para el juego English Peg Solitaire.

La solución más corta para el juego inglés estándar implica 18 movimientos, contando los saltos múltiples como movimientos individuales:

Esta solución fue hallada en 1912 por Ernest Bergholt y demostrada como la más corta posible por John Beasley en 1964. [ 7 ]

Otras soluciones incluyen la siguiente lista. En estas, la notación utilizada es

  • Lista de hoyos de salida
  • Colon
  • Lista de clavijas de destino finales
  • Signo de igual
  • Clavija de origen y agujero de destino (las clavijas saltadas se dejan como ejercicio para el lector).
  • , o / ( se utiliza una barra diagonal para separar 'fragmentos' como una purga de seis )
x:x=ex,lj,ck,Pf,DP,GI,JH,mG,GI,ik,gi,LJ,JH,Hl,lj,jh,CK,pF,AC,CK,Mg,gi,ac,ck,kI,dp,pF,FD,DP,Pp,ox x:x=ex,lj,xe/hj,Ki,jh/ai,ca,fd,hj,ai,jh/MK,gM,hL,Fp,MK,pF/CK,DF,AC,JL,CK,LJ/PD,GI,mG,JH,GI,DP/Ox j:j=lj,Ik,jl/hj,Ki,jh/mk,Gm,Hl,fP,mk,Pf/ai,ca,fd,hj,ai,jh/MK,gM,hL,Fp,MK,pF/CK,DF,AC,JL,CK,LJ/Jj i:i=ki,Jj,ik/lj,Ik,jl/AI,FD,CA,HJ,AI,JH/mk,Hl,Gm,fP,mk,Pf/ai,ca,fd,hj,ai,jh/gi,Mg,Lh,pd,gi,dp/Ki e:e=xe/lj,Ik,jl/ck,ac,df,lj,ck,jl/GI,lH,mG,DP,GI,PD/AI,FD,CA,JH,AI,HJ/pF,MK,gM,JL,MK,Fp/hj,ox,xe d:d=fd,xe,df/lj,ck,ac,Pf,ck,jl/DP,KI,PD/GI,lH,mG,DP,GI,PD/CK,DF,AC,LJ,CK,JL/MK,gM,hL,pF,MK,Fp/pd b:b=jb,lj/ck,ac,Pf,ck/DP,GI,mG,JH,GI,PD/LJ,CK,JL/MK,gM,hL,pF,MK,Fp/xo,dp,ox/xe/AI/BJ,JH,Hl,lj,jb b:x=jb,lj/ck,ac,Pf,ck/DP,GI,mG,JH,GI,PD/LJ,CK,JL/MK,gM,hL,pF,MK,Fp/xo,dp,ox/xe/AI/BJ,JH,Hl,lj,ex a:a=ca,jb,ac/lj,ck,jl/Ik,pP,KI,lj,Ik,jl/GI,lH,mG,DP,GI,PD/CK,DF,AC,LJ,CK,JL/dp,gi,pd,Mg,Lh,gi/ia a:p=ca,jb,ac/lj,ck,jl/Ik,pP,KI,lj,Ik,jl/GI,lH,mG,DP,GI,PD/CK,DF,AC,LJ,CK,JL/dp,gi,pd,Mg,Lh,gi/dp
Una solución fácil de recordar consiste en despejar primero los bordes centrándose en los agujeros marcados con un círculo blanco ; en la figura 1, las clavijas están etiquetadas en el orden en que se retiran.

Ataque de fuerza bruta al solitario inglés estándar de clavijas

El único lugar donde es posible terminar con una sola clavija es el centro, o el medio de uno de los bordes; en el último salto, siempre habrá la opción de elegir si terminar en el centro o en el borde.

A continuación se muestra una tabla sobre el número de posibles posiciones del tablero después de n saltos , y la posibilidad de que la misma ficha se mueva para realizar un salto adicional ( sin saltos adicionales ) . Es interesante observar que la forma más corta de perder el juego es en seis movimientos, y la solución (aparte de sus rotaciones y reflexiones) es única. Un ejemplo de esto es el siguiente: 4 → 16; 23 → 9; 14 → 16; 17 → 15; 19 → 17; 31 → 23. (En esta notación, las fichas se numeran de izquierda a derecha, comenzando con 0, y moviéndose hacia abajo en cada fila y hacia la izquierda una vez que se marca cada fila).

NOTA: Si una posición del tablero se puede girar y/o voltear para convertirse en otra posición del tablero, las posiciones del tablero se consideran idénticas.

Dado que solo puede haber 31 saltos, las computadoras modernas pueden examinar fácilmente todas las posiciones del juego en un tiempo razonable. [ 8 ]

La secuencia anterior "PBP" se ha introducido como A112737 en OEIS . Tenga en cuenta que el número total de posiciones de tablero alcanzables (suma de la secuencia) es 23.475.688, mientras que el número total de posiciones de tablero posibles es 8.589.934.590 (33 bits-1) (2^33), por lo que solo se puede alcanzar aproximadamente el 2,2% de todas las posiciones de tablero posibles comenzando con el centro vacío.

También es posible generar todas las posiciones del tablero. Los resultados que se muestran a continuación se obtuvieron utilizando el conjunto de herramientas mCRL2 (véase el ejemplo peg_solitaire en la distribución).

En los resultados que se muestran a continuación, se han generado todas las posiciones del tablero que realmente alcanzó, comenzando con el centro vacío y terminando en el hoyo central.

Soluciones para el juego europeo

Hay 3 posiciones iniciales no congruentes que tienen soluciones. [ 9 ] Estas son:

1)

Posición inicial europea resoluble 1

Posible solución: [2:2-0:2, 2:0-2:2, 1:4-1:2, 3:4-1:4, 3:2-3:4, 2:3-2:1, 5:3-3:3, 3:0-3:2, 5:1-3:1, 4:5-4:3, 5:5-5:3, 0:4-2:4, 2:1-4:1, 2:4-4:4, 5:2-5:4, 3:6-3:4, 1:1-1:3, 2:6-2:4, 0:3-2:3, 3:2-5:2, 3:4-3:2, 6:2-4:2, 3:2-5:2, 4:0-4:2, 4:3-4:1, 6:4-6:2, 6:2-4:2, 4:1-4:3, 4:3-4:5, 4:6-4:4, 5:4-3:4, 3:4-1:4, 1:5-1:3, 2:3-0:3, 0:2-0:4]

2)

Posición inicial europea resoluble 2

Posible solución: [1:1-1:3, 3:2-1:2, 3:4-3:2, 1:4-3:4, 5:3-3:3, 4:1-4:3, 2:1-4:1, 2:6-2:4, 4:4-4:2, 3:4-1:4, 3:2-3:4, 5:1-3:1, 4:6-2:6, 3:0-3:2, 4:5-2:5, 0:2-2:2, 2:6-2:4, 6:4-4:4, 3:4-5:4, 2:3-2:1, 2:0-2:2, 1:4-3:4, 5:5-5:3, 6:3-4:3, 4:3-4:1, 6:2-4:2, 3:2-5:2, 4:0-4:2, 5:2-3:2, 3:2-1:2, 1:2-1:4, 0:4-2:4, 3:4-1:4, 1:5-1:3, 0:3-2:3]

3)

Posición inicial europea resoluble 3

Posible solución: [2:1-2:3, 0:2-2:2, 4:1-2:1, 4:3-4:1, 2:3-4:3, 1:4-1:2, 2:1-2:3, 0:4-0:2, 4:4-4:2, 3:4-1:4, 6:3-4:3, 1:1-1:3, 4:6-4:4, 5:1-3:1, 2:6-2:4, 1:4-1:2, 0:2-2:2, 3:6-3:4, 4:3-4:1, 6:2-4:2, 2:3-2:1, 4:1-4:3, 5:5-5:3, 2:0-2:2, 2:2-4:2, 3:4-5:4, 4:3-4:1, 3:0-3:2, 6:4-4:4, 4:0-4:2, 3:2-5:2, 5:2-5:4, 5:4-3:4, 3:4-1:4, 1:5-1:3]

Variantes de tablero

El solitario de clavijas se ha jugado en tableros de otros tamaños, aunque los dos mencionados anteriormente son los más populares. También se ha jugado en un tablero triangular, permitiendo saltos en las tres direcciones. Siempre que la variante tenga la "paridad" adecuada y sea lo suficientemente grande, probablemente se pueda resolver. En 2025, el YouTuber Michael Stevens dispuso cada una de estas variantes en un tablero. Lo llamó "Omnijump". [ 10 ]

Formas del tablero del solitario de clavijas: (1) Estilo francés (europeo), 37 agujeros, siglo XVII; (2) JC Wiegleb, 1779, Alemania, 45 agujeros; (3) Asimétrico 3-3-2-2 como lo describió George Bell, siglo XX; [ 11 ] (4) Estilo inglés (estándar), 33 agujeros; (5) Diamante, 41 agujeros; (6) Triangular, 15 agujeros. Gris = el agujero para el superviviente.

Una variante triangular común tiene cinco clavijas por lado. No es posible una solución en la que la clavija final llegue al agujero vacío inicial para un agujero en una de las tres posiciones centrales. Una configuración de agujero en esquina vacío se puede resolver en diez movimientos, y una configuración de agujero en el centro del lado vacío en nueve (Bell 2008):

videojuego

El 26 de junio de 1992 se lanzó para Game Boy un videojuego basado en el solitario de clavijas . Titulado simplemente Solitaire , el juego fue desarrollado por Hect. En Norteamérica, DTMC lo lanzó con el nombre de Lazlos' Leap .

El juego Professor Layton and the Diabolical Box incluye seis rompecabezas que piden al jugador que resuelva el tablero de solitario inglés desde diferentes posiciones iniciales, siendo la última la configuración tradicional.

El juego para PC Shivers , un juego de puzles de terror de apuntar y hacer clic , incluye numerosos puzles y minijuegos para que el jugador los complete. El puzle denominado " Damas chinas " es en realidad un solitario de clavijas.

Cracker Barrel ofrece este juego en todas las mesas de sus establecimientos. El tablero es triangular y tiene 15 agujeros en total.

En Cowboy Bebop: La película , el principal antagonista, Vincent Volaju, pasa la mayor parte de su tiempo libre jugando al solitario de clavijas. El vector para su planeado ataque bioterrorista , un tipo de nanobot , está almacenado en las canicas de este juego.

Referencias

  1. ↑ Berlekamp, ​​ER ; Conway, JH ; Guy, RK (2001) [1981], Winning Ways for your Mathematical Plays (2.ª  ed.), AK Peters/CRC Press, ISBN 978-1568811307, OCLC 316054929 
  2. 1 2 Kiyomi, M.; Matsui, T. (2001), "Algoritmos basados ​​en programación entera para problemas de solitario de clavijas", Actas de la 2.ª Conferencia Internacional sobre Computadoras y Juegos (CG 2000): Algoritmos basados ​​en programación entera para problemas de solitario de clavijas , Lecture Notes in Computer Science, vol. 2063, pp. 229–240 , CiteSeerX 10.1.1.65.6244 , doi : 10.1007/3-540-45579-5_15 , ISBN    978-3-540-43080-3
  3. ↑ Uehara, R.; Iwata, S. (1990). "Hi-Q generalizado es NP-completo". Trans. IEICE . 73 : 270– 273.
  4. ↑ Avis, D. ; Deza, A. (2001), "Sobre el cono solitario y su relación con los flujos de múltiples mercancías", Mathematical Programming , 90 (1): 27– 57, doi : 10.1007/PL00011419 , S2CID 7852133 
  5. ↑ Eichler; Jäger; Ludwig (1999), c't 07/1999 Spielverderber, Solitaire mit dem Computer lösen (en alemán), vol. 7, pág. 218  
  6. ↑ "Matemáticas y brainvita" , Notas sobre Matemáticas , 28 de agosto de 2012 , consultado el 6 de septiembre de 2018.
  7. ↑ Para ver la demostración de Beasley, consulte Winning Ways , volumen n.° 4 (segunda edición).
  8. ↑ "solboard" . github . 31/08/2020 . Consultado el 31/08/2020 . Implementación del cálculo por fuerza bruta del juego de solitario Peg.
  9. ^ Brassine, Michel (diciembre de 1981), "Découvrez... le solitaire", Jeux & Stratégie (en francés)
  10. ↑ Vídeo de Vsauce en YouTube sobre el solitario de clavijas. https://www.youtube.com/shorts/HdX6dNIlCQI
  11. ↑ Ver Tableros cruzados generalizados en: Página del solitario de clavijas de George

Lecturas adicionales

  • Beasley, John D. (1985), Los entresijos del solitario de clavijas , Oxford University Press , ISBN 978-0198532033
  • Bell, GI (2008), "Resolución del solitario de clavijas triangulares", Journal of Integer Sequences , 11 : Artículo 08.4.8, arXiv : math.CO/0703865 , Bibcode : 2007math......3865B.
  • Bruijn, NG de (1972), "Un juego solitario y su relación con un cuerpo finito" (PDF) , Journal of Recreational Mathematics , 5 : 133–137 , archivado (PDF) del original el 9 de octubre de 2022
  • Cross, DC ( 1968), "Solitario cuadrado y variaciones", Journal of Recreational Mathematics , 1 : 121–123
  • Gardner, M. , "Juegos matemáticos", Scientific American206 (6): 156–166, junio de 1962; 214 (2): 112–113, febrero de 1966; 214 (5): 127, mayo de 1966.
  • Jefferson, Chris; et  al. (octubre de 2006), "Modelado y resolución del solitario inglés Peg", Computers & Operations Research , 33 (10): 2935– 2959, CiteSeerX 10.1.1.5.7805 , doi : 10.1016/j.cor.2005.01.018 
  • Bogomolny, Alexander, "Peg Solitaire and Group Theory" , Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles , consultado el 7 de septiembre de 2018.
  • White Pixels (24 de octubre de 2017), Peg Solitaire: Solución simétrica fácil de recordar (vídeo), Youtube, archivado del original el 11 de diciembre de 2021.